洛阳2018两会

来源:两会专题 时间:2018-09-15 18:00:05 阅读:

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洛阳2018两会(共1篇)

【洛阳2018两会

洛阳2018两会(一)

(2012•洛阳模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+
1−a
x
−1
【洛阳2018两会】

(I)函数的定义域为(0,+∞),求导函数可得f′(x)=

−ax2+x+a−1
x2

当a=0时,f′(x)=
x−1
x2
,令f′(x)=
x−1
x2
>0
可得x>1,令f′(x)=
x−1
x2
<0
,∵x>0,∴0<x<1,
∴函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数;
当a<0时,令f′(x)=
−ax2+x+a−1
x2
>0
得-ax2+x-1+a>0,解得x>1或x<
1
a
−1
(舍去),此时函数f(x)在(1,+∞_上增函数,在(0,1)上是减函数;
当0<a
1
2
时,令f′(x)=
−ax2+x+a−1
x2
>0
得-ax2+x-1+a>0,解得1<x<
1
a
−1

此时函数f(x)在(1,
1
a
−1
)上是增函数,在(0,1)和(
1
a
−1
,+∞)上是减函数   …(6分)
(II)证明:由(I)知:a=0时,f(x)=lnx+
1
x
-1在(1,+∞)上是增函数,
∴x>1时,f(x)>f(1)=0
设g(x)=f(x)-(x2-1)=lnx+
1
x
-x2(x>1),则g′(x)=
−(x+1)(2x2−2x+1)
x2

∵2x2-2x+1>0恒成立,∴x>1时,g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上单调递减
∴x>1时,g(x)<g(1)=0,即f(x)<x2-1
∵f(x)>0,∴
1
f(x)
1
x2−1
=
1
2
1
x−1
1
x+1

1
f(2)
+
1
f(3)
+…+【洛阳2018两会】

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