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判断含参数单调性如何分类(一)
函数含参数单调性问题
函数含参数单调性问题
知识点:已知函数在区间上单调或不单调,求解参变量的范围
思路提示:
(1) 已知区间函数单调递增或单调递减,转化为导函数恒大于等于或小于等于零,先观
察导函数图像特点,如一次函数最值落在端点,开口向上抛物线最大值落在端点,开口向下抛物线最小值落在端点。
(2) 已知区间函数不单调,转化为导函数存在零点,且零点两侧异号。通常利用分离变
量法求解参数变量范围
类型一:已知单调区间求参数
例1:设f(x)x33(a1)x23ax1. 2
(I)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递减,求a的取值范围;
(II)若函数f(x)在xa处取得极小值是1,求a的值,并说明在区间(1,4)内函数f(x) 的单调性.
11变式:1.若函数y=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)23
内为增函数,试求实数a的取值范围.
2.设函数f(x)2x33(a1)x26ax8,其中aR.
(1)若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围.
3.已知函数f(x)m3xx2x,(mR),且函数f(x)在(2,)上存在单调递增区间,3
求m的取值范围;
4.知函数f(x)mx33x23x,mR.
(1)若函数f(x)在x1处取得极值,试求m的值,并求f(x)在点M(1,f(1))处的
切线方程;
(2)设m0,若函数f(x)在(2,+∞)上存在单调递增区间,求m的取值范围.
ex
5:(安徽16)设f(x),其中a为正实数. 21ax
4(1)当a时,求f(x)的极值点; 3
(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
226:已知函数f(x)x3(k2k1)x25x2,g(x)kxkx1,(kR)设函数【判断含参数单调性如何分类】
p(x)f(x)g(x),若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围;
类型二:讨论参数,求出单调性求最值
例:(江西19)设函数f(x)xxax.
(1)若f(x)在(,)上存在单调递增区间,求a的取值范围;
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为
变式:设函数fxlnxln2xax(a0)。
(1)讨论fx的单调性。
(2)若fx在01,上的最大值为【判断含参数单调性如何分类】
,求f(x)在该区间上的最大值. 1,求a的值。 2
变式2.f(x)ax332x1,其中a0。 2
(Ⅰ)若a1,求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若当x
11,时,f(x)0,求a的取值范围。 22
(x)lnxax,变式3:设函数f(aR)。
(1)当a1时,判断fx的单调性。(2)讨论fx在01,上的最大值。
判断含参数单调性如何分类(二)
含参数单调性的判断副本
含参函数的单调性讨论
一、思想方法:
f'(x)0xAB...f(x)增区间为A,B和...
f'(x)0xCD...f(x)增区间为C,D和...
xD时f'(x)0f(x)在区间D上为增函数
xD时f'(x)0f(x)在区间D上为减函数
xD时f'(x)0f(x)在区间D上为常函数
讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。
二、典例讲解
例1 讨论f(x)xa
x的单调性,求其单调区间
变式练习1 : 讨论f(x)xalnx的单调性,求其单调区间
例2.讨论f(x)axlnx的单调性
1
变式练习2. 讨论f(x)1
2ax2lnx的单调性
例3. 求f(x)a2x3ax2x1的单调区间
变式练习3.求f(x)1
3x31
2ax2x1的单调区间
三、巩固作业:
1. 已知函数f(x)lnxa
x.,求f(x)的单调区间.
2.已知函数f(x)=12
2x-ax+(a-1)lnx,讨论函数f(x)的单调性,求出其单调区间。
2
判断含参数单调性如何分类(三)
函数的单调性的题型分类及解析
函数的单调性
知识点
1、增函数定义、减函数的定义:
(1)设函数yf(x)的定义域为A,区间MA,如果取区间M中的任意两个值x1,x2,当改变量xx2x10时,都有yf(x2)f(x1)0,那么就称函数yf(x)在区间M上是增函数,如图(1)当改变量xx2x10时,都有yf(x2)f(x1)0,那么就称 函
数yf(x)在区间M上是减函数,如图(2)
注意:单调性定义中的x1、x2有什么特征:函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性,二是有大小,三是同属于一个单调区间.
1、 根据函数的单调性的定义思考:由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)能否推出x1<x2(x1>x2) 2、我们来比较一下增函数与减函数定义中x,y的符号规律,你有什么发现没有? 3、如果将增函数中的“当xx2x10时,都有yf(x2)f(x1)0”改为当
xx2x10时,都有yf(x2)f(x1)0结论是否一样呢?
4、定义的另一种表示方法
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若
f(x1)f(x2)
0即
x1x2
f(x1)f(x2)yy
0即0,则函数y=f(x)是增函数,若0,则函数y=f(x)为减
xxxx12
函数。 判断题:
①已知f(x)
1
因为f(1)f(2),所以函数f(x)是增函数. x
②若函数f(x)满足f(2)f(3)则函数f(x)在区间2,3上为增函数.
③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.
④因为函数f(x)
11在区间,0),(0,上)都是减函数,所以f(x)在xx
(,0)(0,)上是减函数.
通过判断题,强调几点:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).
③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。
④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在AB上是增(或减)函数. (2)单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间. 函数单调性的性质:
(1)增函数:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值, 当
时,都有
,
f(x1)f(x2)
0
x1x2
,当
(2)减函数:如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值时, 都有
,
f(x1)f(x2)
0
x1x2
(3) 函数的单调性还有以下性质.
1.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.
1
2.当f(x)恒为正或恒为负时,函数y=f(x)与y=f(x)的单调性相反.
3.在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等. 4 .如果k>0 函数kfx与函数fx具有相同的单调性。 如果k<0 函数kfx与函数fx具有相反的单调性。 5..若fx0,则函数
1
与fx具有相反的单调性,. fx
6. 若fx>O,函数fx与函数fx具有相同的单调性。 若 fx<0,函数fx与函数fx具有相同的单调性 7。.函数fx在R上具有单调性,则fx在R上具有相反的单调性。【判断含参数单调性如何分类】
复合函数的单调性。
如果函数 ugx xA uB yfu CB yD,则yfgx
称为x 的复合函数。
解决复合函数的问题,关键是弄清复合的过程,即中间变量u的定义域与值域的作用。
复合函数的单调性的判断:同增异减。
函数的单调性题型分类讲解
题型一:.单调性讨论
1.讨论函数y=(k-2)x+3(a≠0)在区间R内的单调性.
ax
2.讨论函数f(x)= (a≠0)在区间(-1,1)内的单调性. 2
1x
a(x1x2)(1x1x2)ax1ax2
解:设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-= 2222
(1x)(1x)1x11x212
∵x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,∴x1-x2<0,1+x1x2>0,(1-x21)(1-x22)>0
于是,当a>0时,f(x1)<f(x2);当a<0时,f(x1)>f(x2).
故当a>0时,函数在(-1,1)上是增函数;当a<0时,函数在(-1,1)上为减函数.
题型二:单调性判断与证明
1.下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是
A.y=|x2-1| B.y
2x
2
C.y=2x-x+1
D.y=|x|+1
题型三:求函数的单调区间及该区间上的单调性
1.求下列函数的增区间与减区间
x2x(1)y=|x2+2x-3| y
2
1x
yx22x3
2.判断函数f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论;如果x∈(0,+∞),函数f(x)是增函数还是减函数?
题型四:.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性
b
若函数y=ax,y=-x在(0,+∞)上都是减函数,则函数y=ax2+bx在(0,+∞)上是________(填单调性).
设y=f(x)的单增区间是(2,6),求函数y=f(2-x)的单调区间.
) 2 x , 则由已知得 解:令t ( x
2f (t )在 t 6)上是增函数, ( , 2) 2 x 6) 而t ( x ( , f x(
x)4 0) 2的单减区间是(-4,0)(- ,
4 ,) 2 x在 x 0 ) 上 又t ( x (
是单减的,
由复合函数单调性可知, f ( 2 x ) f [t ( x )]在 x4 0) (- ,
上是单调递减的。
设函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,则函数y=f(x2-1)的单调递减区间是______________
已知函数f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f( 2-x2 ),那么函数g(x)
A.在区间(-1,0)上是减函数 B.在区间(0,1)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数 设yfx是R上的减函数,则yf
( )
x3的单调递减区间为.
题型五:已知函数的单调性,求参数的取值范围。
已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是 .
已知函数y=-x2+2x+1在区间[-3,a]上是增函数,则a的取值范围是______________ 函数f(x) = ax2+4(a+1)x-3在[2,+∞]上递减,则a的取值范围是__ .
函数f(x)
ax1
在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是( ) x2
11
A.0a B.a C.a<-1或a>1 D.a>-2
22
ax+1a(x+2)+1-2a1-2a
解:f(x)==a.
x+2x+2x+2任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
1-2a1-2a(1-2a)(x2-x1)
=. x1+2x2+2(x1+2)(x2+2)
ax+1
∵函数f(x)=在区间(-2,+∞)上为增函数,∴f(x1)-f(x2)<0.
x+2
11
∞. ∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,a>即实数a的取值范围是22
题型六:函数单调性的应用 11.已知f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R且a+b≤0,则下列不等式中正确的是( ) A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
12.定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且y=f(x+2)图象的对称轴是x=0,则 ( ) A.f(-1)<f(3) B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3)
已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根
题型七:已知函数的单调性,解含函数符号的不等式。
7.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式
|f(x+1)|<1的解集的补集是 ( ) A.(-1,2) B.(1,4)
C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+∞)
已知:f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)<f(x2-1)求x的取值范围.
2x+4x,x≥0,
已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( ) 2
4x-x,x<0.
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
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