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dea,在MATLAB中的应用(一)
MATLAB在超效率DEA模型中的应用
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MATLAB在超效率DEA模型中的应用 作者：刘展 屈聪
来源：《经济研究导刊》2014年第03期
摘 要：利用数学软件MATLAB编写了便于使用超效率DEA模型的计算程序，并利用该程序对河南省2002—2011年财政科技投入的超效率进行计算与分析，实证分析表明该MATLAB计算程序十分的方便、有效。
关键词：MATLAB；超效率DEA模型；财政科技投入
中图分类号：F22 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）03-0086-03
随着时代的发展，超效率数据包络分析模型（SE-DEA）也随之被提出，并被运用得越来越广泛，相应的求解软件的开发也在不断的向前推进。目前主要有DEA Solver pro、Pioneer、EMS、DEA Excel Solver、等专门用于求解SE-DEA模型的软件，但获得这些软件不太容易，在一般的网站无法下载与购买，需要通过一些专门的渠道。MATLAB是一门功能强大、简单易学且应用广泛的编程语言，而且MATLAB软件的下载与购买相对来说比较容易。文献[1]给出了数据包络分析模型（DEA）的基本模型C2R模型的MATLAB计算程序，但对于超效率数据包络分析模型的MATLAB计算程序，目前尚未有文献报道。本文在文献[1]的基础上，编写超效率数据包络分析模型的计算程序，并进行实证分析。
一、超效率DEA模型
超效率数据包络分析模型（Super Efficiency DEA，SE-DEA）是由Andersen&Petersen根据传统DEA模型所提出的新模型。传统DEA模型如最基本的C2R模型对决策单元规模有效性和技术有效性同时进行评价，BC2模型用于专门评价决策单元技术有效性，但C2R模型和BC2模型只能区别出有效率与无效率的决策单元，无法进行比较和排序。超效率DEA模型与C2R模型的不同之处在于评价某个决策单元时将其排除在决策单元集合之外，这样使得C2R模型中相对有效的决策单元仍保持相对有效，同时不会改变在C2R模型中相对无效决策单元在超效率DEA模型中的有效性，可以弥补传统DEA模型的不足，计算出的效率值不再限制在0～1的范围内，而是允许效率值超过1，可以对各决策单元进行比较和排序。
由P87表2可知，河南省财政科技投入有效的年份依次为：2006年、2011年、2005年、2003年、2009年、2010年、2007年，从数值上看，这七年的超效率值均大于1，说明这七年的财政科技投入与产出均达到有效配置。河南省财政科技投入无效的年份依次为：2002年、2008年、2004年，这三年的超效率值均小于1，说明这三年的财政科技投入与产出未达到有效配置。此外，还可根据投入冗余与 产出不足对SE-DEA模型中DEA无效的决策单元进行进一步的分析。
dea,在MATLAB中的应用(二)
DEA_MATlab
模型((P 的 模型 C2 R)的 MATLAB 程序 clear
X=[]; %用户输入多指标输入矩阵 X
Y=[]; %用户输入多指标输出矩阵 Y
n=size(X',1); m=size(X,1); s=size(Y,1); A=[-X' Y'];
b=zeros(n, 1);
LB=zeros(m+s,1);
UB=[];
for i=1:n;
f= [zeros(1,m) -Y(:,i)'];
Aeq=[X(:,i)' zeros(1,s)];
beq=1;
w(:,i)=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB); %解线性规划，得 DMU;的最佳权向量 w; E(i, i)=Y(:,i)'*w(m+1:m+s,i); %求出 DMUi 的相对效率值 Eii
end
w %输出最佳权向量
E %输出相对效率值 Eii
Omega=w(1:m,:) %输出投入权向量。
mu=w(m+1:m+s,:) %输出产出权向量。
模型(Dε 的 模型 C 2R)的 MATLAB 程序
clear
X=[]; %用户输入多指标输入矩阵 X
Y=[]; %用户输入多指标输出矩阵 Y
n=size(X',1); m=size(X,1); s=size(Y,1);
epsilon=10^-10; %定义非阿基米德无穷小=10^-10
f=[zeros(1,n) -epsilon*ones(1,m+s) 1]; %目标函数的系数矩阵： 的系数为
0,s-,s+的系数为 -e,的系数为 1；
A=zeros(1,n+m+s+1); b=0; %<=约束；
LB=zeros(n+m+s+1,1); UB=[]; %变量约束；【dea,在MATLAB中的应用】
LB(n+m+s+1)= -Inf; %-Inf 表示下限为负无穷大。【dea,在MATLAB中的应用】
for i=1:n;
Aeq=[X eye(m) zeros(m,s) -X(:,i)
Y zeros(s,m) -eye(s) zeros(s,1)];
beq=[zeros(m, 1 )
Y(:,i)];
w(:,i)=LINPROG (f,A,b,Aeq,beq,LB,UB); %解线性规划，得 DMU 的最佳权向量 w;
end
w %输出最佳权向量
lambda=w(1:n,:) %输出
s_minus=w(n+1:n+m,:) %输出
ss_plus=w(n+m+1:n+m+s,:) %输出
s+ theta=w(n+m+s+1,:) %输出
w=
1.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 1.0000 0.0000 0.0713
0.0000 0.0000 1.0000 0.2495
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000【dea,在MATLAB中的应用】
0.0000 0.0000 0.0000 28.5097
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1.0000 1.0000 1.0000 0.8553
lambda =
1.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 1.0000 0.0000 0.0713
0.0000 0.0000 1.0000 0.2495
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
s_minus =
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 28.5097
s_plus =
1.0e-005 *
0.0000 0.0010 0.0037 0.1474
theta = 1.0000 1.0000 1.0000 0.8553
面对外需乏力的局面，中国经济增长的动力责无旁贷地落在了内需上，而作为中国最大内需潜力所在的城镇化，则迫切需解决效率不高的问题。13日举行的复旦(微博)大学经济学系建系90周年庆典暨中国经济学发展创新论坛上，国务院发展研究中心研究员吴敬琏表示，城市化作为新的经济增长引擎，还需要依靠经济效率的提高，也就是转变经济发展方式，包括城市化本身的效率也要提高。
低效率城市化浪费土地资源
2011年我国城市化率达到51.3%，首次超过50%。吴敬琏表示，最近五年中国城市化的速度在加快，但是城市化的效率太低，资源不能够支撑城市化的正常进行，进而使得工业化和现代化受到了阻碍。而这种低效率问题，现在还愈演愈烈。吴敬琏称，一个突出的表现就是省会城市和地级城市都出现了“造城运动”，这种现象原来主要在直辖市和省级城市才有。吴敬琏表示，我国城市化低效率的主要表现为：不仅造成土地资源的大量浪费，比如土地城市化的速度大大地超过了人口城市化的速度，还造成了大量失地农民和“伪城市化”人口。这一方面很难提高这个城市的制造业和服务业的效率，另一方面还造成贫富的分化。同时，摊大饼式的发展方式还导致城市专业分工的水平很低，产业的空间结构恶化，因此城市的营运效率也变得很低。国务院发展研究中心农村经济研究部的副部长刘守英用数字回应了吴敬琏的说法，他表示，中国上一轮的发展基本上是靠工业化和城市化来拉动，但上一轮的城市化又基本上是靠土地推动的。比如，靠土地的宽供应和高耗费来保障高投资，通过压低的地价来保证高出口，以土地的招商引资保证工业化，靠土地的抵押和融资来保证城市化推进的过程，“土地在这里其实是起着一个非常关键的作用，在我看来就是一个发动机的角色。”刘守英提供的数据显示，从用地成本来看，从2000年~2011年期间，综合地价的水平差不多涨了297%，商业地价的水平是涨到了309%，居住用地的价格是上涨了528%，而在此期间工业地价水平才提高71%。此外，政府基础设施投资主要也是依托于土地的抵押融资，2011年全国土地抵押面积是420万亩，抵押金额达到4.8万亿。而高度依赖土地也产生了相应的经济风险和社会风险，比如地方政府的债务风险，以及各地出现的征地纠纷。
改革地产制度
对于中国城市化的低效率问题，吴敬琏分析称，首要的原因就在于土地产权制度，在城市化的过程中政府可以用很低的价格拿到从农业转到城市的土地，然后政府、开发商和其他拿到批租土地的人分享这个价差，于是对于政府来说就是土地财政，对于开发商来说则是因为价格的扭曲使得土地的利用非常浪费。吴敬琏表示，要应对中国城市化的低效率，地产制度一定要改革，不改革的话很难制止这种恶化。同时还要改变相应的财政体制，重新界定市政府的职责，政府在做规划的时候只能因势利导，而不能取代市场。对于土地制度改革，刘守英称，一是要破除城市国有和农村集体所有这两种权利不平等的体制，“这两种不同的所有权应该是在规划的前提下有同等进入城市化建设的权利，这样既可以解决权利的问题也可以解决建设空间的问题。”同时，考虑到未来城市建设资金里土地资金依然要占据很大比重，刘守英建议可以借鉴日本、韩国、中国台湾等国家和地区在城市化进程中所采用的“市地重划”这一措施。具体来说，就是用一部分土地来做溢价解决该区域的城市化建设资金来源，另外一部分土地让原土地所有者通过升值来分享城市化的好处。另外，土地的真正收益要从现在的归政府转向归社会，也就是土地增值的部分要通过土地增值的税收让全社会来分享。全国工商联副主席、上海市政协副主席王新奎说，中国城市化的第一个阶段是出口导向引起沿海地区的城市化，第二阶段是通过不断强化基础设施投资造成中西部地区的城市化。“在经济全球化过程中，在国内地方政府融资平台有巨大风险的时候，我觉得现在处于成本和效率赛跑(的阶段)，如果你的效率能跑得过成本那就可持续。”
美国随着人口增加，经济发展，工业化、城市化、自然灾害等大量侵占优质农地，著名“硅谷”曾经就是农业基地。仅城市化就使美国优质农地以每年平均200万英亩的速度减少，由此引发了一系列的经济、社会和环境生态问题。为此，美国各州开始采取一系列的措施来控制城市发展规模，保护优质农地，使土地用途管制内容成功转向控制城市规模和农地保护。 人地矛盾大是日本特点,随着经济社会的发展,土地使用管制和农地保护问题日益突出。日本土地利用基本规划对各区域土地利用发挥综合调控和间接管理作用。根据土地利用不同类型划分不同的用途区域 ，各区域再依据个别法进行土地利用的限制。美国是世界上较早实施土地用途管制的国家， 30年代中期，连续几年干旱，故土壤和水土保持是其主要任务。50年代前主要是土地使用的容积和密度管制，在控制各种公害的发生源，保障日照、通风、保护环境等方面发挥了重要作用。50年代后则是城市规模和农地保护。工业发展,环境污染,生态平衡破坏等成为美国政府关心的重点。为此美国各州通过法律要求地方政府根据本地的经济发展状况和土地利用现状，划定城市增长线，分期分批发展，建筑许可的总量控制等措施来控制城市发展规模，保护优质农地。土地利用规划是实施土地用途管制的依据和基础,用途管制则是落实土地利用规划的手段。凡是实施土地用途管制的发达国家，都有完善的土地利用规划制度。如美国土地利用规划体系分为州土地利用规划和地方土地利用规划。美国总体规划又称“非永久性宪法”，即根据不断变化的发展趋势来定期修订。同时建立严格的土地利用规划制定程序。通过土地利用规划，引导城市的发展，缓解城市发展压力，控制土地开发的区位速度、公共设施的服务水平。英国土地利用严格遵照其城市农村计划法，农田保护纳入计划法的约束中，谋求土地利用的整体效益。法国于1960年制定农业指导法，随后建立土地整理与农村安置公司，负责土地整理和维护耕地农用。法国将农田纳入农业区域环境保护范畴。规划用地以决定哪些土地可为非农建设使用，哪些土地为未来城市发展预留地。对划入农业区域的土地，保证至少在土地规划公布10年内，不受非农建设威胁，鼓励对农田上的投入。荷兰以规划、立法为基础，通过制定综合规划、组织土地整理和开垦新土地等三项措施保护现有农田。日本1964年制定《农业发展地域整备法》，确定“农业发展区域”，保护农田。并于1969年修订的《城市土地规划法》将城市区域划分为促进城市化发展的“市街化区域”和抑制
城市化发展的“市街化调整区域”两种情况,来处理农地的是否许可转变问题。1974年制定《国土利用计划法》，1976年制定《全国土地利用规划》，重申对优质农田保护。美国1965年制定保护水资源和环境的《水质法》。1970年有《全国环境保护政策法》等。根据宪法规定,管理私人土地利用方面的权力主要集中在州政府手中，各州还有许多类似的计划。前苏联也制定了一系列法令、法规，禁止荒废农田，防止土壤退化并改良土壤，限制非农业占地等。匈牙利政府将农田资源保护作为环境保护的重要内容，1976年制定环境保护法，1980年颁布了关于全国环境保护方面的规章制度，强调对农田数量保护、农田质量保护和不同质量等级农田的合理利用。波兰1971年制定《农业、林业用地保护和重新耕作土地法》，1982年颁布《农业和林业用地保护法》，把限制农田非农业利用作为保护耕地的主要措施。在土地并不是绝对私有的国家，如美国、英国等，国家拥有土地使用权的终决权，通过占有、控制、管理、优先购买权等实施对土地用途的管制，以保护农地。韩国土地利用基本规划的地域划分在空间上没有重复，有利于规划管理，其土地用途管制制度比较完善，1993年修订了 《国土利用管理法》，土地利用规划区域的划分是以保护目的或开发目的为原则，将全国土地划分为城市、准城市、农林、准农林和自然保护5个用途区域，为了使这些土地得到合理利用，以法律的形式明确限制土地利用行为。法国、日本等人多地少的国家,政府大多以立法的形式保障租佃权,限制土地所有权, 保障良好的租佃关系。日本法律规定,水田地租不得超过收获物的25%,旱地不得超过15%;法国限制地租不得超过土地价格的2%～2.5%并,规定专门的调节租佃争议机构等。为防止土地细碎化,一些国家采取方法对土地分割加以限制,如改变农地遗产分割习惯、禁止农地分割出售或出租等。法国从1938年规定,低于一定价值的农场不得再分割。1960年法国农业指导法规定,不在农村务农的儿女或其他继承人,无权分赠遗产;日本立法规定要“防止农地继承的细分化。世界各国在对待私有财产和社会公共利益发生冲突时，都有社会公共利益优先的原则，但优先不能滥用，必须是真正的社会公共利益需要。将土地征用的范围严格限定在“公共利益”范畴里，虽然存在“公共用途、公共目的、公共使用、公共事业”等解释，共性是“公众的或与公众有关的使用”。美国公共使用目的，如旧城区改造、兴办公立大学、修建公园、道路、车站、军事设施等；加拿大必须为公共利益服务，通常征地限
dea,在MATLAB中的应用(三)
DEA的Matlab程序
Matlab程序代码
模型((PC2R)的MATLAB程序
clear
X=[]; %用户输入多指标输入矩阵X
Y=[]; %用户输入多指标输出矩阵Y
n=size(X',1); m=size(X,1); s=size(Y,1);
A=[-X' Y'];
b=zeros(n, 1);
LB=zeros(m+s,1); UB=[];
for i=1:n;
f= [zeros(1,m) -Y(:,i)'];
Aeq=[X(:,i)' zeros(1,s)]; beq=1;
w(:,i)=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB); %解线性规划，得DMU;的最佳权向量w; E(i, i)=Y(:,i)'*w(m+1:m+s,i); %求出DMUi的相对效率值Eii
end
w %输出最佳权向量
E %输出相对效率值Eii
Omega=w(1:m,:) %输出投入权向量。
mu=w(m+1:m+s,:) %输出产出权向量。
模型(DC2R)的MATLAB程序
clear
X=[]; %用户输入多指标输入矩阵X
Y=[]; %用户输入多指标输出矩阵Y
n=size(X',1); m=size(X,1); s=size(Y,1);
epsilon=10^-10; %定义非阿基米德无穷小=10-10
f=[zeros(1,n) -epsilon*ones(1,m+s) 1]; %目标函数的系数矩阵：的系数为0,s-,s+的系数为-e,的系数为1；
A=zeros(1,n+m+s+1); b=0; %<=约束；
LB=zeros(n+m+s+1,1); UB=[]; %变量约束；
LB(n+m+s+1)= -Inf; %-Inf表示下限为负无穷大。
for i=1:n;
Aeq=[X eye(m) zeros(m,s) -X(:,i)
Y zeros(s,m) -eye(s) zeros(s,1)];
beq=[zeros(m, 1 )
Y(:,i)];
w(:,i)=LINPROG (f,A,b,Aeq,beq,LB,UB); %解线性规划，得DMU的最佳权向量w; end
w %输出最佳权向量
lambda=w(1:n,:) %输出
s_minus=w(n+1:n+m,:) %输出s-
s_plus=w(n+m+1:n+m+s,:) %输出s+
theta=w(n+m+s+1,:) %输出
dea,在MATLAB中的应用(四)
Matlab在共形映射中的应用
摘 要：文章就复变函数共形映射理论的若干问题，利用MATLAB软件求解。使得复杂的复数域内的分式线性映射的计算过程及某些共形映射图形借助于matlab软件来实现。 关键词：复变函数 映射 Matlab
中图分类号：O174.55 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）04（b）-0173-02
共形映射是复变函数中重要的概念之一。共形映射的方法，解决了动力学，弹性理论，静电场与磁场等方面的许多实际问题。由于该理论独特的思维方法、抽象的理论基础，使得学生学习这方面知识时存在着一定的困难，借助于MATLAB这一强大的计算和画图软件，可以使得共形映射理论的若干问题，计算得以简化，抽象的理论可视化。
3 结语
本文运用比较简单的编程，完成一些比较繁杂的共形映射计算与作图，对于提高学生的计算能力和实践能力具有积极的作用。
参考文献
[1] 钟玉泉.复变函数论[M].高等教育出版社，2008：277-323.
[2] 刘建亚，张光明，郑修才.复变函数与积分变换[M].高等教育出版社，2005：110-134.
[3] 宋叶志，贾东永.MATLAB数值分析与应用[M].机械工业出版社，2009：92-114.
[4] （俄罗斯）.M.A.拉夫连季耶夫，沙巴特，著.复变函数论方法[M].6版.高等教育出版社，2006.1：77-115.
dea,在MATLAB中的应用(五)
Matlab在自动控制原理中的应用
摘 要：把MATLAB控制系统工具箱（control systems toolbox）和仿真环境SIMULINK运用到《自动控制原理》的教学中，很好的解决了这门课中实际的数据计算、图形绘制、性能指标求取以及系统校正与设计等技术问题，把学生从繁琐的数学计算过程中解放出来，用图形表示系统动态响应过程和稳态响应过程，结果直观易于分析，提高学生对该门课的兴趣，加深学生对自动控制系统工作原理的理解和领会，为以后专业课程的学习打下坚实的基础。 关键词：MATLAB；自动控制系统；系统响应；系统设计
0 引言
高职院校的学生重在强化职业技能的培养，而《自动控制原理》这门课程中除了讲解控制系统的工作原理外，控制系统的模型是一个非常重要的环节，对控制系统性能进行定量的计算和分析，离不开控制系统的数学模型，涉及到对微分方程数学模型的求解，用到Laplace变换及反变换，对系统响应超调量、上升时间、调节时间、峰值的求取，都要用到繁琐的数学计算，对系统时域或者频域稳定性的分析，绘制Naquist曲线和Bode图以及系统的校正与设计，如果全靠手工计算数据，手工绘图的话，费时费力，有时还得不到准确的数据和图像。
MATLAB是Mathworks公司开发的一种集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的功能强大、操作简单的优秀工程计算应用软件。MATLAB不仅可以处理代数问题和数值分析问题，而且还具有强大的图形处理及仿真模拟等功能。
1 MATLAB在控制系统建模中的应用
MATLAB是国际控制界目前使用最广的工具软件，几乎所有的控制理论与应用分支中都有MATLAB工具箱。这里结合自动控制理论的基本内容，采用控制系统工具箱（Control Systems Toolbox）和仿真环境（Simulink），体会MATLAB的应用。
1.1 用MATLAB建立传递函数模型
1.1.1 反馈系统结构图模型
图1 反馈系统结构图
设反馈系统结构图如图1所示。控制系统工具箱中提供了feedback（）函数，用来求取反馈连接下总的系统模型，该函数调用格式为：G=feedback（G1，G2，sign）。
1.1.2 Simulink建模方法
在一些实际应用中，如果系统的结构过于复杂，不适合用前面介绍的方法建模。在这种情况下，功能完善的Simulink程序可以用来建立新的数学模型。
典型二阶系统的结构图如图2所示。用SIMULINK对系统进行仿真分析。
图2 典型的二阶系统结构图
将画出的所有模块按图2用鼠标连接起来，构成一个原系统的框图描述如图3所示。
图3 二阶系统的simulink实现
利用MATLAB命令plot（tout，yout），可将结果绘制出来，如图4所示。比较图4和图5，可以发现这两种输出结果是完全一致的。
图4 仿真结果示波器 图5 MATLAB命令得出
显示图 的系统响应曲线
2 利用MATLAB进行时域分析
2.1 线性系统稳定性分析
系统的零极点模型可以直接被用来判断系统的稳定性。另外，MATLAB语言中提供了有关多项式的操作函数，也可以用于系统的分析和计算。
2.1.1 直接求特征多项式的根
设p为特征多项式的系数向量，则MATLAB函数roots（）可以直接求出方程p=0在复数范围内的解v，该函数的调用格式为：v=roots（p）
利用多项式求根函数roots（），可以很方便的求出系统的零点和极点，然后根据零极点分析系统稳定性和其它性能。
2.1.2 系统动态特性分析
已知传递函数为：
利用以下MATLAB命令可得阶跃响应曲线如图6所示。
图6 MATLAB绘制的响应曲线
>>num=[0，0，25]；den=[1，4，25]；step（num，den） grid
title（1Unit-Step Response of G（s）=25/（s^2+4s+25
）1）
2.1.3 求阶跃响应的性能指标
已知二阶系统传递函数为：
利用下面的stepanalysis.m程序可得到阶跃响应如图 7及性能指标数据。
>> G=zpk（[ ]，[-1+3*i，-1-3*i ]，3）；
% 计算最大峰值时间和它对应的超调量。
C=dcgain（G） [y，t]=step（G）；plot（t，y） grid；[Y，k]=max（y）；timetopeak=t（k）
percentovershoot=100*（Y-C）/C% 计算上升时间。
n=1；
while y（n）
end
risetime=t（n） % 计算稳态响应时间。
i=length（t）；
while（y（i）>0.98*C）&（y（i）<1.02*C）
i=i-1；
end
setllingtime=t（i）
运行后的响应图如图6，命令窗口中显示的结果为
C=0.3000 timetopeak=1.0491
percentovershoot=35.0914 risetime=0.6626
setllingtime=3.5337 图7 二阶系统阶跃响应
2.1.4 利用MATLAB绘制系统根轨迹
控制系统工具箱中提供了rlocus（）函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹。
已知系统的开环传递函数模型为：
利用MATLAB命令可容易地验证出系统的根轨迹如图8所示。
3 利用MATLAB进行频域分析
3.1 用MATLAB作奈魁斯特图
虑二阶典型环节：
图8 系统的根轨迹
利用下面的命令，可以得出系统的奈氏图，如图9所示。
>> num=[0，0，1]；den=[1，0.8，1]；nyquist（num，den）% 设置坐标显示范围
v=[-2，2，-2，2]；
axis（v）
grid
title（′Nyquist Plot of G（s）=1/（s^2+0.8s+1）′）
图9 二阶环节奈氏图
3.2 用MATLAB作伯德图图
给定单位负反馈系统的开环传递函数为：
利用以下MATLAB程序，可以直接在屏幕上绘出伯德图如图10。
>> num=10*[1，1]；den=[1，7，0]；bode（num，den）grid
title（′Bode Diagram of G（s）=10*（s+1）/[s（s+7）] ′）
该程序绘图时的频率范围是自动确定的，从0.01弧度/秒到30弧度/秒，且幅值取分贝值，ω轴取对数，图形分成2个子图，均是自动完成的。
图10 自动产生频率点画出的伯德图
4 利用MATLAB进行频域法串联校正
利用MATLAB可以方便的画出Bode图并求出幅值裕量和相角裕量。通过反复试探不同校正参数对应的不同性能指标，能够设计出最佳的校正装置。
给定系统如图11 所示，试设计一个串联校正装置，使系统满足幅值裕量大于10分贝，相位裕量≥45o。
为了满足上述要求，我们试探地采用超前校正装置Gc（s），使系统变为图12的结构。
图11 校正前系统
图12 校正后系统
引入一个串联超前校正装置：
我们可以通过下面的MATLAB语句得出校正前后系统的Bode图如图13，校正前后系统的阶跃响应图如图14。其中ω1、γ1、ts1分别为校正前系统的幅值穿越频率、相角裕量、调节时间，ω2、γ2、ts2分别为校正后系统的幅值穿越频率、相角裕量、调节时间。
>> G1=tf（100，[0.04，1，0]）； % 校正前模型
G2=tf（100*[0.025，1]，conv（[0.04，1，0]，[0.01，1]）） % 校正后模型
% 画伯德图，校正前用实线，校正后用短划线。
bode（G1） hold bode（G2， ′――′）%画时域响应图，校正前用实线，校正后用短划线。
Figure G1_c=feedback（G1，1） G2_c=feedback（G2，1） step（G1_c） hold step（G2_c， ′――′）
图13 校正前后系统的Bode图
图14 校正前后系统的阶跃响应图
可以看出，在这样的控制器下，校正后系统的相位裕量由28o增加到48o，调节时间由0.28s减少到0.08s。系统的性能有了明显的提高，满足了设计要求。
5 结论
通过MATLAB在建模、时域分析、频域分析、系统校正中的应用可以看到，MATLAB工具箱在自动控制原理课中的应用无处不在，MATLAB不仅可以处理代数问题和数值分析问题，而且还具有强大的图形处理及仿真模拟等功能，从而很好地帮助老师和学生解决《自动控制原理》这门课中实际的数据计算、图形绘制、性能指标求取以及系统校正与设计等技术问题。
参考文献：
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本文由南京交通职业技术学院基金项目――“Matlab在自动控制原理中应用”（JY1110）支持。
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