欧拉名言

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欧拉名言(共10篇)

欧拉名言（一）

虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现陕.
因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造,因此,如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则,那就根本不会发生任何事情

欧拉名言（二）

故事:数学英雄欧拉（Euler）
要问在历史上这些数学家中我最佩服谁,那肯定是欧拉.
欧拉小学就被开除了,因为他问的问题太多,给老师太多的难堪.有人说欧拉是先会算术后会说话的,高斯也是这样,高斯一岁时就能发现父亲账本上计算的错误,不过这肯定是传说.但是欧拉很小就知道等周原理：在周长固定的所有图形,面积最大的一定是圆.
大名鼎鼎的约翰.贝努力是欧拉父亲的朋友,第一次见到六岁的欧拉就被欧拉问住了："我知道一个数6,它有因数1,2,3,6,加起来是6的2倍；还有一个数28,有因数1,2,4,7,14,28,加起来也是28的2倍,还有多少这样的数?"这类数叫做完全数,还是欧拉,最终给出了偶数完全数的表达式,那是后来的事情了.对于奇数的情形,谁要是能正确证明有或者没有,现在肯定能拿到数学最高奖.欧拉17岁获得了瑞士巴赛尔大学的硕士学位,欧拉太专注数学,以至于贝努力不得不规定,吃饭时间不许看书.他19岁时被俄罗斯卡德琳娜女王邀请到彼得堡科学院从事研究.
欧拉解决的问题实在太多了,解决问题过程中创造出的方法不知开创了多少个数学分支.欧拉因为解决著名的七桥问题开创了拓扑学,歌德巴赫猜想是因为歌德巴赫和欧拉的通信而出名的.任何一个正整数都一定能写成不超过四个平方数之和是欧拉最早证明的,这可是将近两千年无人解决的问题.数论,几何,力学,天体力学,到处留下欧拉的足迹.现代数学的符号和表达式,如三角,指数,e,i,π 等等,都是欧拉创立的.历史上第一本流行的微积分教科书也是欧拉写的.后来所有的微积分教科书,或者是抄袭欧拉的,或者是抄袭抄袭欧拉的.
欧拉研究数学,就像人在呼吸,鸟在飞翔一样自由和自在.
欧拉早就发现了‘变分法"可是当他发现法国人拉格朗日也有这类思想时,就把自己的藏起来不发表,把出名的机会留给年轻人.
欧拉由于看书过多,年轻时就瞎了一只眼睛,到59岁时,他的左眼也逐渐失明了.正当他抢在完全失明前抢救资料时,一场大火烧毁了他的一切资料.
欧拉大部分工作是在失明以后完成的,包括四平方定理.
欧拉的两个学生因为计算一个无穷级数答案不一样发生争执,失明的欧拉用心算找出了小数点后第50位的错误,结果证明这两个学生都算错了.这就是欧拉.
格言:
俄国历史学家雷巴柯夫在利用时间方面是这样说的：“时间是一个常数,但对于勤奋者来说,它又是一个“变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间要多59倍.”
著名的国际工人运动活动家季米特洛夫在评价一天的工作时间时说：“要利用时间,思考一下一天之中做了些什么,是“正号”还是“负号”,倘若是“+”,则进步；倘若是“—”,就得吸取教训,采取措施.”
近代伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时,写下了一个公式：A=x+y+z.“A代表成功,x代表艰苦的劳动,y代表正确的方法,z代表少说空话.”
大发明家爱迪生在谈到天才时是用加法来描述的,他说：“天才=1%的灵感+99%的血汗.”【欧拉名言】

欧拉名言（三）

牛顿的主要数学成就是和莱布尼茨创立了微积分；高斯是数学史上最伟大的数学家,他所做的成绩都是其他数学家无法企及的,非要说最好的成就,恐怕解决了代数基本定理应该算是非常出名了；欧拉的主要成就也就是以他名字命名的欧拉公式了.

欧拉名言（四）

按照传统的定义,数学 是指研究数量关系和空间结构的一门学科.
数学大体包括代数、几何、分析学、函数论、方程、概率、数论、数理逻辑、图论、组合论等几大类.

所谓的数学研究工作,不仅是了解及整理已知的结果,还包含着创造新的数学成果与理论.会强调这点是因为许多人误解数学是一个已经被研究完的领域.事实上,数学上还有许多未知的领域和待解决的问题,也一直有大量新的数学成果发表.这些数学成果有些是新的数学知识,有些是是新的应用方式. 所以心算家、珠算家不是数学家,数学家也不见得能够快速的做出各种计算.
丘成桐（Shing—tung Yau）
丘成桐博士为国际著名数学家,美国科学院院士,中国科学院外籍院士.1982年由于他在几何方面的杰出工作,获得了菲尔茨奖（被称之为数学的诺贝尔奖）.1994年,获得了瑞典皇家学员颁发的国际上著名的克雷福德奖 (Clifford).1997年获美国国家科学奖.
丘成桐博士在科研方面做出了杰出的成就,赢得了许多荣誉.更为可贵的是,他十分关注中国基础研究的发展,并将其同自己的科研发展紧密联系在一起,多年来,一直运用他在国际上的影响和活动能力,协同各方面力量,为中国数学的发展作了大量的工作.
欧拉
欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli,1667-1748年）的精心指导.
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家,据统计他那不倦的一生,共写下了886本书籍和论文,其中分析、代数、数论占40%,几何占18%,物理和力学占28%,天文学占11%,弹道学、航海学、建筑学等占3%,彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了四十七年.19世纪伟大数学家高斯（Gauss,1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法."
过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁.1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请,到柏林担任科学院物理数学所所长,直到1766年,后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡,不料没有多久,左眼视力衰退,最后完全失明.不幸的事情接踵而来,1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅,带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中,虽然他被别人从火海中救了出来,但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了.
沉重的打击,仍然没有使欧拉倒下,他发誓要把损失夺回来.在他完全失明之前,还能朦胧地看见东西,他抓紧这最后的时刻,在一块大黑板上疾书他发现的公式,然后口述其内容,由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录.欧拉完全失明以后,仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗,凭着记忆和心算进行研究,直到逝世,竟达17年之久.
欧拉的记忆力和心算能力是罕见的,他能够复述年青时代笔记的内容,心算并不限于简单的运算,高等数学一样可以用心算去完成.
欧拉的风格是很高的,拉格朗从19岁起和欧拉通信,讨论等周问题的一般解法,这引起变分法的诞生.等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题,拉格朗日的解法,博得欧拉的热烈赞扬,欧拉充沛的精力保持到最后一刻,1783年9月18日下午,欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功,请朋友们吃饭,那时天王星刚发现不久,欧拉写出了计算天王星轨道的要领,还和他的孙子逗笑,喝完茶后,突然疾病发作,烟斗从手中落下,口里喃喃地说："我死了",欧拉终于"停止了生命和计算".
一些趣闻

1.一般公认,历史上可考的、年代最久远的数学家是古希腊几何学家泰勒斯.
2.史上著作与论文总量第二多的是十七世纪的著名瑞士数学家欧拉,他的纪录一直到二十世纪才被匈牙利数学家保罗·埃尔德什打破.
数学家名言

“我国科学家王菊珍对待实验失败有句格言,叫做“干下去还有50％成功的希望,不干便是100％的失败.”
－－－－王菊珍
“一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估价好比分母.分母越大,则分数的值就越小.” －－－－托尔斯泰
"数学的本质在於它的自由.”---- 康扥尔(Cantor)
“在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.”---- 康扥尔(Cantor)
"没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感, 很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想, 然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明.”---- 希尔伯特(Hilbert)
“数学是无穷的科学”----赫尔曼外尔
"问题是数学的心脏”---- P.R.Halmos
“只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡.” ----Hilbert
“数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.”---- 高斯
“时间是个常数,但对勤奋者来说,是个‘变数’.用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍.” ----雷巴柯夫
“在学习中要敢于做减法,就是减去前人已经解决的部分,看看还有那些问题没有解决,需要我们去探索解决.” ----华罗庚
“天才=1％的灵感+99％的血汗.”－－－－ 爱迪生
“要利用时间,思考一下一天之中做了些什么,是‘正号’还是‘负号’,倘若是‘+’,则进步；倘若是‘-’,就得吸取教训,采取措施.” －－－－季米特洛夫
“近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时,写下一个公式：A=x+y+z.并解释道：A代表成功,x代表艰苦的劳动,y代表正确的方法,Z代表少说空话.” －－－－爱因斯坦
“数学是无穷的科学.” －－－－赫尔曼外尔
“数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深. 数学是科学之王.” －－－－高斯
“在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.” －－－－康扥尔
“只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.”
－－－－希尔伯特
“在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.” －－－－毕达哥拉斯
“一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.” －－－－马克思
“一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量.” －－－－拉奥
“数学——科学不可动摇的基石,促进人类事业进步的丰富源泉.” ---- 巴罗
“在奥林匹斯山上统治著的上帝,乃是永恒的数.” ----雅可比
“如果没有数所制造的关於宇宙的永恒的仿造品,则人类将不能继续生存.” ----尼采
“不懂几何者免进.” ----柏拉图
“几何无王者之道!” ---- 欧几里得
“数学家实际上是一个著迷者,不迷就没有数学.” ---- 诺瓦利斯
“没有大胆的猜测,就做不出伟大的发现.” ---- 牛顿
“数统治着宇宙.”－－－－毕达哥拉斯
“数学,科学的女皇；数论,数学的女皇.”－－－－高斯
“上帝创造了整数,所有其余的数都是人造的.” ----克隆内克
“上帝是一位算术家” －－－－雅克比
“一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家.”－－－－维尔斯特拉斯
“纯数学这门科学再其现代发展阶段,可以说是人类精神之最具独创性的创造.”－－－－怀德海
“可以数是属统治着整个量的世界,而算数的四则运算则可以看作是数学家的全部装备.”－－－－麦克斯韦
“数论是人类知识最古老的一个分支,然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的.”－－－－史密斯
“无限!再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵.”－－－－希尔伯特
“发现每一个新的群体在形式上都是数学的,因为我们不可能有其他的指导.”－－－－达尔文
“宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了.”－－－－京斯
“这是一个可靠的规律,当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时,他是在胡说八道.”－－－－A?N?怀德海
“给我五个系数,我讲画出一头大象；给我六个系数,大象将会摇动尾巴.”－－－－柯西
“纯数学是魔术家真正的魔杖.”－－－－诺瓦列斯
“如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量,那他就不值得人的称号.”－－－－柏拉图
“整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉.”－－－－伯克霍夫
“数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立行是其本质的直接后果.”－－－－A?埃博
“生命只为两件事,发展数学与教授数学” －－－－普尔森
“用心智的全部力量, 来选择我们应遵循的道路.”－－－－笛卡儿
“我不知道, 世上人会怎样看我； 不过, 我自己觉得, 我只像一个在海滨玩耍的孩子, 一会捡起块比较光滑的卵石, 一会儿找到个美丽的贝壳； 而在我前面, 真理的大海还完全没有发现.” －－－－牛顿
“我之所以比笛卡儿看得远些, 是因为我站在巨人的肩上.” －－－－牛顿
“不亲自检查桥梁的每一部分的坚固性就不过桥的旅行者是不可能走远的. 甚至在数学中有些事情也要冒险.”
－－－－贺拉斯.兰姆
“前进吧, 前进将使你产生信念.”－－－－达朗贝尔
“读读欧拉, 读读欧拉, 他是我们大家的老师.” －－－－拉普拉斯
“如果我继承可观的财产, 我在数学上可能没有多少价值了.”－－－－拉格朗日
“我把数学看成是一件有意思的工作, 而不是想为自己建立什么纪念碑. 可以肯定地说, 我对别人的工作比自己的更喜欢. 我对自己的工作总是不满意. ”－－－－拉格朗日
“一个人的贡献和他的自负严格地成反比,这似乎是品行上的一个公理. ”－－－－拉格朗日
“看在上帝的份上, 千万别放下工作!这是你最好的药物. ”－－－－达朗贝尔
“我的成功只依赖两条. 一条是毫不动摇地坚持到底； 一条是用手把脑子里想出的图形一丝不差地制造出来.”
－－－－蒙日
“天文科学的最大好处是消除由于忽视我们同自然的真正关系而造成的错误. 因为社会秩序必须建立在这种关系之上, 所以这类错误就更具灾难性. 真理和正义是社会秩序永恒不变的基础. 但愿我们摆脱这种危险的格言, 说什么进行欺骗和奴役有时比保障他们的幸福更有用! 各个时代的历史经验证明, 谁破坏这些神圣的法则, 必将遭到惩罚.”
－－－－拉普拉斯
“有时候, 你一开始未能得到一个最简单,最美妙的证明, 但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中去. 这是我们继续研究的动力, 并且最能使我们有所发现.” －－－－高斯
“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久, 他也会找到我的发现.” －－－－高斯
“人死了, 但事业永存. ” －－－－柯西
“精巧的论证常常不是一蹴而就的,而是人们长期切磋积累的成果. 我也是慢慢学来的,而且还要继续不断的学习.” －－－－阿贝尔
“到底是大师的著作, 不同凡响!”－－－－伽罗瓦
“异常抽象的问题, 必须讨论得异常清楚. ” － －－－笛卡儿
“我思故我在.”----笛卡儿
“我决心放弃那个仅仅是抽象的几何.这就是说,不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题.我这样做,是为了研究另一种几何,即目的在于解释自然现象的几何.”----笛卡儿
"数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具,是一些现象的根源.数学是不变的,是客观存在的,上帝必以数学法则建造宇宙.”----笛卡儿
“直接向大师们而不是他们的学生学习.” －－－－阿贝尔
“挑选好一个确定得研究对象, 锲而不舍. 你可能永远达不到终点, 但是一路上准可以发现一些有趣的东西.” －－－克莱因
“我决不把我的作品看做是个人的私事, 也不追求名誉和赞美. 我只是为真理的进展竭尽所能. 是我还是别的什么人, 对我来说无关紧要, 重要的是它更接近于真理. ” －－－－维尔斯特拉斯
“思维的运动形式通常是这样的：有意识的研究－潜意识的活动－有意识的研究.”－－－－庞加莱
“人生就是持续的斗争, 如果我们偶尔享受到宁静, 那是我们先辈顽强地进行了斗争. 假使我们的精神, 我们的警惕松懈片刻, 我们将失去先辈为我们赢得的成果. ” －－－－庞加莱
“如果我们想要预见数学的将来, 适当的途径是研究这门学科的历史和现状. ”－－－－庞加莱
“我们必须知道, 我们必将知道.” －－－－希尔伯特
“扔进冰水, 由他们自己学会游泳, 或者淹死. 很多学生一直要到掌握了其他人做过的, 与他们问题有关的一切,才肯试着靠自己去工作, 结果是只有极少数人养成了独立工作的习惯. ” －－－－E.T.贝尔
“一个人如果做了出色的数学工作, 并想引起数学界的注意, 这实在是容易不过的事情, 不论这个人是如何位卑而且默默无闻, 他只需做一件事：把他对结果的论述寄给 处于领导地位的权威就行了.”
－－－－莫德尔
“数学家通常是先通过直觉来发现一个定理； 这个结果对于他首先是似然的, 然后他再着手去制造一个证明.” －－－－哈代
“一个做学问的人, 除了学习知识外, 还要有“taste”, 这个词不太好翻译, 有的译成品味, 喜爱. 一个人要有大的成就, 就要有相当清楚的“taste. ”－－－－杨振宁
“如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然,那会是一个严重的错误.给我五个系数,我将画出一头大象；给我第六个系数,大象将会摇动尾巴.人必须确信,如果他是在给科学添加许多新的术语而让读者接着研究那摆在他们面前的奇妙难尽的东西,已经使科学获得了巨大的进展.”－－－－柯西
“数学是一门演绎的学问,从一组公设,经过逻辑的推理,获得结论.”－－－－陈省身
“科学需要实验.但实验不能绝对精确.如有数学理论,则全靠推论,就完全正确了.这是科学不能离开数学的原因.许多科学的基本观念,往往需要数学观念来表示.所以数学家有饭吃了,但不能得诺贝尔奖,是自然的.”
－－－陈省身
“数学中没有诺贝尔奖,这也许是件好事.诺贝尔奖太引人注目,会使数学家无法专注于自己的研究.”
－－－－陈省身
“我们欣赏数学,我们需要数学.”－－－－陈省身
“一个数学家的目的,是要了解数学.历史上数学的进展不外两途：增加对于已知材料的了解,和推广范围.”
－－－－陈省身
“虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.”－－－－欧拉
“因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造,因此,如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则,那就根本不会发生任何事情.”－－－－欧拉
“迟序之数,非出神怪,有形可检,有数可推.”－－－－祖冲之
“事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干知,发其一端而已.又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣.”----刘徽
“虚数是奇妙的人类棈神寄托,它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物.”----莱布尼茨
“不发生作用的东西是不会存在的.”----莱布尼茨
“考虑了很少的那几样东西之后,整个的事情就归结为纯几何,这是物理和力学的一个目标.” ----莱布尼茨
“几何看来有时候要领先于分析,但事实上,几何的先行于分析,只不过像一个仆人走在主人的前面一样,是为主人开路的.”----西尔维斯特
“也许我可以并非不适当地要求获得数学上亚当这一称号,因为我相信数学理性创造物由我命名(已经流行通用)比起同时代其它数学家加在一起还要多. ”----西尔维斯特
“一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家.”----魏尔斯特拉斯

欧拉名言（五）

介绍编辑
含有未知函数的导数,如
、
的方程都是微分方程. 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的,叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.微分方程有时也简称方程.[1]
2定义式编辑
f(x,y",y"",…``…y(n))=0
3概述编辑
大致与微积分同时产生.事实上,求y′=f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程.I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下,一个单一的行星的运动.他把两个物体都理想化为质点,得到3个未知函数的3个二阶方程组,经简单计算证明,可化为平面问题,即两个未知函数的两个二阶微分方程组.用叫做“首次积分”的办法,完全解决了它的求解问题.17世纪
微分方程
就提出了弹性问题,这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等.总之,力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代,甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程,如人口发展模型、交通流模型…….因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的.当初,数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上,后来证明这一般不可能,于是逐步放弃了这一奢望,而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等.但是,即便是一阶常微分方程,初等解(化为积分形式)也被证明不可能,于是转向定量方法（数值计算）、定性方法,而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题.
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解.
但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：物质在一定条件下的运动变化,要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道,等等.
物质
微分方程
运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个未知的函数.
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似,也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式.但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方.
在数学上,解这类方程,要用到微分和导数的知识.因此,凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程.
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.
微分方程
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.
牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律.后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.
微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.
4来源编辑
微分方程研究的来源：它的研究来源极广,历史久远.I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时,指出了它们的互逆性,事实上这是解决了最简单的微分方程y"=f(x)的求解问题.当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时,微分方程就大量地涌现出来.
20世纪以来,随着大量的边
微分方程
缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程.从“求通解”到“求解定解问题” 　数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力,逐渐被放弃.第一,能求得通解的方程显然是很少的.在常微分方程方面,一阶方程中可求得通解的,除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外,为数是很小的.如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算,那么,也和熟知的逆运算一样,它是带试探性而没有一定的规则的,甚至有时是不可能的（J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解）,何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的.第二,当人们要明确通解的意义的时候（在19世纪初叶分析奠基时期显然会考虑到此问题）就会碰到严重的含糊不清之处,达布在他的教学中经常提醒大家注意这些困难.这主要发生在偏微分方程的研究中.
第三,微分方程在物理学、力学中的重要应用,不在于求方程的任一解,而是求得满足某些补充条件的解.A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因.这些补充条件即定解条件.求方程满足定解条件的解,称之为求解定解问题.
早期由于外弹道学的需要,以及40年代由于高速气动力学研究激波的需要,拟线性一阶双曲组的间断解的研究更得到了重大发展,苏联和美国学者作出了贡献.泛函分析和偏微分方程间的相互联系,相互促进发展,首先应归功于法、波、苏等国学者的努力.
中华人民共和国建立后,微分方程得到了重视和发展.培养了许多优秀的微分方程的工作者,在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果.
5应用编辑
平面二次曲线方程含有五个参数,两端对x求五次微商,连同原方程共得六个方程,消去参数就得到微分方程
1
.　 　(1)
又如曲面变形论提出了微分方程组
2
(2)
几何学提出的微分方程很多.（J.-）G.达布的《曲面一般理论教程》一直是这方面值得参考的书.
变分学中令积分取极值的必要条件欧拉方程一般是非线性微分方程（或组）.
从理论上讲,若已知方程的通解,则只需选择其中的任意元素使之满足定解条件即可得出定解问题的解.而实际上这种选择往往是非常难的,更不用说求得通解的困难了.相反地,如果把出现在定解条件中的数据或多或少地变动一下都能求得方程的一个解,那么把这些数据作尽可能地变动时就可能求得方程所有的解即通解.就是采取了这种观点,柯西和K.（T.W.）外尔斯特拉斯几乎同时证明了常微分方程通解的存在性,而偏微分方程也从此得到了迅速的发展.
定解问题的定义和要求
方程（或称泛定方程
微分方程
） 是加在含m个自变量x1,x2,…,xm的未知函数u及其各阶偏微商上的一个关系,即若把u和由它而得的它的各阶偏微商（至少是方程中出现的）都代入F中,则所得结果对于Rm中的某区域Ωm的所有内点x1,x2,…,xm来说,都要求恒等于零；但对于Ωm的边界点来说,并不作这样的要求.至于定解条件当xm=0时则是在Rm中(m-1)维流形xm=0上被满足的.这时,xm=0就称为支柱.xm=0有时是Ωm中的一个(m-1)维流形,有时就是Ωm的边界дΩm或дΩm的一部分.所谓当xm=0时有,就是在Ωm 内当xm=0附近任一点沿任一曲线趋近于xm=0上任一点(x嬼,x嬽,…,x圛)时,u趋近于u0(x嬼,x嬽,…,x圛).在这种理解下,P.班勒卫指出了这时u0(x1,x2,…,xm-1)应是连续的.定解条件
微分方程
当
时, ,
当然也应是在Rm中一(m－1)维流形xm=0上被满足的.这时,
仍被称为支柱,但对微商取值的理解有两种：一是把它看作当
趋近于0时
微分方程
的极限.二是把它看作当xm趋近于0时的极限.显然,若第二种理解成立则第一种理解必然成立.反之则不尽然.
应该指出,也可以用或 ,或更一般地用Rm中任何一个(m-1)维流形来代替xm=0,它们这时也都被称为支柱.对函数取值和微商取值若要作上述理解,还需对支柱作必要的正规要求,例如支柱至少是一个若尔当流形等等.
由于一阶常微分方程的一般形式是F(x,y,y┡)=0,要应用柯西定理,就必需应用隐函数理论解出y┡.在不满足隐函数定理的条件的情况,常常就是产生奇解的情况.克莱罗方程就是一个最简单的例子.定解问题研究的开展,大大帮助了对奇解的了解.
柯西提出定解问题的时代也是复变函数论开始蓬勃发展的时代,“两个实域真理间的最短途径时常是通过一个复真理的”影响,这是当时特别流行的说法,复域里常微分方程理论（即复解析理论）得到了发展.从推广柯西定理的布里奥-布凯定理,从（J.-）H.庞加莱的工作到班勒卫、J.马尔姆奎斯特等人的工作,最引人注目的是在线性方程方面,从I.L.富克斯的结果开始一直到庞加莱的自守函数理论已很完整.但是在非线性方面显然没有取得如此令人满意的成果,其原因可能是多复变函数的奇点理论和解析开拓尚有待发展.
柯西问题
二阶常微分方程的柯西问题
不是泛定方程（E2）唯一可以提出的定解问题.人们还可以提出如下的边值问题（相当于二阶偏微分方程的狄利克雷问题）：
(D1)：
1
这两个问题均可归结为线性积分方程.前者可归结为第二种沃尔泰拉积分方程,后者则是第二种弗雷德霍姆积分方程.沃尔泰拉方程可以看作弗雷德霍姆方程的特例,但不同的是后者有本征值、本征函数问题,而前者没有.边值问题和由它而引起的本征值、本征函数问题,不仅有理论上的价值,为人们提供很多特殊函数,而且有实用价值（特征值问题在大型建筑中必需考虑到）.在椭圆型偏微分方程的边值问题中同样也引起本征值和本征函数问题.
在柯西的倡导下,人们从“求通解”的时代进入了“求解定解问题”的时代,随着庞加莱的定性理论,常微分方程又从“求解定解问题”的时代进入“求所有解”的时代.
稍后,D.伯克霍夫在动力系统方面开辟了一个新领域.进入21世纪以来,由于拓扑方法的渗入,更加得到发展.苏联Α.М.李亚普诺夫在运动稳定性方面的工作,对天文学、物理学以及工程技术有广泛应用,极受重视.
此外,在考虑时滞问题时,人们还创立了差分微分方程.进入21世纪以来,泛函微分方程有很大发展.泛函微分方程是差分微分方程的推广.
柯西曾把他有关常微分方程方面的结果推广到一阶偏微分方程组的柯西问题,但他在偏微分方程中所考虑的方程并没有象在常微分方程中所考虑的方程那样有代表性.因此,后来又引进了模组的概念,柯西和稍后的С.Β.柯瓦列夫斯卡娅都用长函数法证明了模组柯西问题的解析解是唯一存在的.模的概念显然依赖于支柱.从而引入了特征的概念.应特别注意,有些组的特征表达式A能恒等于零,其中有些方程组是比较重要的,例如方程(2)就是这样的,广义相对论的基本方程组也是这样的.
20世纪初才由E.霍姆格伦在方程是非重特征的、系数是解析的、支柱是解析的而非特征的条件下,证明了解的唯一性.阿达马指出,只要能在方程是非重特征的、系数是非解析的、支柱是非特征的条件下证明霍姆格伦定理,则该定理在方程是非重特征的、非线性的、非解析的、支柱是非特征的条件下仍是正确的.至于连续依赖性则并不成立,阿达马的著名例子
阿达马的著名例子
就说明这个问题.
阿达马分析了他以前和当时的有关线性二阶偏微分方程的工作,紧紧抓住“形式相似的方程却有迥然不同的适定问题”这个矛盾,反复论证,终于发现了长期未被注意的事实,即柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理在方程、支柱和数据有一非解析时是不真的.例如Δu=0在支柱z=0的柯西问题在数据不都是解析时未必是有解的.诚然,双侧的解（即z≤0和z≥0时都存在的解）不存在,因为根据杜恩定理,若存在,则两个数据必然都是解析的.单侧的解也不存在,因为否则用照相法(实际上是一种解析开拓),则双侧解也将存在,但解析方
解析方程
程,解析支柱t=0、非解析数据的柯西问题却是实际中提出的,理论证明是适定的.
阿达马提出了基本解.这不仅是他对前人工作的总结,而且从他本人以前的成就也必然得到这个重要概念.有了基本解,模双曲型方程的柯西问题的解,只要支柱是空向的,已给数据适当正规,就可以用一个发散积分的有限部分来表示；椭圆型方程就可以形成势代表解,并通过这个势满足的弗雷德霍尔姆型积分方程求得狄里克雷问题的解.间接地求抛物型方程的基本解的步骤也是阿达马提出来的.他有一句名言：“所有线性偏微分方程问题应该并且可以用基本解来解决.”
在V.沃尔泰拉暗示下,G.F.特里科米进行了混合型方程的所谓特里科米问题的研究.所谓混合型方程,是指在蜕型线L一侧是椭圆型,在另一侧是双曲型的方程；1927年特里科米证明了解的存在性.虽然苏联学者C.A.洽普雷金在V.沃尔泰拉之前已在射流理论中提出更一般的混合型方程即洽普雷金方程,但只有在40年代由于超音速飞机的制造,在跨音速气动力学中这类方程才大受重视.M.H.普罗特尔证明了洽普雷金方程特里科米问题的解的唯一性,苏联学者A.B.比察泽也在这方面做了大量有意义的工作.由于渗流的研究,促进了拟线性退缩抛物型方程的研究发展,苏联学者为此作出了贡献.
一个方程或方程组的定解问题一旦提出,就产生下列三个问题.
①存在性问题,即这个定解问题是否有解.
②唯一性问题,即其解是否唯一.
③连续依赖性问题,即解是否连续依赖于数据,亦即是否是数据的某阶连续泛函.
若定解问题的解是存在的、唯一的、连续依赖于数据的,则这个定解问题称为适定的.对它就可以进行计算.一般而言,只有适定问题计算才有意义.这样,微分方程的研究成果才能为实际所应用.
如果对上述三个问题的回答有一个是否定的,这个定解问题就称为不适定的.一般,不适定问题是原来用来刻画实际规律的数学模型不恰当,必须另建合适的数学模型.不适定问题也是需要研究的,这种研究有时会导致理论上的新发展.
定解问题研究的发展
对常微分方程最早提出的定解问题是柯西问题(C)：
微分方程
柯西问题(C)是适定的,其根据是柯西定理：若?(x,y)在
,
上连续,并满足李普希茨条件,则柯西问题(C)在满足条件下,存在唯一的连续依赖于y0的连续解.由于泛定方程的任一解当
时总要取一个值
,因此就可以提出柯西问题(C).由于唯一性,这个柯西问题的解一定就是所考虑的解,所以柯西问题(C)的解就是泛定方程的“通解”.
柯西利用L.欧拉早就提出的近似解法（所谓欧拉折线法）证明了当折线边数无限增加、边长无限缩小时,这些折线有一极限即(C)的唯一连续依赖于
的解.这个方法称为柯西-李普希茨方法.若取消李普希茨条件,则用阿尔泽拉定理仍能证明解的存在性,但不能证明唯一性和连续依赖性.可见李普希茨条件的作用只在于保证解的唯一性.逐次逼近法导源于代数方程近似解法,刘维尔首先把它用于解沃尔泰拉积分方程,(C.-)É.皮卡才把它广泛应用于解常微分方程柯西问题(C)上,首先把柯西问题变为非线性沃尔泰拉积分方程,然后用逐次逼近法求解,结果完全和欧拉折线法的一样.
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程就叫做常微分方程,也可以简单地叫做微分方程.
一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数.也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数数相同,这种解叫做微分方程的通解.通解构成一个函数族.
如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解.对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组.
6特点编辑
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点.
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究.
后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解.当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来.
一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的,那又不好确定.因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的.
大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解.当然,这个近似解的精确程度是比较高的.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.
通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善.
7解法编辑
见大学课本《微积分》.
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法.
设特征方程
两根为
,
.
1．若实根
不等于
2．若实根
=
3．若有一对共轭复根

欧拉名言（六）

“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿,就像人进行呼吸,像鹰在风中盘旋一样.”(阿拉戈说),这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张,他是历史上最多产的数学家.与他同时代的人们称他为“分析的化身”.欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易.甚至在他生命最后7年间的完全失明也未能阻止他的无比多产,如果说视力的丧失有什么影响的话,那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力.
欧拉计算如呼吸 口算比赛我第一

欧拉名言（七）

方法一：用幂级数展开形式证明,但这只是形式证明（严格的说,在实函数域带着i只是形式上的） （（（（就是就是就是就是q239urjuq239urjuq239urjuq239urju空间里的那个空间里的那个空间里的那个空间里的那个）））） 再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy) 用牛顿幂级数展开式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.+x^n/n!+.把 e^(iy) 展开,就得到 e^z/e^x = e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-.) 由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.,siny = y-y^3/3!+y^5/5!-.所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny) 即 e^(iy) = (cosy+isiny) 方法二：见复变函数第2章,在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式.着个才是根基.由来缘于此.方法一是不严格的.再再再再 请看这请看这请看这请看这2222个积分个积分个积分个积分 ∫sqrt(x^2∫sqrt(x^2∫sqrt(x^2∫sqrt(x^2----1)dx=x*sqrt(x^21)dx=x*sqrt(x^21)dx=x*sqrt(x^21)dx=x*sqrt(x^2----1)/21)/21)/21)/2----ln(2*sqrt(x^2ln(2*sqrt(x^2ln(2*sqrt(x^2ln(2*sqrt(x^2----1)+2x)/2 1)+2x)/2 1)+2x)/2 1)+2x)/2 ∫sqrt(1∫sqrt(1∫sqrt(1∫sqrt(1----x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1----x^2)/2; x^2)/2; x^2)/2; x^2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以上式左边相当于下式左边乘以上式左边相当于下式左边乘以上式左边相当于下式左边乘以i i i i 于是上式右边相当于下式右边乘以于是上式右边相当于下式右边乘以于是上式右边相当于下式右边乘以于是上式右边相当于下式右边乘以i i i i 然后化简就得到欧拉公式然后化简就得到欧拉公式然后化简就得到欧拉公式然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密这个证明方法不太严密这个证明方法不太严密这个证明方法不太严密 但很有但很有但很有但很有启发

欧拉名言（八）

莱昂哈德·欧拉Leonhard Euler 1707年4月5日～1783年9月18日 是瑞士数学家和物理学家.他被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）.欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人,例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出).他是把微积分应用于物理学的先驱者之一.　　"欧拉进行计算看起来毫不费劲儿,就像人进行呼吸,像鹰在风中盘旋一样°(阿拉戈语),这封伦纳德．欧拉(1707--1783)无与伦比的数学才能来说并不夸张,他是历史上最多产的数学家.与他同时代的人们称他为"分析的化身".欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易.甚至在他生命最后17年间的完全失明也未能阻止他的无比多产,如果说视力的丧失有什么影响的话,那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力.
　　欧拉到底为了多少著作,直至1936年人们也没有确切的了解.但据估计,要出版已经搜集到的欧拉著作,将需用大4开本60至80卷.1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文.这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的.这也恰恰显示出,欧拉属于整个文明世界,而不仅仅屈于瑞士.为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了.
　　欧拉和丹尼尔·伯努利一起,建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量.
　　他还直接从牛顿运动定律出发,建立了流体力学里的欧拉方程.这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程.人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波.
　　他对微分方程理论作出了重要贡献.他还是欧拉近似法的创始人,这些计算法被用于计算力学中.此中最有名的被称为欧拉方法.
　　在数论里他引入了欧拉函数.
　　自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数.例如,因为有四个自然数1,3,5和7与8互质.
　　在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的.
　　在分析领域,是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数.
　　他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：
　　:其中是黎曼函数.
　　欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这就是欧拉公式,它成为指数函数的中心.
　　在初等分析中,从本质上来说,要么是指数函数的变种,要么是多项式,两者必居其一.被理查德·费曼称为“最卓越的数学公"”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）：
　　:在1735年,他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数：
　　:他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一,这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效.
　　在1739年,欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》,书中试图把数学和音乐结合起来.
　　一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作.
　　在经济学方面,欧拉证明,如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量,在规模报酬不变的情形下,总收入和产出将完全耗尽.
　　在几何学和代数拓扑学方面,欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系：:
　　其中,F为给定多面体的面数之和,E为边数之和,V为顶点数之和.
　　这个定理也可用于平面图.对非平面图,欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形,则：:其中χ为此流形的欧拉特征值,在流形的连续变形下是不变量.
　　单联通流形,例如球面或平面,的欧拉特征值是2.
　　对任意的平面图,欧拉公式可以推广为：,其中为图中连通分支数.
　　在1736年,欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题,并且发表了论文《关于位置几何问题的解法(Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》,对一笔画问题进行了阐述,是最早运用图论和拓扑学的典范.
　　数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行

欧拉名言（九）

分式里的欧拉公式
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.
e^ix=cosx+isinx的证明：
因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-……
在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=〒i,(±i)^4=1 ……（注意：其中”〒”表示”减加”）
e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!〒x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
将公式里的x换成-x,得到：
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式
三角形中的欧拉公式
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则：d＾2=R＾2-2Rr
拓扑学里的欧拉公式
V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数.
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上）,那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h.
X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围.
在多面体中的运用:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式
初等数论里的欧拉公式
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数.n是一个正整数.
欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等.则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它.
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名.
(6) 立体图形里的欧拉公式：
面数+顶点数—2=棱数

欧拉名言（十）

V+F-E=2,V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数

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