离散函数,,连续函数

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离散函数,,连续函数(一)
连续传递函数离散化的方法与原理

目录

第一章 模拟化设计基础 第一节 步骤

第二节 在MATLAB中离散化 第三节 延时e-Ts环节的处理 第四节 控制函数分类 第二章 离散化算法 摘要 比较

第一节 冲击响应不变法(imp,无保持器直接z变换法) 第二节 阶跃响应不变法(zoh,零阶保持器z变换法) 第三节 斜坡响应不变法(foh,一阶保持器z变换法) 第四节 后向差分近似法 第五节 前向差分近似法 第六节 双线性近似法(tustin) 第七节 预畸双线性法(prevarp) 第八节 零极点匹配法(matched) 第三章 时域化算法

第一节 直接算法1—双中间变量向后递推 第二节 直接算法2—双中间变量向前递推 第三节 直接算法3—单中间变量向后递推

第四节 直接算法4—单中间变量向前递推(简约快速算法)

1 1 3 5 6 10 10 11 11 11 11 12 14 15 17 18 19 19 20 21 21

第五节 串联算法 第六节 并联算法 第四章 数字PID控制算法 第一节 微分方程和差分方程 第二节 不完全微分 第三节 参数选择 第四节 c51框架 第五章 保持器 第一节 零阶保持器 第二节 一阶保持器

附录 两种一阶离散化方法的结果的比较

22 23 24 25 25 26 27 33 33 30 31

第一章 模拟化设计基础

数字控制系统的设计有两条道路，一是模拟化设计，一是直接数字设计。如果已经有成熟的模拟控制器，可以节省很多时间和部分试验费用，只要将模拟控制器离散化即可投入应用。如果模拟控制器还不存在，可以利用已有的模拟系统的设计经验，先设计出模拟控制器，再进行离散化。

将模拟控制器离散化，如果用手工进行，计算量比较大。借助数学软件MATLAB控制工具箱，可以轻松地完成所需要的全部计算步骤。如果需要的话，还可以使用MATLAB的SIMULINK工具箱，进行模拟仿真。

第一节 步骤

步骤1 模拟控制器的处理

在数字控制系统中，总是有传输特性为零阶保持器的数模转换器（DAC），因此，如果模拟控制器尚未设计，则应以下图

1eTs的方式设计模拟控制器，即在对象前面加上一个零阶保持器，形成一个新对象G(s)，然后针对这个新对象求模拟控

s制器D(s)。事实上，模拟控制器一般是已经设计好的，无法或不方便更改了，离散化后的系统只好作为近似设计了。 然而，按照上述思路，可否将已有的控制器除以一个零阶保持器再离散化呢？还没有这方面的实际经验。

-Ts

x

-

e

D(s)

1-es

G(s)u

模拟控制器对象

以下假设选定的G(s)，D(s)如下图，而且不对G(s)作添加保持器的预处理。

x

-

e

s+2

D(s)=8.s+1520

G(s)=s(s+2)

u

步骤2 离散化模拟控制器

离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<0.1Tp，Tp为被控对象时间常数，或T=(0.125～0.25)τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取0.05秒。

假设模拟控制器为D(s)8

s2

，在MATLAB中，用c2d函数进行离散化，过程为：s15

转换结果为：

x

-

e

s+2

D(s)=8.

s+15D(z)=

6.1091(z-0.9048)

G(s)=

20s(s+2)

u

步骤3 检验数字控制器的性能

数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。 直流增益 dcgain(dz) 返回直流增益1.0667

频率特性 bode(ds,'r',dz,'g') 伯德图，见下页左图 零极点分布 pzmap(dz) 零极点分布图，见下页右图 步骤4 离散化控制对象

为了进行模拟仿真，需要对控制对象进行离散化，由于步骤1所说的原因，应把被控对象视为零阶保持器与原对象的串

1eTs

连，即应对G(s)进行离散化，这时可在c2d函数中使用零阶保持器(zoh)方法，如果认为不需要添加零阶保持器，

s即直接对G(s)离散化，则应在c2d函数中使用冲击响应不变法（imp）。 借用零阶保持器(zoh)方法，将对象G(s)

转换结果为：

-Ts

20

带一阶保持器离散化的过程如下：

s(s2)

x

-

e

D(z)G1(z)=Z(

1-e

s

G(s))u

D(z)=

6.1091(z-0.9048)

G1(z)=

0.024187(z-0.9672)(z-1)(z-0.9048)

步骤5 模拟仿真

求离散系统的闭环传递函数和连续系统的闭环传递函数。 离散系统的闭环传递函数为：TRCZ 连续系统的闭环传递函数为：TRCS 用MATLAB算TRCZ与TRCS：

D(z)G1(z)

1D(z)G1(z)

D(s)G(s)

1D(s)G(s)

结果为： TRCZ TRCS

0.14776(z-0.9048)(z-0.9048)(z-1)(z-0.4545)(z+0.9672)(z-0.4545)(z-0.9047)(z-0.9048)(z-1)(z-1.307z+0.5975)

160s(s+2)2(s+15)s(s+15)(s+2)(s+15s+160)

用MATLAB函数STEP画阶跃响应图形：

响应图形为：

离散函数,,连续函数(二)
6.2离散序列的相关函数

第6章 功率谱估计

 离散随机序列的特征描述  平稳随机序列通过LTI系统  经典功率谱估计 

现代功率谱估计

6.1 离散随机序列的特征描述

 随机过程的分布函数  随机信号的数字特征

 平稳各态遍历随机信号的时域描述

 平稳各态遍历随机信号的频域描述（功率谱密度）一、 随机过程的分布函数

{X[k], kZ}表示一个随机过程

一维分布函数 F(x,k)P(X[k]x)二维分布函数

F(x1,x2;k1,k2)P(X[k1]x1,X[k2]x2)N 维分布函数

F(x1,x2,,xN;k1,k2,kN)

P(X[k1]x1,X[kN]xN)二、随机信号的数字特征 均值

mx[k]E{X[k]} 方差

2k]E{(X[k]m222

x[x[k])}E{X[k]}mx[k]自相关函数

Rx[k1,k2]E{X[k1]X[k2]}互相关函数

Rxy[k1,k2]E{X[k1]Y[k2]}三、平稳各态遍历随机信号的时域描述 1 平稳随机序列

指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列 严平稳随机序列：

F(x1,x2,,xN;k1,k2,kN)F(x1,x2,,xN;k1n,k2n,kNn)

宽平稳随机序列：

E{X[k]}mx E{X[k]X[kn]}Rx[n]

平稳随机信号自相关函数特性 （1） 对称性

Rx[n]Rx[n]

R*

x[n]Rx[n]

（2）极限值

n0

R2

x[0]E{X[k]}

n

Rx[]m2

x

（3）不等式

Rx[0]Rx[n]

2. 各态遍历随机信号

集平均等于时间平均

N

mxE{X[k]}lim

1x[k]N

2N1



kN



2x

E{[X[k]m1N

x]2

}lim

[x[k]m2

N

2N1x]

kN

R1

N

x[n]E{X[k]X[kn]}limx[k]x[kn]

N2N1kN

四、平稳各态遍历随机信号的频域描述 功率谱密度

Px()

lim

E[

1)

2

]

N

2N1

FX(,N

维纳——辛钦公式



Px()



Rx(n)e

jn

n

Rn)

1

e

jn

x(2





Px()d

当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关函数和 功率谱密度是一对傅里叶变换对。

6.2 平稳随机序列通过LTI离散时间系统

 输出序列的均值

 输出序列的自相关函数  输出序列的功率谱

 输入/输出序列的互相关函数及互功率谱 平稳随机序列通过LTI系统

一、输出序列的均值

my[k]

E{y[k]}



n

h[n]E{x[kn]}

mxh[n]

n

H(ej0)

j0

my[k]mxH(e)二、输出序列的自相关函数

Ry[n]Rh[n]Rx[n]

Ry[n]是系统单位脉冲响应h[k]的自相关函数Rh[n]与输入随机序列X[k] 的自相关函数Rx[n]的卷积.

系统单位脉冲响应h[k]是确定信号，其自相关函数定义为

DTFT{Rh[n]}DTFT{Rx[n]}

三、输出序列的功率谱 Py()

DTFT{Ry[n]}DTFT{Rh[n]Rx[n]}

()

四、输入/输出序列的互相关函数及互功率谱互相关

Ryx[n]E{Y[k]X[kn]}h[n]Rx[n] Rxy[n]E{x[k]y[nk]}h[n]*Rx[n]

互功率谱

Pxy()DTFT{Rxy[n]}H(e

j

)Px()

PDTFT{Rej

yx()yx[n]}H*()Px()

[例]一离散时间平稳白噪声通过一阶IIR数字滤波器

y[k]x[k]y[k1]

1

求输出的自相关函数、平均功率和功率谱。 零均值白噪声的特征

E{X[k]}0

P()

2

Rn]

1π

2

jn

2

x[2π



π

e

dΩ[n]

解：

H(z)

1

1az

1

za

h[k]k

u[k]

H(e

j

)

11ej

H(e【离散函数,,连续函数】

j

)

2



1

12cos

2

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