三角函数推导，公式应用大全

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三角函数推导,公式应用大全
三角函数推导，公式应用大全(篇一)

三角函数定义

把角度θ作为自变量，在直角坐标系里画个半径为1的圆（单位圆），然后角的一边与X轴重合，顶点放在圆心，另一边作为一个射线，肯定与单位圆相交于一点。这点的坐标为(x,y)。

sin(θ)=y;

cos(θ)=x;

tan(θ)=y/x;

三角函数公式大全

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A = 2tanA/(1-tan² A)

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos2 A--Sin² A

=2Cos² A—1

=1—2sin^2 A

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)³;

cos3A = 4(cosA)³ -3cosA

tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)

半角公式

sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}

cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}

tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}

cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ?

tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

和差化积

sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差

sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a) = -sin(a)

cos(-a) = cos(a)

sin(π/2-a) = cos(a)

cos(π/2-a) = sin(a)

sin(π/2+a) = cos(a)

cos(π/2+a) = -sin(a)

sin(π-a) = sin(a)

cos(π-a) = -cos(a)

sin(π+a) = -sin(a)

cos(π+a) = -cos(a)

tgA=tanA = sinA/cosA

万能公式

sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}

cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}

tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

其它公式

a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a²+b²)]*sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]

a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a²+b²)]*cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]²;

1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]²;

其他非重点三角函数

csc(a) = 1/sin(a)

sec(a) = 1/cos(a)

双曲函数

sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2

cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2

tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα

cos（2kπ＋α）= cosα

tan（2kπ＋α）= tanα

cot（2kπ＋α）= cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sinα

cos（π＋α）= -cosα

tan（π＋α）= tanα

cot（π＋α）= cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）= -sinα

cos（-α）= cosα

tan（-α）= -tanα

cot（-α）= -cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα

cos（π-α）= -cosα

tan（π-α）= -tanα

cot（π-α）= -cotα

公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα

cos（2π-α）= cosα

tan（2π-α）= -tanα

cot（2π-α）= -cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α）= cosα

cos（π/2+α）= -sinα

tan（π/2+α）= -cotα

cot（π/2+α）= -tanα

sin（π/2-α）= cosα

三角函数推导,公式应用大全
三角函数推导，公式应用大全(篇二)

三角函数公式及证明

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB的长度等于；

B点的横坐标xcos，纵坐标ysin ；

（由 三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积 可得： sinatana （0）） 2

2.正切：

tansin cos

基本定理

1.勾股定理： sin2cos21

1.正弦定理：bca=== 2R （R为三角形外接圆半径） sinAsinBsinC

222b2c2a2

2.余弦定理：a=b+c-2bccosA cosA 2bc

3.诱导公试:



2k

sincos

tancot

奇变偶不变，符号看相线

4.正余弦和差公式:

①sin()sincoscossin

②cos()coscossinsin

推导结论

1. 基本结论

(sincos)21sin2

tan211 2cos

2. 正切和差公式：

tan()



sin()sincoscossincos()coscossinsintantan

1tantan 

3.二倍角公式（包含万能公式）：

2sincos2tan sin22sincos222sincos1tan

cos2sin2cos2cossin2cos112sinsin2cos222221tan21tan2 

tan2sin22tan cos21tan2

1cos2tan2sin 21tan22

1cos2

2 4.半角公式：（符号的选择由所在的象限确定） 2cos2

sin

21cos1cos sin2 1cos2sin2 2222

1cos1cos cos2 1cos2cos2 2222

cos

1coscos2tan

2

sin

cos

sin 1coscoscos22

sin

1cos

sincossin22sin

sin(cossin)2cossin2222

5.积化和差公式：

11sincossin()sin()cossinsin()sin()22

11coscoscos()cos() sinsincos()cos 22

6.和差化积公式： cossin①sinsin2sin ②sinsin2cos 2222

cossin③coscos2cos ④coscos2sin 2222

7.三角形面积公式

1111S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsinB 2222

abc= 4R

=2R2sinAsinBsinC

a2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB=== 2sinA2sinB2sinC

=pr =p(pa)(pb)(pc) (海伦公式，证明见下文)

1(其中p(abc), r为三角形内切圆半径) 2

定理结论的证明

1. 勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷 命题47.

2. 正弦定理的证明：

做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；

同弧所对圆周角相等的证明：

三角函数定义及其三角函数公式大全
三角函数推导，公式应用大全(篇三)

三角函数定义及其三角函数公式大全

一：初中三角函数公式及其定理

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

由AB90得B90A

边

C

对

邻边

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

由AB90得B90A

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 7

、正切、余切的增减性：

当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：a2b2c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

h

ih:lα

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i一般写成1:m的形式，如i1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么i{三角函数推导，公式应用大全}.

h

。坡度l

h

tan。

l

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135

°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

二：三角函数公式大全

同角三角函数的基本关系式

倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1

商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝

cscα/secα 诱导公式

平方关系： sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α

sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα

sin（π－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cos（π－α）＝－cosα

cot（π/2－α）＝tanα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－

sin（π＋α）＝－sinα

sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π/2＋α）＝－

tan（π＋α）＝tanα

cotα

cot（π＋α）

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