初中三角形知识点总结

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【篇一】:初中三角形知识点总结

图形的初步认识：

三角形

考点一、三角形

1、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 2、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

4、三角形的面积 三角形的面积=×底×高 考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：

1

2

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

3、全等变换

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

解直角三角形

考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，

每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠

2

ADBD

AC2ADAB

CD⊥AB BC6、常用关系式

2

BDAB

由三角形面积公式可得： ABCD=ACBC

考点二、锐角三角函数的概念（3~8分） 1、如图，在△ABC中，∠C=90°

A的对边a



斜边cA的邻边b



斜边cA的对边a



A的邻边bA的邻边b



A的对边a

①sinA②cosA③tanA④cotA

2、一些特殊角的三角函数值

3、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系：sin2Acos2A1 （3）倒数关系：tanAtan(90°—A)=1 （4）弦切关系：tanA=

sinA

cosA

【篇二】:初三数学三角形知识点总结归纳

三角形的定义

三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。

三角形中的主要线段

三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。

这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点：

（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。

（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。

（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。

三角形的按边分类

三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。所以三角形按 的相等关系分类如下：

等边三角形是等腰三角形的一种特例。

判定三条边能否构成三角形的依据

△ ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知： △ ③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a

△ 定理：三角形任意两边的和大于第三边。

△ 由②、③得 b―a＜c，且b―a＞―c

△ 故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。

从而得到推论：

三角形任意两边的差小于第三边。

上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。

判定三条边能否构成三角形

对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。

在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。

证明三角形的内角和定理

除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路：

方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，

运用平行线的性质，可得∠B＝∠2，

∠C＝∠1，从而证得三角形的内角

和等于平角∠DAE。

方法2 如图，在△ABC的边BC上任取

一点D，过D作DE‖AB，DF‖AC，

分别交AC、AB于E、F，再运用平行

线的性质可证得△ABC的内角和等于

平角∠BDC。

三角形按角分类初中三角形知识点总结。

根据三角形的内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角。

三角形按角可分类如下：

根据三角形的内角和定理可有如下推论：

推论1 直角三角形的两个锐角互余。

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

同时我们还很容易得到如下几条结论：

（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。

（2）一个三角形至少有两个内角是锐角。

（3）一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则，若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°，这与定理矛盾）。

(4) 三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于360°。 全等三角形的性质

全等三角形的两个基本性质

（1）全等三角形的对应边相等。

（2）全等三角形的对应角相等。

确定两个全等三角形的对应边和对应角

怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角？其方法主要可归结为：

（1）若两个角相等，这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。

（2）若两条边相等，这两条边就是对应边，对应边的对角是对应角。

（3）两个对应角所夹的边是对应边。

（4）两个对应边所夹的角是对应角。

由全等三角形的定义判定三角形全等

由全等三角形的定义知，要判定两个三角形全等，需要知道三条边，三个角对应相等，但在应用中，利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，因而需要找到能完全确定一个三角形的条件，以便用较少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。

判定两个三角形全等的边、角、边公理

内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（即SAS）。

这个判定方法是以公理形式给出的，我们可以通过实践操作去验证它，但验证不等于证明，这点要区分开来。

公理中的题设条件是三个元素：边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。不能理解成两边和其中一个角相等。否则，这两个三角形就不一定全等。

例如 在△ABC和△A′B′C′中，

如右图，AB=A′B′，∠A=∠A′，

BC=A′C′，但是△ABC不全等于

△A′B′C′。

又如，右图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B=∠B′，AC＝A′C′，但△ABC和△A′B′C′不全等。

原因就在于两边和一角对应相等不是

公理中所要求的两边和这两条边的夹

角对应相等的条件。

说明：从以上两例可以看出，SAS≠SSA。

判定两个三角形全等的第二个公理

内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA）。

这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。

公理强调了两角和这两角的夹边对应相等，这里实质上包含了一个顺序关系。千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边，而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边。

如右图，在△ABC和△A′B′C′中，

∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C′，

但这两个三角形显然不全等。原因就是

没有注意公理中“对应”二字。

公理一中的边、角、边，其顺序是不能改变的，即SAS不能改为SSA或ASS。而ASA 公理却能改变其顺序，可改变为AAS或SAA，但两个三角形之间的“对应”二字不能变。同时这个公理反映出有两个角对应相等，实质上是在两个三角形中有三个角对应相等，故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了。

由公理二可知，有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等

判定两个三角形全等的边、边、边公理

公理：三条边对应相等的两个三角形全等（即边、边、边公理）。

边、边、边公理在判定两个三角形全等时，其对应边就是相等的两条边。

这个公理告诉我们，只要一个三角形的三边长度确定了，则这个三角形的形状就完全确定了。这就是三角形的稳定性。

判定两个三角形全等

通过以上三个公理的学习，可以知道，在判定两个三角形全等时，无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等，而只需要其中三对条件。

三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合。无非有如下情况：

（1）三边对应相等。

（2）两边和一角对应相等。

（3）一边和两角对应相等。

（4）三角对应相等。

HL公理

我们知道，满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等。

但是，对于两个直角三角形来说，这个结论却一定成立。

斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为HL）。 这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等，其本身包含了一个直角相等。这种边、 边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件。由于直角三角形是一种特殊的三角形，所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用。

角平分线的性质定理和逆定理

性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

点在角平分线上点到这个角的两边距离相等。

用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理

性质定理：

∵P在∠AOB的平分线上

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD＝PE

逆定理：

∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB

∴点P在∠AOB的平分线上。

角平分线定义

如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。

三角形角平分线性质

三角形三条平分线交于一点，并且交点到三边距离相等。

互逆命题

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

原命题和逆命题的真假性

每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题，原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真。

互逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理

尺规作图

限定用直尺（没有刻度）和圆规的作图方法叫尺规作图。

基本作图

最基本最常见的尺规作图称之为基本作图，主要有以下几种：

（1）作一个角等于已知角；

（2）平分已知角；

（3）过一点作已知直线的垂线；

（4）作已知线段的垂直平分线；

（5）过直线外一点作已知直线的平行线。

有关概念

有两边相等的三角形称为等腰三角形。

三边都相等的三角形称为等边三角形，又称为正三角形。

有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形。

等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。

等腰三角形的有关概念

等腰三角形中，相等的两边称为腰，另一边称为底边，两腰的夹角称为顶角，底边上的两个

角称为底角。

等腰三角形的主要性质

两底角相等。

如图，ΔABC中AB＝AC，取BC中点D，连结AD，

容易证明：ΔABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。

如图，ΔABC中为等边三角形，初中三角形知识点总结。

那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，

由CA＝CB，得∠A＝∠B，

于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°

如图，ΔABC中AB＝AC，且AD平分∠BAC，

那么由ΔABD≌ΔACD，

可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，

但∠ADB＋∠ADC＝180°，

∴∠ADB＝90°，从而AD⊥BC，

由此又可得到另外两个重要推论。

两个重要推论

等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边；

等边三角形各内角相等，且都等于60°。

等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法

三角形中，相等的边所对的角相等。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一。

等腰三角形的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边。它们都是证明两条线段相等的重要方法。

推论3

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

容易证明：这个推论的逆命题也是正确的。即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

运用

利用等腰三角形的判定定理和性质定理容易证明结论：“在一个三角形内，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角也较大；反过来，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。”

对称轴及中心

线段的垂直平分线把线段分为相等的两部分。初中三角形知识点总结。

线段的中点就是它的中心，今后要学习“线段是关于中点对称的中心图形”。

线段是以它的中垂线为对称轴的图形。

三线合一的定理的逆定理

如图所示，线段中垂线的性质定理的几何语言为：

，

于是可以用来判定等腰三角形，其定理实质上是

三线合一定理的逆定理。

“距离”不同，“心”也不同

“线段垂直平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“两点间的距离”，而角平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“点到直线的距离”。

【篇三】:初中三角形知识点总结

注：

一、利用三角形三边之间的关系可以解决以下两类问题 1. 判断三条线段能否构成三角形：三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的第三条线段，那么这三条线段能组成一个三角形。

2. 确定三角形第三边的取值范围：三角形两边为a,b,c（a>b），则第三边c必须满足条件：a-b<c<a+b，由此可以确定第三边的范围。

二、找全等三角形对应边、对应角的常用方法 1. 有公共边，则公共边一定是对应边 2. 有公共角，那么公共角一定是对应角

3. 有对顶角，那么对顶角也一定是对应角

4. 要证明两个三角形全等，则至少要知道一对对应边相等。

5. 若已知两组对应角相等，则可用AAS、ASA，即随便找一对对应边相等即可证明全等 6. 若已知两组对应边相等，则可用SSS、SAS，即可以证明剩下的一组对应边相等或者证明两组对应边之间的夹角相等。

7. 若已知在直角三角形中，则用HL，SAS，AAS,ASA即可。

8. 两个全等三角形中，两边是对应的，则它们所对的角也是对应的；反过来，两个角是对应的，则它们所对的边也是对应的。

三、 直角三角形的性质的应用

1. 当已知条件中出现直角三角形斜边上的中点或者中线（或者自己构造中点）时，一定要考虑应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”

2. 含30º角的直角三角形是一类特殊的三角形，要善于在直角三角形或等边三角形中应用“在直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半”

3. 在解与直角三角形的边有关的问题时，通常考虑应用勾股定理。

四、 构造等腰三角形的两个基本模型

1. 角平分线+平行线→等腰三角形 （其实角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中，只要已知其中两个条件，即可推出另外一个条件） 2. 角平分线+垂线→等腰三角形 （也是二推一）

【篇四】:中考 初中 三角形知识点汇总

第七章 三角形

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：

4.中线：性质：（1）、平分三角形一边，（2）、平分三角形的面积

5.角平分线：（1）、平分角到两边距离相等。（2）、△有3个外角平分线交点，一个内角平分线交点，外角平分线交点是有2根外角平分线和一根内角平分线相交组成。

6.三角形中的中位线 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分，根据结论3形成的平行四边形的对角线平分可以

推出结论4。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等，结论3中平行四边形的对角

相等

7.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

8.三角形的内角和外角：三角形的内角和为180°，外角和为360°。

9.三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

10.△的五心：（1）、内心（内角平分线的交点）；（2）外心（三边的垂直平分线的交点）；（3）重心（三条中线的交点）；（4）垂心（三条高的交点）；（5）旁心（一条内角平分线和两条外角平分线的交点）。

第十一章 全等三角形

1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3.三角形全等的判定公理及推论有：

（1）“边角边”简称“SAS”

（2）“角边角”简称“ASA”

（3）“边边边”简称“SSS”

（4）“角角边”简称“AAS”

（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。

第十二章 轴对称

1.形；这条直线叫做对称轴。轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

2.垂直平分线性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（3）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）

4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

5.等腰三角形的判定：（1）有两个角相等（等角对等边）；（2）有条边相等

6.等边三角形的特点：三个内角相等，等于60°，三条边相等。，

7.等边三角形的判定：（1） 三个角都相等的三角形是等腰三角形。

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

（4）三条边相等

8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

10．用坐标表示轴对称

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）

点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）

点P（x，y）关于y=x对称的点的坐标是（y，x）

点P（x，y）关于y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）

点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）

点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；

第二十七章 三角形相似

考点一、比例线段

在比例式中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

1、比例的性质

（1）基本性质：①a：b=c：dad=bc

②a：b=b：cbac（b叫做a、c的比例中项） （2）更比性质（交换比例的内项或外项） 2

ab（交换内项） cd

acdc （交换外项） bdba

db（同时交换内项和外项） ca

acabcd（3）合比性质： bdbd

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