七巧板在小学数学中的应用

【www.zhuodaoren.com--专题】

七巧板在小学数学中的应用(一)
七巧板中的数学

七巧板中的数学

作者：植美鹏

专业：（数计）信息与计算科学 学号：09376107

引言

七巧板是中国最古老的智力游戏之一，相传已有数千年的历史，在全国各地、各民族中都广泛流行。顾名思义，七巧板是由七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形(两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形)、一块正方形和一块平行四边形。 而这七这块板可拼成许多图形(1600种以上)，例如：三角形、平行四边形、不规则多边形、玩家也可以把它拼成各种人物、形象、动物、桥、房、塔等等，亦可是一些中、英文字母。

图1 七巧板

摘要

数学是一门通过现象研究本质的学科，七巧板除了作为玩具引起人们的兴趣外，它本

身还蕴含着许多有趣的数学问题，涉及组合学、拓扑学、图论及等积变换等等。

关键词：七巧板；凸多边形 一、七巧板能构成多少凸多边形

方法：先把七巧板看成是由16个相同的小的等腰直角三角形即基本三角形所组成的，

并把这种三角形的直角边叫做“有理边”，斜边叫做“无理边”。然后通过4条求得由这16个基本三角形可能形成的凸多边形数，再从中除去不能由七巧板形成的那些凸多边形，这就证明了最后的定理：由七巧板能形成的凸多边形总共有13个。

引理1 若16个基本三角形组合成一个凸多边形，则任一三角形的有理边不会和另

一三角形的无理边重合。

证明 设三角形为ΔABC和ΔA'B'C',ΔABC的有理边和ΔA'B'C'的无理边重

合。由于ΔABC和ΔA'B'C'在一个凸多边形中，不失一般性，可假定顶点A和顶点A'重合。这样，至少有另一对ΔDEF和ΔD'E'F'，前者的无理边DF和后者的有理边D'E'是重

图1.1 七巧板可分为16个相同的三角形

合的，并有D=B,D'=C',E'=F,如图1.2所示。由于16个基本三角形要组合成一个凸多边形，这样，对∠CDE或∠B'D'F'要用其他基本三角形进行填充，此时，一个三角形的一条有理边与另一三角形的无理边重合的情况将再次发生。因为就直角CDE而言，DE是有理边，而CD是无理边；就45°角∠B'D'F'而言，其两边又都有理边。重复应用上述讨论，显见所形成的多边形不可能是凸多边形，这与假设条件矛盾。由此，引理得证。

图1.2

引理1的证明

引理2 由16个基本三角形组成的凸多边形，其每条边要么全是由基本三角形的有理

边组成，要么全是由基本三角形的无理边组成的。此外，如果把由基本三角形的有理边组成的边叫做凸多边形的有理边；把由基本三角形的无理边组成的边叫做凸多边形的无理边，则一般而言，凸多边形的有理边和无理边是交替出现的。只当凸多边形的某个角是直角这种特殊情况下，其相邻两边才要么都是有理边，要么都是无理边。

这个引理可以直接从引理1推导出来，无需另外证明。

引理3 由16个基本三角形组成的凸多边形，其边数不超过8。

证明 因为n条边的凸多边形的所有内角之和为（n-2）π,而由七巧板中的组块所能

形成的最大角为3*45°，即3π/4，因此有以下关系：（n-2）π<=n*3π/4。

因而n<=8。引理3证毕。

由引理2和3，又因为由基本三角形形成的凸多边形的内角只有锐角45°，直角90°，钝角135°这三种可能，n边的凸多边形的内角总和又必为（n-2）*180°，因此，满足条件的凸多边形只有以下几种可能：

（1）八边形，8个都钝角。

（2）七边形，6个钝角加一个直角。

（3）六边形，4个钝角加2个直角或5个钝角加1个锐角。

（4）五边形，2个钝角加3个直角或者3个钝角加1个锐角和1个直角。

（5）四边形，2个钝角加2个锐角（平行四边形或等腰梯形）或者1个钝角加2个直角和1个锐角或者是4个直角（矩形）。

（6）三角形，1个直角加2个锐角。

考察全部这10种可能的凸多边形，可以发现，对于四边形、五边形、六边形和七边形，总有2条边是平行的；对于八边形，则有两对边是互相平行的，而这两对边之间又是互相垂直的，这样，就可以获得以下引理：

引理4 如果16个基本三角形组成一凸多边形，则该多边形可内接于一个矩形，该【七巧板在小学数学中的应用】

多边形的所有有理边或者所有无理边就是该矩形的四条边。

有了以上四条引理，就可以证明最后的定理，即七巧板能形成的凸多边形总数为13的结论了。为此，首先假设能拼成的凸多边形是八边形，用ABCDEFGH表示。由引理2和4，可进一步假设该多边形是内接于矩形PQRS的，多边形的有理边AB，CD,EF,GH分别和外接矩形的PQ,QR,RS,SP重合，如图1.3所示（图中G和H重合，这并不丧失一般性）。再进一步

图1.3 定理的证明

假设HA,BC,DE,FG这四条凸多边形的无理边中各包含a,b,c,d条基本三角形无理边，而PQ和QR的长度分别和基本三角形的x和y条有理边长度相等，于是根据三角形和矩形的面积公式，我们有以下等式（其中的8是七巧图的面积）：

1

12

2

2化简得：

a

2

b

2

12

c

2

12

d

2

xy8

xy16

abcd2

222

（1.1）

此外显然还有以下限制条件：

a+b<=x , c+d<=x (1.2)

a+d<=y, b+c<=y

这样，只要找出（1.1）和（1.2）的整数解，问题就解决了。为此，分别考虑以下三种情况。

情况一：y>x,x>5。这时又可分以下两种情况。

（1）x>1

注意到当x>=5时，有以下关系：

9/x+x<2+x<=y+1

x(y1)x9

2

那么在x>1且y>5的条件下，下式成立：

(1.3)

根据式（1.1）和（1.3）以及下列不等式： 立即可获得以下关系：

ab(x1)

2

2

2

cd(cd)x

2222

1

（1.4）

由此可见，a和b不能同时为0。另一方面，a和b又不能都不是0，因为例如若a>=1，

b>=1，则根据（1.2）中的第一个不等式，对于x>1的情况将有

ab(ab1)

2

2

2

1(x1)

2

 1

（1.5）

而（1.5）式恰和（1.4）式矛盾，因此，或者是a或者是b应为0，但不能两者同时为0。

设b=0，则a<=x。而进一步看，若a<x，则a<=x-1，又将同(1.4)式矛盾，因此必有a=x。

类似地，可以知道，对于c和d，必有c=0，d=x;或者是c=x，d=0，这样就可以获得(1.1)

（2）x=1

这时，a+b<=1，c+d<=1，因此要么a=b=c=d=0,要么a=c=1,b=d=0,要么a=c=0,b=d=1。由

此可获得以下3组整数解：

情况二：x=y。在这种情况下，应该证明的是x<=5。首先容易看出，当a=b=c=d=0

时，无解。其次，若a，b，c，d<x，则有

ab(x1)

2

2

2

，1 cd(x1)1

222

（1.6）

由（1.1）和（1.6）可获得以下关系：

2x162(x1)2 由此式可证明x<=5。

再其次，考虑a，b，c，d之一等于x的情况。例如，若a=x，则由（1.2）可知，b=0，d=0。于是（1.1）变为x16c，于是x=5或x=4。

最后，不难证明，当a=b=0或c=d=0时，x<=4；而当a=b=c=0时，x=d=4，于是，又可以获得以下6组整数解：

2

22【七巧板在小学数学中的应用】

2

情况三：x<y<=5

在这种情况下，可直接根据（1.1）和（1.2）检查x，y，a，b，c，d的每一组整数值，并获得满足条件的以下7组解：

至此，获得了可由16个基本三角形组成的20个凸多边形。其中，在左侧序号前加“*” 的显然是不可能由七巧板实现的，而其余13个就是可以由七巧板拼成的全部凸多边形，其中包括一个三角形，六个四边形，两个五边形，四个六边形。

二、对13个凸多边形的讨论 下面给出这全部13个凸多边形：

七巧板在小学数学中的应用(二)
浅谈如何运用七巧板游戏来丰富小学数学课堂

浅谈如何运用七巧板游戏来丰富小学数学课堂

数学课的内容有的比较抽象,小学生活泼好动,学起来常会感到枯燥无味， 而对他们而言，游戏是启发心智与兴趣，达到身心愉悦的最佳方式。同时转化成为学生继续学习的一种神秘的动力。

古往今来数学的教育理论和实践都可以证明游戏对于小学数学课堂教学具有极大的价值。对此，马丁．加德纳曾经作了相当正确的评价：“唤醒学生的最好的办法是向他们提供有吸引力的数学游戏。”

一、运用七巧板游戏激发学生学习数学的兴趣

兴趣是学生获取知识、拓宽眼界、丰富心理活动的最主要的推动力小学生对拼图的兴趣，很大程度上是由于喜欢玩游戏引起的—《七巧板游戏》把新课的学习寓于游戏当中，激发学生学习的兴趣，唤起他们主动探究和求知欲望，让学生在浓厚的兴趣中学习新知识，掌握新技能。

在课堂教学中运用七巧板游戏进行教学，有助于激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生丰富的想象力。在学习了数的认识和写法后，我运用七巧板在黑板上拼出了阿拉伯数字“1”，并鼓励学生发挥想象力，大胆拼摆出其他数字，学生开动脑筋，主动地投入到教学活动中来，拼出了“2”“3”“4”等许多数字。在游戏中加深了对数字的认识，不仅巩固了所学的数学知识，同时也增加了数学的学习情趣，使学生充分体会到数学学习的乐趣，提高了数学学习的综合运用能力。

另外，小学生有比较强烈的自我发展意识，对“有挑战性”的任务很感兴趣。在课堂教学中，利用七巧板游戏，可以给学生提供经历“做中学”的机会，通过进行探究性、开放性的研究，使他们能够在活动中表现自我，从而感觉到数学学习是一种很重要的活动。

二、运用七巧板游戏培养学生的想象力

运用七巧板游戏培养学生的想象力激发学生求异思维是课堂教学不可缺少的训练环节。七巧板对数学教学有一定的价值，可以用它进行认识图形的训练，增强学生的注意力，锻炼识别图形的能力，并可以通过思维、想象组合出各种千变万化的图案。在“认识物体和图形”一课，学生们已初步对“长方形、正方形、三角形和圆形”或多或少地了解了一些，有了初步的感性认识。运用七巧板游戏，鼓励学生以各种不同的拼凑法拼搭出各种形象图案，让学生在操作中进行“再创

造”，培养丰富的想象力。七巧板的拼摆需要在“巧”字上下功夫。摆同样一个物体，拼摆的方法不一样，效果也就不一样。学生用这七块模板有的拼成了几何图形，如三角形、平行四边形、不规则多边形；有的拼成了各种具体人物形象，如跑步的人、跳舞的人、坐着的人、游戏的人等；有的拼成数字、汉字、字母等；有的拼成动物，如兔、猫、狗、马、鸟等；有的拼成多种物体，如房屋、桥、宝塔、灯塔、花草、树木及日常用具，等等。课堂上学生始终乐此不疲，兴趣盎然。整个教学过程充满情趣，学生在趣中悟，乐中学。七巧板成为了学生动脑动手的“智慧板”。通过七巧板游戏，可极好地发展学生的想象力，锻炼学生思维的敏捷性与灵活性

三、运用七巧板游戏培养学生的空间观念

空间观念是在发展过程中逐步形成的。一般来说，小学低年级的学生要积累一些空间与图形方面的知识经验，往往需要借助与生活有关的具体情境来认识和把握与空间观念有关的内容，因此在数学课堂教学中利用七巧板游戏通过观察、操作等活动对学生形成空间观念具有重要意义七巧板是学生常见的玩具，用此来拼各种图形，能发展想象力，培养学生的创新意识，也能使学生对各种平面图形有更直观、更深入的了解，感受空间的神奇。低年级的小学生认识了长方形、正方形、三角形等简单的平面图形特征后常常喜欢把它们进行拼组，创造出许多奇妙的图案来。看到学生这么喜欢动手拼拼摆摆，发明创造，我们为什么不让我们的孩子也通过动手实践，去模仿、去创造、感受七巧板的神奇，体验成功的乐趣呢？以此，学生进一步掌握了各种平面图形的特征，也体会图形变换的神奇，发展了空间观念。

玩游戏是人的天性，七巧板游戏能激发学生学习的积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每个学生都能得到充分发展。给小学生带来游戏的快乐，使他们增长智慧。

教学目标：

学生进一步掌握了各种平面图形的特征，也体会图形变换的神奇，发展了空间观念。 让学生在操作中进行“再创造”，培养丰富的想象力。

七巧板在小学数学中的应用(三)
小学数学《七巧板》教案

数学广场——七巧板

【教学内容】上海市九年义务教育课本二年级第二学期P72-73。

【教学目标】

1、认识七巧板中的各类图形，并熟悉它们大小之间的相互关系。

2、能用七巧板中的基本图形拼放各种图案。

【整合目标】

1、利用编辑功能，呈现图形的拼搭过程，帮助学生直观地感受七巧板中各类图形的特点和关系。

2、巧用资源库，及时收集、补充和再现课堂中的即时生成，在观察和实践中帮助学生形成拼搭的方法和策略。

3、使用快拍仪等外接设备，即时记录现场反馈，发展学生的观察、操作和空间想象能力。

【教学重点】初步探索七巧板中各图形大小之间的关系。

【教学难点】用七巧板有策略、有技巧的拼搭图形，最终让学生能玩转七巧板，形成对数学学习的兴趣。

【教学准备】电子白板、快拍仪、七巧板。

【教学过程】

一、对话导入 激趣揭题

1、说一说我国古代的四大发明。

2、通过我国古老的智力玩具：九连环，华容道，鲁班锁，感受中国劳动人民的智慧。

3、介绍七巧板的相关知识：七巧板在2500年前就传到了国外，被西方人称作为“东方魔板”。作为中国人，说一说你的感受。

4、揭示课题，针对课题提问。

二、动态演示 板块构造

1、神奇的七巧板就是通过分割正方形而得到的，请同学们仔细观察，说一说分割的结果。

2、学生活动：将这七个图形按照形状分类。

3、初步认识平行四边形，研究五个三角形的图形大小。

4、小结：通过学习，我们知道了七巧板的构造，它有一个正方形、一个平行四边形和五个大小各异的三角形组成。

三、操作感受 奇妙构造【七巧板在小学数学中的应用】

3、通过拼七巧板，培养学生观察、操作以及空间想象能力，发展学生空间智能。

1、过渡：七巧板到底“巧”在哪里？

本文来源：http://www.zhuodaoren.com/shenghuo284603/

推荐访问:七巧板在数学中的应用 小学数学七巧板教案