二次函数图像平移规律

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【一】:二次函数的平移规律

二次函数的平移规律

二次函数的图象和性质是初中数学九年级上的教学内容，教材先研究了最简单的二次函数yax，然后研究了yaxk，ya(xh)，ya(xh)k，这三个复杂的二次函数的图象及性质，而这三个稍复杂的二次函数的图象均是由yax的图象平移得来的。但是实际教学中发现，图象的平移规律对学生来说始终是一个难点！如何突破这个难点呢？几何画板的演示对于这个问题的解决起了重要的作用！

（一）yax与yaxk的图象和性质

2222222首先，几何画板展示y2x2，y2x22，y2x22 的图象，目的是让学生

2先直观的发现三者之间的关系，进行猜想；然后几何画板演示y2xk（k可以任意变

化）的图象，让学生更加直观地感受到图像之间存在着上下平移的联系，进而抛出问题：为什么这三个图象之间存在上下平移的联系，目的是引导学生从几何画板的直观猜想到归纳，最后用数学知识去验证猜想和归纳的准确性。即对于一般的点A(m,2m)和B(m,2mk)，横坐标不变，纵坐标+k，根据点的平移规律，相当于点A向上或下平移了|k|个单位变成了点B，所以整个图象呈现上下平移的状态！这样就从数和形两方面验证了平移规律“上加下减”，利用平移更好的研究yaxk的性质。

（二）yax与ya(xh)图象和性质

22222

首先，几何画板展示y2x2，y2(x1)2，y2(x1)2 的图象，目的是让学

2生先直观的发现三者之间的关系，进行猜想；然后几何画板演示y2(xh)（h可以任意

变化）的图象，让学生更加直观地感受到图像之间存在着左右平移的联系，进而抛出问题：为什么这三个图象之间存在左右平移的联系，目的是引导学生从几何画板的直观猜想到归纳，最后用数学知识去验证猜想和归纳的准确性。即对于一般的点A(m,2m)和B(mh,2m)，纵坐标不变，横坐标+h，根据点的平移规律，相当于点A向右或左平移了|h|个单位变成了点B，所以整个图象呈现左右平移的状态！这样就从数和形两方面验证了平移规律“左加右减”，利用平移更好的研究ya(xh)的性质。

以上就是我们利用几何画板进行直观演示，在演示过程中指导学生进行猜想，进而由猜

想进行归纳，再利用数学知识进行验证的一个教学过程！

222

【二】:二次函数图象平移规律

www.fz173.com_二次函数图像平移规律。

二次函数的平移

我对于讲解二次函数课中有关图象平移规律结合学生作业中出现的问题，谈谈自己的一些看法。

在刚开始讲解二次函数平移时，我是先举一些例子，先讲左右平移，如二次函数y=2（x-1）2的图象是怎样由二次函数y=2x2的图象平移得到的？二次函数y=2（x+1）2呢？通过画函数图象，让学生明白左右平移的规律；再讲上下平移，如二次函数y=3x2+2的图象是怎样由二次函数y=3x2的图象平移得到的？二次函数y=3x2-2呢？也是通过画函数图象，让学生明白上下平移的规律。然后再讲顶点式的二次函数平移，如二次函数y= -（x-1）2+2的图象是怎样由二次函数y= - x2的图象平移得到的？二次函数y= -（x-1）2-3呢？通过画函数图象，让学生找平移的规律。这样由浅入深，由简渐繁地引导学生找二次函数图象的平移规律，做到了知识连贯和系统性。

学生在做二次函数平移的练习中，对于上下平移容易掌握其中规律，而对于左右平移就容易弄反，结果导致整体平移出错。

结合自己多年教学心得与学生在实际解题中的常见问题，在小复习时我就这样给学生总结：其实二次函数的平移只要抓住顶点就可以了，对比平移前后的两个二次函数的顶点，记住数字增加了就往正方向平移，数字减少了就是往负方向平移。学生记住这一点之后在做有关二次函数的平移的练习时，出错的机会就很少了。

【三】:二次函数的平移

二次函数的平移

张尚军

在考试中，有些题目是求二次函数平移后的解析式，学生做起来很不方便，普遍感到求平移后的解析式比较困难.就此，我从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.

一.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）时

1.向右或向左平移时，解析式的变化规律.

将抛物线向右平移m个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)²+k变为

y=a[x-(h+m)]2+k

2 =a（x-m-h)+k

两解析式比较可得出图像向右平移m个单位，括号内减去m，同理可推出向左平移m个单位括号内加上m，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k.

2.向上或向下平移时，解析式的变化规律.

将抛物线向上平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2²+k变为y=a(x-h)2+k+n. 比较两个解析式可得出向上平移n个单位，括号外加n，同理可推出向下平移n个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k-n.

二.当解析式为一般式y=ax2+bx+c (a≠0)时

1.向右或向左平移时,解析式的变化规律.

将抛物线向右平移m个单位.因为

y=ax2+bx+c

2b24ac-b =a（x+）+ 2a4a

有前面的规律可知。 2b24ac-b y=a(x+-m)+ 2a4a

b2b2

=ax++am²+bx-2amx-bm+c- 4a4a2 =ax2-2amx+am²+bx-bx+c

=a(x-m)2+b(x-m)+c

两式比较,可得出抛物线向右平移m个单位,自变量上减去m;同理可推出抛物线向左平移m个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c

2.向上或向下平移时,解析式的变化规律.

将抛物线向上平移n个单位,因为

y=ax2+bx+c

b24ac-b2 =a(x+ )+ 2a4a

由前面的规律可知 b24ac-b2y=a(x+)++n 2a4a

=ax2+bx+c+n

两式比较:可得抛物线向上平移n个单位,常数项上加n;同理可推出抛物线向下平移n个单位,自变量上减去n，即解析式由y=ax2+bx+c 变为y=ax2+bx+c -n. 综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项.

当解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)时，解析式的变化规律，请读者自己完成.

应用这一规律，不但便于教师授课，而且更有利于学生掌握应用，解起题来更加方便快捷.

发表于2012.08下旬总第132期《新课程学习》

【四】:《二次函数图象的平移》专题练习

《二次函数图象的平移》专题练习

1．抛物线y＝12x向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ） 2

11112222A．y＝(x＋3)－2 B．y＝(x－3)＋2 C．y＝(x－3)－2 D．y＝(x＋3)＋2 2222

22．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x－m）＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴

交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为（ ）

A．－3 B．1

C．5 D．8

23．已知y＝2x的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下 抛物线的解析式是（ ）

2222A．y＝2（x－2）＋2 B．y＝2（x＋2）－2 C．y＝2（x－2）－2 D．y＝2（x＋2）＋2

4．在平面直角坐标系中，将抛物线yx2x3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）

2222A．y＝－（x＋1）＋2 B．y＝－（x－1）＋4 C．y＝－（x－1）＋2 D．y＝－（x＋1）＋4

5．把抛物线y＝axbxc先向右平移2个单位，

再向下平移5个单位得到抛物线yx2x2，求 a、b、 222

c的值。

6．已知一个二次函数的图象是由抛物线y2x沿y轴方向平移得到的，当x1时，y4。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当x为何值时，y随x的增大而减少。www.fz173.com_二次函数图像平移规律。

2

1

7．已知二次函数y＝－x－4x－5。

（1）指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y＝－x的图象上，求此

时二次函数的解析式；

（3）把这个二次函数的图象左、右平移，使其顶点恰好落在正比例函数y＝－x的图象上，求此 2

时二次函数的解析式。

8．拋物线y2

1＝ax＋6x—8与直线y2＝—3x相交于A（1，m），

（1）求y1的解析式；

（2）拋物线y＝ax2

1经过怎样的平移可以就可以得到拋物线y。www.fz173.com_二次函数图像平移规律。

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《二次函数图象的平移》专题练习答案

1．A； 2．D； 3．B； 4．B；

5．a1，b2，c3。

6．（1）y2x2；

（2）当x0时，y随x的增大而减少。

7．解：（1）∵y＝－x－4x－5＝－（x＋2）－1，

∴抛物线开口向下，

对称轴是x＝－2，

顶点坐标是（－2，－1）；

（2）由题知：把这个二次函数的图象上、下平移，顶点恰好落在正比例函数y＝－x的图象

上，即顶点的横纵坐标互为相反数，

∵平移时，顶点的横坐标不变，即为（－2，2），

2∴函数解析式是：y＝－（x＋2）＋2。

（3）由题知：把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y＝－x的图象

上，即顶点的横纵坐标互为相反数，

∵平移时，顶点的纵坐标不变，即为（1，－1），

2∴函数解析式是：y＝－（x－1）－1。

28．（1）y1＝—x＋6x—8；

22（2）∵y1＝—x＋6x—8＝—（x—3）＋1，

22∴拋物线y1＝ax＋6x—8先向左平移3个单位，再向下平移1个单位可以得到拋物线y＝—x。

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