湘潭大学2015计算,数学，考研真题

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湘潭大学2015计算,数学，考研真题【一】:2015年考研数学一真题与解析

2015年考研数学一真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．设函数f(x)在(,)上连续，其二阶导数f(x)的图形如右图所示，则曲线yf(x)在(,)的拐点个数为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点x0．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C） 2．设y

12x1

e(x)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个特解，则 23

（A）a3,b2,c1 （B）a3,b2,c1 （C）a3,b2,c1 （D）a3,b2,c1

【详解】线性微分方程的特征方程为rarb0，由特解可知r12一定是特征方程的一个实根．如果r21不是特征方程的实根，则对应于f(x)ce的特解的形式应该为Q(x)e，其中Q(x)应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以r21也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得

x

x

2

a(21)3,b212，同时y*xex是原来方程的一个解，代入可得c1应该选（A）

３．若级数



a

n1



n

条件收敛，则xx3依次为级数

na(x1)

n

n1



n

的

（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数

a

n1



n

条件收敛等价于幂级数

a

n1



n

xn在x1处条件收敛，也就是这个幂级数的



an1nan

1，所以nan(x1)n的收敛半径Rlim1，绝对收敛域为收敛为1，即lim

nan(n1)an1nn1

(0,2)

，显然xx3依次为收敛点、发散点，应该选（B）

４．设D是第一象限中由曲线2xy1,4xy

1与直线yx,y所围成的平面区域，函数f(x,y)在

D上连续，则

f(x,y)dxdy（ ）

D



（Ａ）

d

34

1sin212sin21sin212sin2

f(rcos,rsin)rdr（Ｂ）3d4

f(rcos,rsin)rdr



（Ｃ）

d

34

f(rcos,rsin)dr

（Ｄ）3d4

f(rcos,rsin)dr

【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：

2xy12r2sincos1r2

1 r

sin21

r

2sin2

4xy14r2sincos1r2

34

也就是D

：

r

所以

f(x,y)dxdy

d3

D

f(rcos,rsin)rdr，所以应该选（B）．

4

1111

5．设矩阵A12a,bd，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要

214ad2湘潭大学2015计算,数学，考研真题。



条件是

（A）a,d （B）a,d （C）a,d （D）a,d 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：

111

B(A,b)12a

14a2111111111 d01a1d101a1d1222d03a1d100(a1)(a2)(d1)(d2)

方程组无穷解的充分必要条件是r(A)r(A,b)3，也就是(a1)(a2)0,(d1)(d2)0同时成立，当然应该选（D）．

222

6．设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换xPy下的标准形为2y1，其中Pe1,e2,e3，若y2y3



Qe1,e3,e2，则f(x1,x2,x3)在xQy下的标准形为

222222

（A）2y1 （B）2y1 y2y3y2y3

222222

（C）2y1 （D） 2y1 y2y3y2y3

100100100

【详解】Qe1,e3,e2e1,e2,e3001P001，QT001PT 0100100102fxTAxyTPAPyyT

1T

y

1

1001001002所以QTAQ001PTAP001001110000120100100101010故选择（A）．

7．若A,B为任意两个随机事件，则（ ）

（A）P(AB)P(A)P(B) （B）P(AB)P(A)P(B)

（C）P(AB)

P(A)P(B)2 （D）P(AB)P(A)P(B)

2

【详解】P(A)P(AB),P(B)P(AB),所以P(AB)

P(A)P(B)

2

故选择（C）．

8．设随机变量X,Y不相关，且EX2,EY1,DX3，则E(X(XY2))（ ）

（A）3 （B）3 （C） 5 （D）5

【详解】E(X(XY2))E(X2)E(XY)2EXDX(EX)2EXEY2EX5 故应该选择（D）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．lim

ln(cosx)

x0x

2【详解】lim

ln(cosx)x0x2limtanxx02x1

2

．



10．

2

sinx

cosxx



dx 21【详解】只要注意

sinx

1cosx

为奇函数，在对称区间上积分为零，



1

1



2sinx2

所以xdx2xdx.

01cosx42

2



11．若函数zz(x,y)是由方程ezxyzxcosx2确定，则dz|(0,1)． 【详解】设F(x,y,z)ezxyzxcosx2，则

Fx(x,y,z)yz1sinx,Fy(x,y,z)xz,Fz(x,y,z)ezxy

Fy(0,1,0)Fx(0,1,0)zz

且当x0,y1时，z0，所以|(0,1)1,|(0,1)0,

xyFz(0,1,0)Fz(0,1,0)

也就得到dz|(0,1)dx.

12．设是由平面xyz1和三个坐标面围成的空间区域，则

(x2y3z)dxdydz．



【详解】注意在积分区域内，三个变量x,y,z具有轮换对称性，也就是

xdxdydzydxdydzzdxdydz







2

(x2y3z)dxdydz6zdxdydz6zdzdxdy3z(1z)dz



Dz

11

1

4

21

13．n阶行列式

0200

002

22

 2

00湘潭大学2015计算,数学，考研真题。

12

【详解】按照第一行展开，得Dn2Dn1(1)n12(1)n12Dn12，有Dn22(Dn12) 由于D12,D26，得Dn2n1(D12)22n12．

14．设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则PXYY0 【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，X~N(1,1),Y~N(0,1)，且相互独立． 则X1~N(0,1)．

PXYY0PY(X1)0PY0,X10PY0,X10

三、解答题

11111 22222

3

15．（本题满分10分）设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx在x0时为等价无穷小，

求常数a,b,k的取值．

【详解】当x0时，把函数f(x)xaln(1x)bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得

x2x31

f(x)xa(xo(x3))bx(xx3o(x3))

236 aa

(1a)x(b)x2()x3o(x3)

23



1a0a

由于当x0时，f(x),g(x)是等价无穷小，则有b0，

2ak3

解得，a1,b

11

,k. 23

16．（本题满分10分）

设函数yf(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0I，曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)2，求f(x)的表达式． 【详解】yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0) 令y0，得xx0

f(x0)

f(x0)

曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积为

S

f(x0)1

f(x0)(x0(x0)4 2f(x0)

整理，得y

12111

y，解方程，得Cx，由于f(0)2，得C 82y8

8

. 4x

所求曲线方程为y

17．（本题满分10分）

22

设函数f(x,y)xyxy，曲线C:xyxy3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数．

湘潭大学2015计算,数学，考研真题【二】:2015年考研数学(一)真题及答案详解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析

一、选择题:1

8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项

符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

(1)设函数f(x)在,内连续，其中二阶导数f(x)的图形如图所示，则曲线

yf(x)的拐点的个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

曲线y(2)(A)

(B) (C) (D)

.

2

所以2,1为特征方程rarb0的根，从而a(12)3，b122，从而原方

程变为y3y2yce，再将特解yxe代入得c1.故选（A）

(3) 若级数

xx

a

n1



x3依次为幂级数n条件收敛，则 x

na(x1)

n

n1



n

的 ( )

(A) 收敛点，收敛点

(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B）

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为

n

x2条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以aa(x1)nnn1

n1



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