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抛物线的几何性质(1)：教案
一. 教学内容：
抛物线的几何性质
二. 重点、难点：
1. 重点：
抛物线的性质，焦半径，焦点弦的应用，数形结合。
2. 难点：
注意抛物线与椭圆、双曲线的联系。
【典型例题】
[例1] 给定抛物线
，设A(
)(
)，P是抛物线上的一点，且
，试求
的最小值。
解：设
(
)(
) 则
∴
∵
，
∴(1)当
时，
，此时当
时，
(2)当
时，
，此时当
时，
[例2] 过抛物线
的焦点作倾斜角为
的直线
，设
交抛物线于A、B两点，求
。
解：当
时，直线AB的方程为
由
得A(
)、B(
，
) ∴
当
时，直线AB的方程为
由
得
设A(
)、B(
)，则
∴
[例3] 过抛物线
的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?
解：抛物线
的准线与对称轴的交点为(
)，设直线MN的方程为
由
得
∵ 直线与抛物线交于M、N两点 ∴
即
，
，
设M(
，
)，N(
)，抛物线焦点为F(1，0)
∵ 以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点
∴ MF⊥NF ∴
即
又
，
，
且
、
同号
∴
解得
∴
即直线的倾斜角为
或
时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。
[例4] 过抛物线
的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求
的值。
解：如图所示，设A(
)、B(
)，AB的方程为
由
得
∴
又 ∵
，
∴
∴
∴
又
[例5] 如图，已知直线
：
交抛物线
于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使
的面积最大，并求这个最大面积。
解：由
解得A(4，4)、B(1，
)，知
，所以直线AB的方程为
设P(
)为抛物线AOB这条曲线上一点，
为P点到直线AB的距离
∵
∴
∴
从而当
时，
因此，当点P坐标为
时，
[例6] 已知直线
与曲线
在第一象限有公共点，求
的取值范围。
解：如图，易知抛物线与
轴交于A(0，1)、B(0，3)
直线
恒过C(
)，由图象及抛物线的延伸趋势可知
当
大于零且小于BC的斜率
时满足题意
而
，故
。
[例7] 设抛物线
的焦点为F，经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//
轴，证明：直线AC经过原点O。
证法一：因为抛物线
的焦点坐标为F(
)
所以经过点F的直线AB的方程为
代入抛物线方程得
0
设A(
)、B(
)，则
∵ BC//
轴，且点C在准线
上 ∴ 点C的坐标为
故直线OC的斜率为
即
也是OA的斜率，所以直线AC经过原点O
证法二：如图所示，设
轴与抛物线准线
的交点为E，过点A作AD⊥
，D为垂足
则
。连结AC，与EF相交于N，则
，根据抛物线的几何性质，得
，
∴
∴ 点N是线段EF的中点，与抛物线的顶点O重合 ∴ 直线AC经过点O
证法三：设A(
)、B(
)，由已知C得
直线AC的方程为
，把原点的坐标代入，得
利用
得上面等式恒成立
∴ 直线AC经过点O
证法四：设A(
)、B(
)，由已知得C(
)，
∴
又 ∵ O是公共点 ∴ A、O、C共线，即AC过点O
[例8] 如果抛物线
上总有关于直线
对称的相异两点，试求
的范围。
方法一：设抛物线
上关于
对称的相异两点坐标为A(
)、B(
)
∵ 两点都在抛物线上 ∴
(1)-(2)，得
∵
∴
(3)
(3)代入(2)，得
∵
，且
相异 ∴
∴
∴
的取值范围是(
)
方法二：设抛物线上关于直线
对称的两点所在直线方程为
，代入
，得
∵
，且两点为相异两点 ∴
即
(1) 设两对称点为A(
)、B(
)
则
，
又 ∵
∴
，即
(2)
(2)代入(1)，得
∴
的取值范围是(
)
抛物线的几何性质(2)：模拟试题
1. 等腰直角三角形AOB内接于抛物线
，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则
的面积是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知点(
)在抛物线
上，则
的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
3. 已知A、B是抛物线
上两点，O为坐标原点，若
且
的垂心恰是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知点A(
)，
的焦点是F，P是
上的点，为使
取得最小值，P点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
5. 抛物线
与直线
的一个交点是(1，2)，则抛物线的焦点到直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6. 抛物线
的焦点F，点P在抛物线上，若
，则P点的坐标为( )
A.
B.
C.
或
D.
7. 过抛物线
的焦点作直线交抛物线于A(
)、B(
)两点，如果
，那么
( )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
8. 过抛物线
(
)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是
、
，则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
二. 填空：
1. 过抛物线
的焦点，倾斜角为
的直线被抛物线截得的弦长为 。
2. 抛物线
的焦点为F，准线
交
轴于点R，过抛物线上一点P(4，4)作PQ⊥
于点Q，则梯形PQRF的面积是 。
3. 线段AB是抛物线
的一条焦点弦，且
，则线段AB的中点C到直线
的距离是 。
4. 抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上点A(
)到焦点的距离为5，则抛物线方程为 。
三. 解答题：
1. 已知抛物线
上有三点A(
)、B(
)、C(
)且
，若线段AB、BC在
轴上射影之长相等，求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列。
2. 过抛物线
的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程
3. 设抛物线
的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥
轴。证明：直线AC经过原点O。
抛物线的几何性质(3)：答案
1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C
二.
1. 16 2. 14 3.
4.
或
或
三.
1. 证明：根据题意，得
，即
、
、
成等差数列
又由抛物线的定义得
，
，
∵
∴
、
、
成等差数列
2. 解：设线段AB的中点为P(
)，OA的斜率为
，则直线
的方程为
由
得
或
依题意得A点的坐标为A(
，
)
∵ OA⊥OB ∴ OB的斜率为
，直线OB的方程为
由
得
或
∴ B点的坐标为
线段AB的中点P(
)满足
即
(2)式平方后减去(1)×3，得
为所求。
3. 证明：∵ 抛物线的焦点为F(
)
∴ 经过点F的直线AB的方程可设为
代入抛物线方程，得
设
，则
是该方程的两根 ∴
∵ BC//
轴，且点C在准线
上
∴ 点C的坐标为(
) ∴ 直线OC的斜率为
即
也是直线OA的斜率 ∴ 直线AC经过原点O
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