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【一】:2015年高中数学新课标一轮复习57
五十七 抛 物 线
1．(2014·济南模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
1
A.2 C．2 [答案] C
p
[解析] 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－2，因为抛物线y2＝2px(p>0)p
的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切．故3＋2＝4，∴p＝2.
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 C．8 [答案] B
[解析] 抛物线y2＝8x的准线为x＝－2. ∵点P到y轴的距离为4. ∴点P到准线的距离是4＋2＝6.
根据抛物线的定义可知点P到焦点的距离为6.
3．(2014·威海模拟)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三→→＋FC→＝0，则|F→→|＋|FC→|等于( ) 点，若FA＋FBA|＋|FB
A．9 C．4 [答案] B
→→＋FC→＝0
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)，由FA＋FB知，(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
→→|＋|FC→|＝3＋x＋x＋x＝6. 即x1＋x2＋x3＝3，|FA|＋|FB123
4．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交
B．6 D．3 B．6 D．12 B．1 D．4
于A，B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是( )
A．4 C．3 [答案] C
[解析] 设点A(x1，y1)，其中y1＞0.过点B作抛物线的准线的垂线，垂足为|BB1|1B1，则有|BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1|BC|＝2，ππp
∠CBB13即直线AB与x轴的夹角为3.又|AF|＝|AK|＝x1＋2＝4，因此y1＝4sin π11＝3，因此△AKF的面积等于AK|·y＝1322×4×23＝43，
故应选C.
5．(2014·临沂模拟)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 C．64 [答案] A
[解析] 由题不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，
1
故S梯形APQB＝2(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48.
x2y2
6．若双曲线a－b＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F21
被抛物线x＝2by2的焦点分成3∶2的两段，则此双曲线的离心率为( )
9A.8 53C.3[答案] D
[解析] 由已知得F1(－c,0)，F2(c,0)，
637B．37 521D．21B．56 D．72 B．33 D．8
12?b?2
抛物线x＝2by，即y＝2bx的焦点F?2，0?，
??|FF|3
|FF|＝2.
2
b
2＋c3
即b25b＝2c，即25b2＝4c2， c－2又b2＝c2－a2，∴25(c2－a2)＝4c2， 521
解得c＝21a.
c21
故双曲线的离心率为a＝21.
1
7．(能力挑战题)已知M是y＝42上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为( )
A．2 C．8 [答案] B
[解析] 由题意可知，焦点坐标为F(0,1)，准线方程为l：y＝－1.过点M作MH⊥l于点H，由抛物线的定义，得|MF|＝|MH|，
∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，当C，M，H，A四点共线时，|MH|＋|MA|有最小值，|MA|＝|MC|－1，
于是，|MA|＋|MF|的最小值为4－(－1)－1＝4.
8．探照灯反射镜的轴截面是抛物线y2＝2px(x>0)的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40cm，则抛物线的焦点坐标是( )
?45?A.?20? ???45?C.?80? ??[答案] C
[解析] 本题考查抛物线的性质，难度中等．
?45?
B．?40?
???45?D．?160?
??B．4 D．10
45
依题意，点(40,30)位于抛物线y＝2px上，于是有30＝2p×40，p＝42
2
?45?
点坐标是?8，0?，
??
故应选C.
9．(2012·沈阳四校联考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点E(m,0)(m≠0)的直→＝λME→，→＝μNE→，
线交抛物线于点M，N，交y轴于点P，若PMPN则λ＋μ＝( )
A．1 C．－1 [答案] C
?p?
[解析] 由各选项知，λ＋μ为定值，因此可以取E?20?，此时将直线MN
??pp?
化为特殊直线y＝x－2P?0，－2，设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，则由
??p??y＝x－2?
??y2＝2px，
1
B．－2 D．－2
p2
得x－3px＋4＝0，
2
p2
所以x1＋x2＝3p，x1x2＝4. →＝λME→，PN→＝μNE→， 由PM
?p??p?
得x1＝λ?2－x1?，x2＝μ?2－x2?，
????则λ＝p
x，μ＝pxx，
2－x12x2p
x
所以λ＋μ＝p
2x12x2
p
2?x1＋x2?－2x1x2＝pp 4－2?x1＋x2?＋x1x232p22p－2＝p3＝－1，
2p42＋4
故应选C.
10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线→＝MB→，则p＝________.
与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM
[答案] 2
→＝MB→，∴M为AB的中点，∴
[解析] 过B作BE垂直于准线l于E，∵AM1
|BM|＝2|AB|，又斜率为3，∴∠BAE＝30°，
1
∴|BE|＝2|AB|，
∴|BM|＝|BE|，∴M为抛物线的焦点，∴p＝2.
11．(能力挑战题)如图，抛物线C1：y2＝4x和圆C2：(x－1)2＋y2＝1，直线l→·→的值是________．
经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则ABCD
[答案] 1
[解析] 由于抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0)， →|＝|AF→|－1＝x，
则|ABA→|＝|DF→|－1＝x， |CDD
p2→→
∴|AB||CD|＝xA·xD＝41， →·→＝|AB→||CD→|＝1. ∴ABCD
12．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．
[答案]
6－1
[解析] 由题意知当圆C的半径最大时应与x＝3，y2＝2x相切，如图．
【二】:河北省唐山市2016届高三数学第二次模拟考试试题 文
唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试
文科数学
说明：
一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．
四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项符合题目要求．
（1）已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∪B＝
（A）(－2，1) （C）(－2，2)www.fz173.com_河北唐山高中数学新课标书。
（B）(－1，1) （D）(－1，2)
（2）设复数z满足(1＋z)(1＋2i)＝i，则复平面内表示复数z的点位于
（A）第一象限 （C）第三象限
（B）第二象限 （D）第四象限
? （3）已知α为实数，则“α＝2kπ＋（k∈Z）”是“tanα＝1”的
4
（A）充分不必要条件 （C）充要条件 又不必要条件
（B）必要不充分条件 （D）既不充分www.fz173.com_河北唐山高中数学新课标书。
（4）大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译
服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为
（A） 1 3
（B） 1 2（C） 5 6
（D） 2 3
（5）执行右侧的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S＝
（A）6 （B）12 （C）14
（D）20
（6）已知a＝log0.5
34，b＝logπ3，c＝5，则a，b，c的大小关系是
（A）a＜b＜c （B）a＜c＜b （C）b＜c＜a
（D）b＜a＜c
?（7）若实数x，y满足?x＋y≥1，
?x＋2y≤6，则z＝3x＋4y的最大值是
??2x－y≤2，
（A）3 （B）8 （C）14
（D）15
（8）函数f(x)＝cos(x＋2π π π
5＋2sin5sin(x＋5
)的最大值是
（A）1
（B）sin π
5
（C）2sin
π
5
（D5
y2
＋x2
（9）椭圆m
2＝1（0＜m＜1）上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是
（A）[
2
2
，1) （B）(0，22
] （C）[ 1
，1)
（D）(0， 1
22
]
（10）在?ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则→BD2→AE＝
（A）－12 （B）12 （C）－6
（D）6
（11）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方
形，PA＝AB．该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值
正视图
侧视图
为 1 （A）
2 1 （C）
4
1 （B）3 1 （D）5
（12）已知函数f(x)＝
x
sinπx在上的最小值为n，则m＋n＝ x－1
（A）－2 （C）1
（B）－1 （D）2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）已知双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程是y＝±2x，则C的离心率e＝____． （14）已知△ABC的三边长分别为2，3，7，则△ABC的面积S＝_____． （15）已知函数f(x)＝e－ax－1，若x轴为曲线y＝f(x)的切线，则a＝____．
（16）已知AB是球O的直径，C、D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为
9，则球O的表面积为_____．
三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选
考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－7，S8＝0． （Ⅰ）求{an}的前n项和为Sn；
1 an
（Ⅱ）数列{bn}满足b1＝bnbn＋1＝2，求数列{bn}的通项公式．
16（18）（本小题满分12分）
二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格
x
y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：
n
∑xiyi－n2-x-y
i＝1
i＝1
（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：?bn
2-2∑xi－nx
?-，a?＝-y－bx．）
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w＝0.05x－1.75x＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？
2
（19）（本小题满分12分）
如下图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为边AD的中点，分别沿BE，CE将△ABE，△
DCE折叠，使平面ABE和平面DCE均与平面BCE垂直．
（Ⅰ）证明：AD∥平面BEC； （Ⅱ）求点E到平面ABCD的距离．
E
D
A
C
D
【三】:河北省唐山市2016届高三数学第三次模拟考试试题 文(扫描版)
一、选择题 唐山市2015—2016学年度高三年级第三次模拟考试 文科数学参考答案
A卷：DCADD ABCDA BC
B卷：DCABD ABCDC BA
二、填空题www.fz173.com_河北唐山高中数学新课标书。
（13）1
三、解答题
（17）解： （14）3 （15）43π （16）(n－1)4n＋1＋4
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