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柯克曼女生散步问题(一)
史上难题 “女生散步问题”
七大千年数学难题之一的庞加莱猜想，是本次国际数学家大会讨论的焦点。其实，除了七大千年数学难题之外，数学史上还有一些有趣的数学难题给人留下深刻印象。
哥德巴赫猜想
提出者：德国教师哥德巴赫;提出时间：1742年;内容表述：任何一个大于2的偶数都可以表示为
两个素数之和;研究进展：尚未完全破解。
费马大定理
提出者：法国数学家费马;
提出时间：1637年;
内容表述：x的n次方加y的n次方等于z的n次方，在n是大于2的自然数时没有正整数解;【柯克曼女生散步问题】
研究进展：由英国数学家安德鲁怀尔斯和他的学生理查泰勒于1995年成功证明。
四色猜想【柯克曼女生散步问题】
提出者：英国学生格思里;
提出时间：1852年;
内容表述：每幅地图都可以用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色;
研究进展：于1976年被计算机验证。
女生散步问题
提出者：英国数学家柯克曼;
提出时间：1850年;
内容表述：某学生宿舍共有15位女生，每天3人一组进行散步，问怎样安排，才能使每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步，并恰好每周一次;
研究进展：已获证明。
七桥问题
提出者：起源于普鲁士柯尼斯堡镇(今俄罗斯加里宁格勒);【柯克曼女生散步问题】
提出时间：18世纪初;
内容表述：一条河的两条支流绕过一个岛，有7座桥横跨这两条支流，问一名散步者能否走过每一座桥，而且每座桥只能走一次，就让这名散步者回到原地
柯克曼女生散步问题(二)
柯克曼女生问题
柯克曼女生问题
有一个学校有15个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？这个问题是英国数学家柯克曼（1806～1895）于1850年提出，下面介绍一位英国牧师Andrew Frost的解答。 设15位女生用下面15个符号表示：x , a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , d1 , d2 , e1 , e2 , f1 , f2 , g1 , g2 ;将它们排成七行，每天五个三人行小组（共十五人），使x处于七行中的最前一位置上：(x,a1,a2); (x,b1,b2); (x,c1,c2); (x,d1,d2); (x,e1,e2); (x,f1,f2); (x,g1,g2).于是只须分配14个元素，再每一行中，后继三人行小组，即对有下标的七个元素a，b，c，d，e，f，g进行三元素组合，填入每行，但每个字母只许出项两次。即 Sunday: (x,a,a), (b,d,f), (b,e,g), (c,d,g), (c,e,f); Monday: (x,b,b), (a,b,e), (a,f,g), (c,d,g), (c,e,f); Tuesday: (x,c,c), (a,d,e), (a,f,g), (b,d,f),(b,e,g); Wednsday:(x,d,d), (a,b,c), (a,f,g), (b,e,g),(c,e,f); Thursday: (x,e,e), (a,b,c), (a,f,g), (b,d,f), (c,d,g) Friday: (x,f,f), (a,b,c), (a,d,e), (b,e,g), (c,d,g); Saturday:(x,g,g), (a,b,c), (a,d,e), (b,d,f), (c,e,f)现在来填下标，如果在同一行中，可以有两个相同字母，例如在第三行中bdf,beg中，b出现两次，可标上不同的脚标b1,b2;若每一个“三人行”，有两个脚标已定，则在同一行，别的三人行组不能再用；若不是由两种原则定出脚标，就定为1。得到解： Sunday: (x,a1,a2), (b1,d1,f1), (b2,e1,g1), (c1,d2,g2), (c2,e2,f2); Monday: (x,b1,b2), (a1,b2,e2), (a2,f2,g2), (c1,d1,g1), (c2,e1,f1); Tuesday: (x,c1,c2), (a1,d1,e1), (a2,f1,g1), (b1,d2,f2),(b2,e2,g2); Wednsday:(x,d1,d2), (a1,b2,c2), (a2,f2,g1), (b2,e1,g2),(c1,e2,f1); Thursday: (x,e1,e2), (a1,b1,c1), (a2,f1,g2), (b2,d1,f2), (c2,d2,g1) Friday: (x,f1,f2), (a1,b2,c1), (a2,d2,e1), (b1,e2,g1), (c2,d1,g2); Saturday:(x,g1,g2), (a1,b1,c2), (a2,d1,e2), (b2,d2,f1), (c1,e1,f2)。
柯克曼女生散步问题(三)
柯克曼的女学生问题
柯克曼的女学生问题
某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？
柯克曼女生散步问题(四)
有关组合数学家陆家羲的几点史实澄清
［摘要］组合数学家陆家羲是中国民间科学家的传奇性代表人物,他业余时间坚持组合数学研究26年多,以高超的智慧和坚韧的毅力在组合设计研究领域取得四大世界级突出成就,即首先完成柯克曼三元系、柯克曼四元系和不相交斯坦纳三元系大集存在性问题的证明并取得可分解平衡不完全区组设计（RBIBD）存在性理论中迄今最好和最齐整的结果。其研究成果“关于不相交Steiner三元系大集的研究”荣获1987年度第三届国家自然科学奖一等奖。他因英年早逝,其人、其事、其成就都鲜为人知,有价值的介绍陆家羲及其成就的文献资料并不多,而且经常出现各种错漏或失实,为了以正视听,很有必要加以澄清,本文就是对此问题所做的一种尝试,辨析时力求客观而精准。 ［关键词］陆家羲；柯克曼15女生问题；柯克曼三元系；柯克曼四元系；柯克曼女生问题；斯坦纳三元系；斯坦纳四元系；西尔维斯特(女生)问题；区组设计大集；不相交斯坦纳三元系大集
［中图分类号］O 157�2［文献标识码］A［文章编号］1005-6432（2014）22-0158-07
1引言
组合数学家陆家羲(1935�06�10上海市虹口区―1983�10�31包头市昆都仑区,见图1照片)生前是包头市第九中学物理教师,1979―1981年笔者在包九中念高中(当时的高中是2年制,1982年起内蒙古自治区的高中才改为3年制),高中二年级时有幸遇见并结识陆家羲老师,当时他担任我们高二(2)班的物理课教师(见图2照片，摄影作者：杨洁女士)。因有此缘分,笔者一直致力于推介陆家羲老师的光辉事迹和伟大成就［1-5］。2009年最新版《辞海》开始收录“陆家羲”词条,笔者为此曾作出过一些努力。即便是最具权威性的《辞海》,其“陆家羲”词条所存在的错漏甚多,本文特就包括《辞海》在内的有关陆家羲的失实史实做出以下辨析和澄清。
图1英俊的陆家羲先生图2包九中校园致知楼前的陆家羲雕像
2有关组合数学家陆家羲的几点史实澄清
《辞海》号称是中国最权威的工具书之一,2009年最新版《辞海》打破惯例增收“陆家羲”词条是值得赞许的,也实现了笔者盼望多年的夙愿。但十分遗憾的是,在其仅有168�5个汉字(包括姓名、生卒年和标点符号,1个阿拉伯数或1个英文字母按0�5个汉字计算,不计空格)的介绍中竟出现了多处错漏或不严谨(详见下表第1～7条),谬误已达到惊人的程度,况且重点介绍陆家羲成就的3句话都存在错误。为了便于阅读与对比,在此照录2009年版《辞海》彩图本第1452页的“陆家羲”词条原文如下：
陆家羲(1935―1983)中国数学家。上海市人。东北师范大学毕业。曾在内蒙古自治区的一些学校任教,后任包头第九中学物理教师。1965年给出“柯克曼15女生问题”的证明,但未能发表。1979年基本上完成了“斯坦纳三元系”的研究。1983年在国际性的《组合论杂志》上陆续发表“论不相交斯坦纳三元系大集”等3篇论文,解决了世界性难题。1987年获国家自然科学奖一等奖。
《辞海》的版面是金贵的,在内容涵盖面稍作扩充的前提下,笔者仔细推敲,经精益求精提炼后的“陆家羲”词条［共247�5个汉字,《辞海》对此类词条一般有200字以内的限制,但考虑到陆家羲的特殊身份和突出贡献(中学物理教师以组合数学成就荣获国家自然科学奖一等奖,反差何其明显),稍微突破此限制应该是可以接受的］如下,可供《辞海》2019年修订时参考。1994年起由华东理工大学数学教授汪嘉冈(1938�11―,江苏苏州人)先生接替年迈的苏步青(1902―2003)教授出任《辞海》数学分科的主编。
陆家羲(1935―1983)中国数学家。上海市人。吉林师范大学(今东北师范大学)物理系毕业。曾任包头市第九中学物理教师。1965年给出“柯克曼三元系和四元系存在性问题”的证明,但未能发表。1983―1984年在国际性《组合论杂志(A辑)》发表以“论不相交斯坦纳三元系大集”为总标题的6篇论文,解决了世界性组合数学难题,首开整体解决大集存在性问题之先河。1984年发表遗作《可分解平衡不完全区组设计的存在性理论》,取得该领域最好和最齐整的结果。以研究成果“关于不相交Steiner三元系大集的研究”获1987年度国家自然科学奖一等奖。
其中“1984年发表遗作《可分解平衡不完全区组设计的存在性理论》［6］,取得该领域最好和最齐整的结果。”一句话是笔者新增的扩充内容,因为它反映了陆家羲的第四大研究成果,绝对值得借助于《辞海》隆重推出。
关于介绍陆家羲及其成就的文献资料的准确性,权威的《辞海》尚且错漏百出,其他文献资料的准确性也就可想而知了,鉴此笔者特意梳理出以下汇总表。
有关组合数学家陆家羲几点史实澄清的汇总表注1序号条目名称错漏或失实内容正确或实际内容具体内容出处或来源具体内容出处或来源错误性质及说明11961年夏陆家羲本科毕业学校的正式名称东北师范大学2关于陆家羲工作的地点曾在内蒙古自治区的一些学校任教,后任包头第九中学物理教师。3柯克曼15女生问题、柯克曼三元系存在性问题和柯克曼女生问题三者的关系和区别注41965年给出“柯克曼15女生问题”的证明,但未能发表。注54斯坦纳三元系和不相交斯坦纳三元系大集两者的关系和区别注61979年基本上完成了“斯坦纳三元系”的研究。5陆家羲的可分解平衡不完全区组设计(RBIBD)的存在性理论遗漏2009年版《辞海》彩图本P1452
文献［7］P586吉林师范大学(今东北师范大学)文献［3］P110瑕疵,不规范。1946―1950年称东北大学,1950―1958年称东北师范大学,1958―1980年称吉林师范大学注2,1980年8月起恢复东北师范大学校名。1946年创办于本溪市,1949年起定址于长春市。方案①：曾在包头市的一些学校任教,后任包头市第九中学物理教师。
方案②：曾任包头市第九中学物理教师。文献［3］P113不严谨,易误读。读者容易误认为陆家羲曾在包头市以外的内蒙古其他地方任教过,况且他全部的工作经历并不是一直任教当老师注3。笔者认为采用方案②只指明他最重要的一段教学经历即可。1965年给出“柯克曼三元系和四元系存在性问题”的证明,但未能(正式)发表。文献［3］P110�113基本概念错误,还遗漏陆家羲的第二大成就,即首先证明柯克曼四元系存在性问题。1979年基本上完成了“不相交斯坦纳三元系大集”的研究。因该项成果已反映在第6条的内容中,为节省字数此处可省略。文献［3］P113�114基本概念错误,此内容不重要。根据科学共同体公认的国际惯例,科研成果得到承认以正式发表论文的时间为准,工作完成时间可忽略。1984年发表遗作《可分解平衡不完全区组设计的存在性理论》,取得该领域最好和最齐整的结果。文献［3］P113遗漏陆家羲的第四大成就。续表序号条目名称错漏或失实内容正确或实际内容具体内容出处或来源具体内容出处或来源错误性质及说明6陆家羲发表在《组合论杂志(A辑)》上的论文情况1983年在国际性的《组合论杂志》上陆续发表“论不相交斯坦纳三元系大集”等3篇论文,解决了世界性难题。7陆家羲荣获国家自然科学奖一等奖的情况1987年获国家自然科学奖一等奖。2009年版《辞海》彩图本P1452
文献［7］P5861983―1984年在国际性《组合论杂志(A辑)》发表以“论不相交斯坦纳三元系大集”为总标题的6篇论文,解决了世界性组合数学难题,首开整体解决大集存在性问题之先河注7。文献［3］P111和P114
文献［8］P1981�1982表述不清,极易误读。6篇论文的总标题只有一个,前后3篇论文分别发表于1983年和1984年。陆家羲所取得的该项研究成果的重大意义、历史地位和价值均应略作表述,这样才能和他后来荣获国家自然科学奖一等奖一事相呼应。以研究成果“关于不相交Steiner三元系大集的研究”获1987年度国家自然科学奖一等奖。文献［4］P113�114不规范,不严谨。获此大奖是一件很严肃和很重要的事情,理应列明其获奖项目全称。1987年度第三届国家自然科学奖于1988年3月15日公布,1989年2月15日在北京举行授奖大会［9］。8陆家羲在《组合论杂志(A辑)》发表论文的具体时间1983年3月的《组合论》杂志上发表了他的前三篇论文,4月发表了他的另外三篇论文注8。
于1981年和1983年分期登载解决此问题的6篇文章。文献［10］P9
文献［11］P735陆家羲的前3篇论文发表于《组合论杂志(A辑)》1983年上半年第34卷第2期(3月出刊),后3篇论文发表于1984年下半年第37卷第2期(9月出刊)［12-14］。文献［15］第1段前半句不准确,后半句错误。《组合论杂志(A辑)》为双月刊,上下半年各出1卷,逢单月出刊,主要刊登组合论的结构、设计和应用方面的论文；《组合论杂志(B辑)》主要刊登有关图论和拟阵论方面的论文,亦是双月刊。9《组合论杂志》出版的地点加拿大的《组合论杂志》文献［16］P162美国的《组合论杂志》文献［3］P114国际性期刊,出版地在美国,编辑部现设在加利福尼亚州圣迭戈市。10柯克曼三元系存在性问题的法定征服者一个或两个意大利人文献［17］
文献［18］注9
文献［19］P30
文献［20］P89
文献［21］P36
文献［22］P092美国俄亥俄州立大学的印度裔数学家雷－乔得赫里及其博士研究生威尔逊(美国人),2人均非意大利人。文献［3］P112国籍或/和人数错误。此错误流传甚广,是人云亦云和以讹传讹而引起的,其始作俑者不详。11《数学方法趣引》一书的作者孙振瀛文献［19］P29
文献［21］P34孙泽瀛文献［23］
文献［24］
文献［3］P110属于笔误。内蒙古师范大学数学史专家罗见今教授曾在境外看到过此书的盗版,盗版书竟然将孙泽瀛先生的名字写错。12《数学方法趣引》第2版(即新1版)的出版时间1955年文献［25］P91956年4月文献［26］版权页罗见今教授是该书第3版序言的作者,系序言作者记忆错误。13陆家羲阅读到《数学方法趣引》一书的最初时间1956年夏
1957年夏文献［27］和［28］
文献［18］和［29］1956年夏确切时间有待继续考证笔者现倾向于采信“1956年夏”之说,因陆家羲在哈尔滨阅读到的是新1版且由此立志考大学,况且文献［28］的作者袁懋远与陆家羲是志同道合的密友,其回忆应该比较准确。续表序号条目名称错漏或失实内容正确或实际内容具体内容出处或来源具体内容出处或来源错误性质及说明14《数学方法趣引》所介绍的世界著名数学难题的数目这本书妙趣横生地介绍了十多个世界著名数学难题文献［27］
文献［28］
文献［29］
文献［1］只介绍8个世界著名数学难题注10文献［3］P110数目不准确。原作者未查阅原文核实,系凭空臆想和猜测。15毕业班年级问题他担任高三年级的物理教师文献［21］P37他担任高中毕业班年级的物理教师文献［3］P113不全面,不准确。1982年起内蒙古自治区的高中才改为3年制,此前是2年制。16陆家羲逝世的具体时间从武汉回到家中,仅仅只有两个小时,就长辞人世,告别了这个世界。文献［21］P3910月30日下午6时许从武汉回到家中,次日凌晨1时许因心脏性猝死溘然长逝。文献［30］
文献［3］P113不准确。有些文献资料直接说陆家羲逝世于1983年10月30日,这是不对的。17数学家柯克曼的国籍美国数学家文献［22］P090英国数学家文献［3］P109国籍错误。英格兰人柯克曼(又译为寇克满、科克曼,1806―1895)是数学史上大器晚成型的数学家,还称不上是“西方大数学家”(文献［21］P34)。18数学家丹尼斯顿的国籍美国数学家文献［31］P70
文献［3］P111英国莱斯特大学(University of Leicester)数学家。文献［32］P128,参阅文献［33］的作者单位署名。国籍错误。1974年丹尼斯顿首先找到15阶不相交柯克曼三元系大集LKTS(15)的第一个局部解。19数学家特尔林克的国籍荷兰学者(还有文献资料误将特尔林克列为英国数学家)文献［34］P158
文献［35］P101美国奥本大学的比利时裔数学家文献［3］P111
文献［36］P240国籍错误。1991年特尔林克成为不相交斯坦纳三元系大集存在性问题(即陆家羲定理)所遗留下来6个例外值的最终解决者［37］。20不相交斯坦纳三元系大集LSTS(v)存在性问题的起源时间和解决时间这是一道一百三十多年攻之不下的著名数学难题文献［19］P28和P31
文献［38］P215和P222
文献［39］封2区组设计大集问题起源于1861年的西尔维斯特(女生)问题注11,陆家羲最终基本解决此问题是在1984年,1991年此问题获得全面整体解决。严格意义上说应该是123年(1861―1984)。文献［3］P111不准确。不能将区组设计大集问题和柯克曼15女生问题(1850年)混为一谈。21陆家羲定理所安排的引理和定理数量依据独创的55个定理和引理文献［40］P49116个引理,29个定理。文献［38］P223
文献［3］P111笔者采信文献［38］作者(康庆德教授系组合数学领域专家)的说法。22陆家羲获颁内蒙古自治区科技进步奖特等奖的时间1984年10月31日(实为自治区特别奖的颁奖日期［41-42］)注12文献［22］P0951985年12月26日(自治区首届科技进步奖颁奖大会召开的日期)文献［3］P113混淆了两个不同奖项的颁奖日期。1985年6月7日内蒙古自治区人民政府正式颁发《内蒙古自治区科学技术进步奖励办法》。续表序号条目名称错漏或失实内容正确或实际内容具体内容出处或来源具体内容出处或来源错误性质及说明231983年7月陆家羲以及门德尔逊和邦迪教授参加首届全国组合数学学术会议(大连)的缘由中国有关单位邀请门德尔逊和邦迪教授来华讲学并参加首届全国组合数学学术会议,他们首先感到惊讶(“你们中国不是有陆家羲博士吗？”),然后在他们的推荐下,陆家羲才被邀请参会。文献［19］P32
文献［20］P38
文献［22］P089
文献［43］P43因陆家羲的前3篇论文已在国际上发表,主办方邀请他参会,同时也邀请其论文的两位审稿人(门德尔逊和邦迪教授注13)参加会议并到中国科学院合肥计算中心讲学。门德尔逊和邦迪教授离开加拿大前夕已向中国有关方面拍来电报,请求与陆家羲见面,并没有推脱或一头雾水感到惊讶的情节。文献［44］
文献［45］P179�180不符合事实真相。系原作者为烘托气氛而臆想虚构的情节,与当时的实际情况不相吻合。24中国数学会第四次全国代表大会(武汉)的会期1983年9月武汉数学会议的代表们游览长江大桥文献［18］1983年10月根据会期推算而得时间错误。中国数学会第四次全国代表大会(武汉)的会期是1983�10�22～27［46］。25截至2005年国家自然科学奖一等奖的获奖项目数量总共26～27项文献［39］封2共计29项(包括当时未公开的2项)文献［5］P146�147不准确。迄今国家自然科学奖一等奖的获奖项目共计33项(包括当时未公开的2项)。注1：在本表中,除第7～8、第12～13、第18和第23～25条以外,其他各条的正确内容在文献［3］中均有所论述或涉及。笔者以前发表过的相关文章若有与本文存在不一致的地方,一律以本文为准。
注2：今吉林师范大学(坐落于吉林省四平市)的前身是创办于1958年的四平师范专科学校,1973年升格为四平师范学院,2002年起改为现名。
注3：陆家羲大学毕业后,先后在包头钢铁学院(今内蒙古科技大学,1961―1962年)、包头市教育局教研室、包头市第八中学、包头市第五中学、包头市第二十四中学(1965―1973年)和包头市第九中学(1973―1983年)任教或工作,“文革”期间曾被送至教育局行政干校集训(劳动改造)过一段时间。
注4：用数学语言来表述：柯克曼15女生问题KTS(15)是指具体RB［15,3,1］的存在性问题,1850年柯克曼提出后当年最先由凯莱予以解决(即率先找到一个局部解)；柯克曼三元系(存在性)问题KTS(v)是指RB［v,3,1］的存在性问题,1971年首先由美国俄亥俄州立大学的印度裔数学家雷－乔得赫里(Dwijendra Kumar Ray�Chaudhuri)及其博士研究生威尔逊(美国人)予以解决；抽象扩展化以后的、一般意义上的RB［v,k,λ］的存在性问题现常被概称为柯克曼女生问题,1984年陆家羲通过文献［6］取得此领域迄今最好和最齐整的结果,即可分解平衡不完全区组设计(RBIBD)存在性理论［47］,其完整解迄今尚未解决。有人曾宣称解决了RB［v,k,λ］的完整解［48-49］,但证据明显不足且作者的身份和职业操守高度存疑,况且此事也没有得到过国内外同行专家学者们的认同［50］。柯克曼四元系(存在性)问题KQS(v)是指RB［v,4,1］的存在性问题,1972年首先由以色列犹太数学家哈纳尼等人予以解决,它存在的充要条件是当且仅当v≡4(mod 12),其中v≥4［51］。柯克曼(又译为科克曼,Thomas Penyngton Kirkman,1806�03�31―1895�02�03)是英国数学家。
注5：“柯克曼15女生问题”只是一个引子,是它将陆家羲吸引到组合设计研究领域的最前沿,而绝不能说是陆家羲证明了“柯克曼15女生问题”,因为这个问题早已被前人所解决［52］。
注6：用数学语言来表述：斯坦纳三元系(存在性)问题STS(v)是指B［v,3,1］的存在性问题,1847年最先由柯克曼予以解决；不相交斯坦纳三元系大集LSTS(v)的存在性问题最终由陆家羲于1984年基本解决(他巧妙地构建了一些基于素数因子的递归关系,精心设计了一个等价的正交拉丁方系),他遗留下来的6个例外值1991年由特尔林克予以解决。斯坦纳四元系(存在性)问题SQS(v)是指B［v,4,1］的存在性问题,1960年首先由以色列数学家哈纳尼予以解决,它存在的充要条件是当且仅当v≡2,4(mod 6),其中v≥4［53-56］。斯坦纳(又译为施泰纳,Jakob Steiner,1796�03�18―1863�04�01)是瑞士几何学家。
注7：“首开整体解决大集存在性问题之先河”这句话很重要,因为正是它才奠定了陆家羲在世界组合数学界的崇高地位,也是包头市第九中学陆家羲能以研究成果“关于不相交Steiner三元系大集的研究”荣获1987年度国家自然科学奖一等奖的最重要原因。
注8:1983年4月《组合论杂志(A辑)》编辑部函告陆家羲,该杂志将发表他的另外3篇论文［57］。
注9：作家(诗人)、书画家和收藏家张廓(原名铁路,字道生、廓之,1944―)先生撰写的报告文学《生命的塑像――为数学家陆家羲(1935―1983)而作》(发表于1984年11月2日《人民日报》第8版)曾获全国青年报告文学一等奖［58-59］。
注10：《数学方法趣引》是数学家孙泽瀛(1911�09�28日本山口县,祖籍今四川达州市开江县―1981�05�17浙江杭州市)为中学生创作的课外普及读物,数学通俗读物中的经典,该书共介绍了以下8个世界著名数学难题［60］：哥尼斯堡七桥问题、哈密尔顿周游世界游戏问题、地图着色问题(即四色问题)、十五棋子排列问题、魔方阵问题、欧拉三十六军官问题、火柴游戏问题和寇克满女生问题(文中顺便介绍了斯坦纳系列问题),哈密尔顿(Sir William Rowan Hamilton,1805�08�03―1865�09�02)是爱尔兰物理学家、天文学家和数学家,1843年他首先提出四元数的概念。
注11：西尔维斯特(女生)问题LKTS(v)大集的完整解难度极大,至今尚处于起步阶段,研究进展缓慢。
注12：文献［61］P705“获1984年包头市组合数学研究成果特别奖”有误,颁奖单位是内蒙古自治区党委和自治区人民政府,只是颁奖地点在包头市。
注13：陆家羲的两位外国伯乐就是其论文审稿人：加拿大多伦多大学国际组合数学权威埃里克・门德尔逊（Eric Mendelsohn）教授和加拿大滑铁卢大学图论专家邦迪（John Adrian Bondy，拥有英国和加拿大双重国籍）教授。埃里克・门德尔逊是组合数学大师内森・索尔・门德尔逊（Nathan Saul Mendelsohn，1917.04.14-2006.07.04）的长子，他子承父业，父子均供职于多伦多大学。Mendelsohn三元系大集LMTS(v)就是以内森・索尔・门德尔逊的名字命名的。陆家羲独创的LD设计在LMTS(v)的构造方面发挥过很大作用。
3结束语
正如法国职业律师和数学家费马(Pierre de Fermat,1601�08�17―1665�01�12,以1637年首先提出费马猜想而闻名,该猜想于1994年被英国数学家怀尔斯证明为费马大定理)被英国数学家和数学史家贝尔(Eric Temple Bell,1883�02�07―1960�12�21)誉为世界“业余数学家之王”(The Prince of Amateurs)一样［62-64］,包头市第九中学物理教师陆家羲被誉为“中国最伟大的业余数学家”是当之无愧的。他作为中国民间科学家的标志性人物,其历史地位和现实价值正日益凸显,因此国内外围绕介绍陆家羲老师生平事迹、学术成就以及成果应用的文献资料越来越多［65］,为了避免有关陆家羲老师的错误和失实内容继续以讹传讹,笔者特就所能接触到的有关问题做出上述辨析和澄清。此澄清并不是全面完整的或无懈可击的,笔者希望此文能起到抛砖引玉的作用,期待着有识之士或知情者给予补充和完善。
陆家羲老师不幸英年早逝后,包头市科委和包头市科协于1984年1月16日下午在昆区林荫路包头市科技讲座厅举办了“向陆家羲同志学习报告会”(其入场券扫描件见图3),尽管当时适逢紧张的大三上学期期末复习迎考阶段,笔者还是抽空参加了这次重要的报告会。谨以此文深情缅怀我们所尊敬的陆家羲老师诞辰79周年和逝世31周年。
图3报告会入场券
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柯克曼女生散步问题(五)
数学的魅力
[摘 要] 包头市第九中学物理教师陆家羲是世界闻名的组合数学家，他倾注毕生精力和心血矢志不移地在组合数学领域取得四大历史性成就：首先完成柯克曼三元系、柯克曼四元系和不相交斯坦纳三元系大集存在性问题的证明并取得可分解平衡不完全区组设计（RBIBD）存在性理论中迄今最好和最齐整的结果。常年遨游于数学王国的陆家羲老师无疑是追寻数学美的高手和胜利者，谨以此文寄托我们全家对他逝世30周年的深切哀思和深情怀念。 [关键词] 组合数学；陆家羲；斯坦纳三元系大集；国家自然科学奖；诺贝尔奖；菲尔兹奖；沃尔夫数学奖；阿贝尔奖；克拉福德奖
[中图分类号] O 157.2 [文献标识码] A
一、组合数学及陆家羲
组合数学是主要研究有限个事物在一定规则下的安排，诸如安排的存在性、计数、构造与最优性等的一门数学分科。组合数学既是离散数学的重要组成部分和核心，又是计算数学（又称数值分析，内容大致可分为计算方法和数学软件两个方面）的一个重要工具，它与数论是姊妹学科。组合数学的五大分支是经典组合学（又称组合分析）、组合设计、组合序、图论、组合多面形与组合最优化问题[典型的组合优化问题包括独立系统问题、拟阵问题、最短路径问题、中国邮递员问题、染色问题（如四色定理等）、背包问题和布局问题等]，它广泛地被应用于计算机科学、运筹学（规划论是运筹学的分支，组合规划又称组合最优化，它是规划论的一种）、概率论、数理统计、信息论、控制论、人工智能、电子工程、管理科学和其他自然科学领域以及有关社会科学领域，还与试验设计和编码理论等密切相关。对组合数学的研究极大地推动了现代应用数学的发展。
英国数学家柯克曼（又译为寇克满、寇克曼，1806―1895）是数学史上大器晚成型的数学家，他不但解决了斯坦纳三元系B[v，3，1]存在性的充要条件问题，同时还对r的每个素数值，给出了参数为v=r2+r+1， k=r+1， l=1的2-设计（现称有限射影平面）。他应用循环差集构造r=4和r=8的射影平面（即2维射影空间），发现参数v=2n， k=4， l=1的3-设计和其他几种特殊的设计。柯克曼因为这些研究成果和首先提出区组设计领域著名的柯克曼15女生问题（即狭义柯克曼女生问题）而被誉为“组合设计之父（the father of combinatorial design）”，组合数学界“柯克曼系”以他的名字命名。
瑞士几何学家斯坦纳（Jakob Steiner，1796―1863）是近代射影几何学（projective geometry，综合法和解析法是它的两大研究手段，斯坦纳则热衷于推崇综合法）的奠基人之一，以他名字命名的“斯坦纳系”在组合数学界遐迩闻名。
1917年法国数学家贝斯（S. Bays）在文献[1]中首先说明恰有两个不同构的9阶斯坦纳三元系大集存在（1974年被重新证实并得到恰有两个不同构的13阶斯坦纳三元系大集存在的结论[2]），并提出贝斯猜想（1972年被证明并向前跨进一步[3]）：当v=1， 3（mod 6），且v>7时，是否存在D（v）≥（v-1）/2？此后一直到1970年代，LSTS（v）和LKTS（v）的存在性问题几乎毫无进展，迄今后者距离完全解决仍相去甚远。1980年代以前，LSTS（v）的存在性结果依旧是零散的。这种停滞不前的局面直到组合数学家陆家羲（1935.06.10―1983.10.31）的横空出世才得以根本性改观。1983年他一举攻克了不相交斯坦纳三元系大集的存在性世界难题（起源于1861年的西尔维斯特问题，现称陆家羲定理）：若v≡1 or 3 （mod 6），v>7，且v?{141，283，501，789，1501，2365}，则存在LSTS（v），且D（v）=v-2。对于待定的6个v值（1991年已获彻底解决），他于1983年7月30日在大连召开的首届全国组合数学学术会议（会期：7月25～31日）上宣布已明珠在握，即将以第7篇论文的方式公开发表，令人十分惋惜和万分痛心的是，他动笔不久就因心脏性猝死而遽然离世，在其遗稿中只找到24页提纲草稿和部分结果。
包头市第九中学陆家羲以其研究成果“关于不相交Steiner三元系大集的研究”荣获1987年度第三届国家自然科学奖（1988年3月15日公布，1989年2月15日颁奖）一等奖，他仅以中学物理教师且没有任何职称和头衔的身份就独自获得当时我国自然科学界的最高荣誉─国家自然科学奖一等奖，是所有一等奖得主中唯一最具典型代表性的“另类”。法国律师和数学家费马（Pierre de Fermat，1601.08.17―1665.01.12）主要因首先提出费马猜想[1994年最终被英国数学家怀尔斯（Sir Andrew John Wiles，1953.04.11―）证明后就成为费马大定理，怀尔斯是1995―1996年度沃尔夫数学奖获奖者，是迄今最年轻的沃尔夫数学奖得主]而被誉为“近代数论之父”和世界“业余数学家之王”，陆家羲则是业余数学爱好者中最成功的典范之一，被誉为“中国最伟大的业余数学家”。
陆家羲是一位笔者早已熟知和仰慕的数学大师，笔者觉得向世人介绍陆老师的数学成就和宣传他的感人事迹是一件义不容辞的光荣任务，任重而道远[4-6]。“陆家羲”词条能荣登2009年最新版《辞海》也凝聚着笔者的一份心血和敬意。文献[7-12]是笔者撰写文献[6]以后新近发现和补充的介绍陆家羲老师出色成就和光辉事迹的著述。加拿大多伦多大学国际组合数学权威埃里克·门德尔逊（Eric Mendelsohn）教授和加拿大滑铁卢大学图论专家邦迪（John Adrian Bondy，拥有英国和加拿大双重国籍）教授是陆家羲论文的两位审稿人，他们慧眼识珠，是发现陆家羲论文重大学术价值的功臣和伯乐。陆家羲不幸早逝后，埃里克·门德尔逊教授亲自用英文撰写《陆家羲的工作（The work of Lu Jia-xi）》一文（发表于1985年第3期中国《数学研究与评论》杂志）评述其出色成就[13]。 二、数学界的诺贝尔奖及华裔获奖者
举世闻名的诺贝尔奖（Nobel Prize）中并无数学奖，因为诺贝尔（1833―1896）认为数学不是人类可以直接从中获益的科学。在国际数学家大会ICM（International Congress of Mathematicians）上颁发的菲尔兹奖[Fields Medal，获奖者年龄不得超过40岁，始于1936年，通常每4年颁奖一次，现每人奖金1.5万加元（约合1.48万美元），迄今52位得主获奖时的年龄范围是28～40岁，平均年龄是35.52±3.38岁]和沃尔夫数学奖（Wolf Prize in Mathematics，由以色列沃尔夫基金会负责颁奖，无年龄限制，具有终身成就性质，始于1978年，通常每年颁奖一次，现奖金总额为10万美元，迄今54位得主获奖时的年龄范围是42～90岁，平均年龄是68.04±8.84岁）现并称为数学界的诺贝尔奖，人们形象地称前者为青年数学家奖，称后者为终身成就数学奖。由挪威政府创设的专业数学奖—阿贝尔奖[Abel Prize，始于2003年，亦具有终身成就性质，每年颁奖一次，现奖金总额为600万挪威克朗（约合104.52万美元），迄今13位得主获奖时的年龄范围是66～85岁，平均年龄是75.54±5.59岁]，其奖金数额和获奖者的成就都堪与诺贝尔奖（2012年每项诺奖的奖金额为800万瑞典克朗，现约合123.28万美元）相媲美。
获得过上述世界顶级数学大奖和克拉福德奖[Crafoord Prize，由瑞典皇家科学院（亦负责诺贝尔物理学奖、化学奖和经济学奖的颁发）负责颁奖，始于1982年，每年颁奖一次，授奖学科包括天文学、数学、生物科学（特别是生态学）、地球科学和多发性关节炎（风湿性关节炎），2012年的奖金总额为400万瑞典克朗。迄今获奖者共58人，其中数学奖得主11人，数学家们获奖时的年龄范围是37～60岁，平均年龄是48.91±8.51岁]的华裔数学家有：①1983―1984年度沃尔夫数学奖得主陈省身（号辛生，Shiing-Shen Chern）：1911年10月26日（中文文献一般持28日说）出生于浙江秀水县淡水镇（今嘉兴市南湖区），1961年加入美国籍，2004年12月3日逝世于天津医科大学总医院（属和平区）。其最突出的成就是1943―1946年间完成的高维黎曼流形（Riemannian manifold）中高斯—博内公式（Gauss-Bonnet formula）的内蕴证明（首创应用纤维丛概念于微分几何学的研究并构造出现今普遍使用的陈省身示性类，简称陈示性类或陈类）和埃尔米特流形（Hermitian manifold）的示性类理论，因他对整体微分几何学的杰出贡献而被誉为“现代微分几何学之父”。由国际天文学联合会IAU（International Astronomical Union，法文缩写为UAI）下属的小天体命名委员会CSBN（Committee on Small Body Nomenclature）讨论通过，2004年9月28日国际小行星中心MPC（Minor Planet Center，位于美国波士顿哈佛大学天文台）发布公告，将国际编号为29552（1998CS2）号的小行星命名为“陈省身星（Chern，1998年2月15日由中国国家天文台施密特CCD小行星项目组在河北兴隆观测站发现）”。国际数学联盟IMU（International Mathematical Union）与陈省身奖基金会联合设立的“陈省身奖”于2010年8月19日在印度安得拉邦首府海得拉巴（Hyderabad）举办的第26届国际数学家大会（第24届国际数学家大会于2002.08.20～28在北京召开）开幕式上首次颁发。②1982年度菲尔兹奖、1994年克拉福德奖和2010年沃尔夫数学奖得主丘成桐（Shing-Tung Yau）：1949年4月4日出生于广东汕头市（祖籍梅州市蕉岭县文福镇，客家人），同年随父母迁居香港，1990年加入美国籍（获菲尔兹奖时是香港公民）。其主要成就有：1977―1978年证明凯勒—爱因斯坦度量（K?hler–Einstein metric）存在性的卡拉比猜想（Calabi conjecture），并由此推论出第一陈类为零的紧n维凯勒流形（现称卡拉比—丘流形，此流形还可定义为紧里奇平直卡拉比流形），他和法国数学家奥宾（Thierry Aubin，1942.05.06―2009.03.21）还分别独立地证明了第一陈类为负时的情形[第一陈类为正时的情形则由丘成桐的哈佛大学博士生、中国数学家田刚（1958年11月出生于江苏南京市）于1987年予以解决]，他们在分析几何领域所取得的这些成果被应用于超弦理论（超对称的弦理论的简称）中，对物理学中的统一场论有重要影响；1979年与美国数学家舍恩（Richard Melvin Schoen，1950.10.23―）合作应用变分法证明了广义相对论中的正能量定理（在微分几何学中常被称为正质量猜想，即爱因斯坦猜想），表明爱因斯坦的广义相对论具有一致性与稳定性；1980年代初与香港数学家郑绍远（Shiu-Yuen Cheng）合作解决了实蒙日―安培方程（Monge–Ampère equation）中的狄利克雷问题（Dirichlet problem），并对凸超曲面的高维闵可夫斯基问题（Minkowski problem）给出完整证明；1981年与美籍华裔数学家萧荫堂（Yum-Tong Siu，1943.05.06―）合作证明单连通凯勒流形若有非正截面曲率时必双全纯等价于复欧氏空间并给出弗兰克尔猜想（Frankel conjecture）的一个解析证明。同年与美国数学家米克斯（William H. Meeks）合作用极小曲面理论推导出三维流形拓扑方面的结果并导致史密斯猜想（Smith conjecture）的解决；1984年与美国女数学家乌伦贝克（Karen Keskulla Uhlenbeck， née Keskulla，1942.08.24―）合作解决了在紧凯勒流形上稳定的全纯向量丛与杨―密尔斯―埃尔米特度量是一一对应的猜想，并得出有关陈类的一个不等式；1996年与连文豪（新加坡国立大学）、刘克峰（1965年12月出生于河南开封市）合作解决了超弦理论中的镜对称猜想，给出了用对应的镜像流形上的皮卡―富克斯方程（Picard-Fuchs equation）表示的一大类卡拉比―丘流形上有理曲线数目的显式表达。丘成桐获得世界顶级数学大奖的纪录仅次于比利时和美国（双重国籍）数学家德利涅（Pierre René， Viscount Deligne，1944.10.03―），后者是迄今唯一囊括四项世界顶级数学大奖纪录的保持者：1978年菲尔兹奖、1988年克拉福德奖、2008年沃尔夫数学奖和2013年阿贝尔奖，他于2006年加入美国籍。2010年3月30日国际小行星中心发表公告，将国际编号为64290（2001UD11）号的小行星命名为“丘成桐星（Yaushingtung，发现于2001年10月22日）”。③2006年度菲尔兹奖和2012年克拉福德奖得主陶哲轩（Terence "Terry" Chi-Shen Tao）：1975年7月17日（中文文献一般持15日说）出生于南澳大利亚州首府阿德莱德（Adelaide），1972年其父母从香港移民到澳大利亚（其父陶象国祖籍上海），他于2009年加入美国籍，现拥有澳大利亚和美国双重国籍。2004年证明存在任意长度的素数等差数列（现称格林―陶定理），其主要研究方向是调和分析（谐波分析）、偏微分方程、组合数学、解析数论、堆垒数论（又称加性数论）和表示论（抽象代数的一个分支）等。阿贝尔奖的历史很短，至今尚无华裔获奖者的身影。 早在1961年陆家羲大学毕业后不久，他就基本上解决了柯克曼三元系RB[v，3，1]的存在性问题，最迟到1965年他又攻克了柯克曼四元系RB[v，4，1]的存在性问题，因知音难觅和投稿无门，他的这两项成就长期被埋没以致于它们都没能取得“出生证”。当时国际数学界的氛围很好，推翻正交拉丁方中的欧拉方阵猜想的光辉事迹曾荣登1959年4月26日美国《纽约时报》（New York Times）》头版，此事轰动一时并成为科学史上的一段佳话。陆家羲当年不足30岁，其出色成就若能及时得到学术界的承认（即便是能有机会以民间或自费出刊的方式得以发表，那也将是一件功德无量的幸事），他将是菲尔兹奖以及其他世界级数学大奖的有力争夺者，其美好前程和对组合数学的贡献将难以估量。
三、数学的魅力
在那遥远的2400年以前，传说柏拉图学院（Plato academy，公元前387年创建于雅典）的门楣上就赫然铭刻着一个警句：“不习几何学者免入”，当时的几何学（数学中最古老的一个分支）就是数学的代称。古希腊（800？ BC―146 BC）的文明，与她当时拥有众多诸如泰勒斯（624？ BC―546？ BC，古希腊七贤之一，科学和哲学之祖，西方哲学之父，论证数学之父）、毕达哥拉斯（572？ BC―497？ BC，数论始祖，创立毕达哥拉斯学派）、柏拉图（428？ BC―348？ BC，使唯心论哲学体系化的第一人，创立柏拉图学派）、亚里士多德（384？ BC―322？ BC，西方逻辑学之父，经院哲学的奠基者，创立亚里士多德学派，恩格斯称他为“最博学的人”）、欧几里得（325？ BC―265？ BC，几何学集大成者，平面几何学之父）、阿基米德（287？ BC―212？ BC，力学之父，数学之神，与英国牛顿、瑞士欧拉和德国高斯并称为世界数学家四杰）和阿波罗尼奥斯（Apollonius， 262？ BC―190？ BC，圆锥曲线之父，著有经典几何学巨著《圆锥曲线论》8卷，与欧几里得和阿基米德并称为古希腊亚历山大前期三大数学家）等数学巨匠是不无关系的[14]。毕达哥拉斯认为“数统治着宇宙”，他是西方最早提出勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）的人，曾利用数学研究乐律中的自然律，指出弦长的比数愈简单则其音愈和谐，初步探讨了美与数的关系，由此而产生的“和谐”概念对以后古希腊的哲学家有重大影响。欧氏的《几何原本》（其版本之多仅次于《圣经》）是世界上最早的公理化体系著作，它传世不衰，对数学发展的影响非他书所能及。德国数学家和天文学家开普勒（Johannes Kepler，1571.12.27-1630.11.15）称黄金分割[ 在和谐比例中最负盛名，象征黄金分割的五角星在欧洲是一种巫术的标志]和勾股定理为古希腊欧氏几何学的两颗明珠[15]。
和谐美是美的最高境界。早在古希腊时期，著名哲学家赫拉克利特（第一个提出认识论的哲学家，535？ BC―475？ BC）就说过“美在和谐”。可见，和谐美是一个极古老而又至今依然熠熠生辉的美学命题。开普勒的基本哲学是“和谐世界”，他坚信宇宙具有最和谐的几何结构，行星运动遵循最和谐的音乐旋律。他从天球的和谐乐章中发现了著名的行星运动三定律[前两个定律公布于1609年出版的《新天文学（New Astronomy）》专著中，后一个定律则公布于1619年出版的《宇宙和谐论（Harmony of the Worlds）》一书中]，它是物理学的一块基石，促使牛顿建立起经典力学和万有引力理论。
说过“知识就是力量”这种“千古绝唱”的英国哲学家和科学家弗兰西斯·培根（Francis Bacon，1561.01.22―1626.04.09）对数学的评价是“数学使人精细”和“数学是打开科学大门的钥匙”。科学巨人伯特兰·罗素（1872―1970）多才多艺，集哲学家（思想家）、科学家（逻辑学家和数学家）、历史学家、社会学家（社会评论家）、社会活动家和文学家于一身，被称为“半个哲学家和半个数学家”，1950年他荣获诺贝尔文学奖之前竟然从未专门写过文学作品[其获奖作品《婚姻与道德》（1929年）是社会学著作]，且首次被提名就获奖（这种情况是诺贝尔文学奖历史上的第10次。因他是当时世界和平运动的倡导者和组织者，还曾获诺贝尔和平奖提名），看来诺贝尔文学奖的评委们也被他哲学思想的深邃和数学成就的超众所折服。著名的“罗素悖论”及解决这个问题的“类型论”对20世纪的数学基础研究产生过重大影响。罗素及其老师怀特海（Alfred North Whitehead，1861.02.15―1947.12.30）合著的巨著3卷本《数学原理》（1910―1913）对逻辑学、数学、集合论、语言学和分析哲学产生过积极而深远的影响。因此，罗素曾饱含深情地说：“数学，如果正确地看待它，不仅拥有真理，而且具有至高无上的美，正如雕刻的美，是一种冷峻而严肃的美，这种美虽然没有绘画或音乐的那些华丽装饰，但它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境界”。法国数学家和物理学家傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768.03.21―1830.05.16）的《热的解析理论》（1822年，开创性地用数学方法研究热传导理论并首创傅立叶三角级数）以简洁、和谐与美而被英国物理学家和数学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831.06.13―1879.11.05）赞誉为“一首美妙的数学诗”。美国数学史家克莱因（Morris Kline，1908.05.01―1992.06.10）曾这样形象地描述过数学的魅力：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，但数学却能提供以上的一切，给人以快乐”。
“数学乃科学之皇后，数论乃数学之皇冠”，这是德国数学家（数学王子）和物理学家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777.04.30―1855.02.23）的名言。数论是中国人民擅长的传统学科。陈景润（1933.05.22―1996.03.19）沉醉于哥德巴赫猜想的研究，他证明的（1+2）离数论“皇冠上的明珠”只有一步之遥。著名诗人和作家徐迟（原名徐商寿，1914.10.15―1996.12.13）以此为素材创作了充满激情和诗意的、具有里程碑意义的报告文学《哥德巴赫猜想》[16]，它在特定的历史条件下曾激荡着无数热爱科学的中国人的心，影响深远而巨大。 我爱数学，它以严谨、缜密与和谐而深深地吸引着我。笔者在独立地推导估计总体标准差用彼得斯公式法和狭义较差法的标准差系数公式时就深刻地品味到数学之美[17-18]。数学是一门博大精深的艺术，许多人为能无私地为它奉献终生而感到骄傲和自豪。在短暂、美好和值得回忆的两年高中学习年代，笔者就有幸遇到过这样一位酷爱数学并自愿为其奉献终生的人，他就是我的高二物理老师──组合数学家陆家羲。他出生于上海市一个普通市民家庭，家境贫寒，父亲早逝，1949年初中毕业后就因家贫而辍学。1951年11月他远走他乡，到东北工作后为了继续深造，他通过努力自学，毅然舍弃当时月薪已64元的高薪，于1957年秋从哈尔滨电机厂弃职考入东北师范大学物理系，刚走进大学校门的陆家羲就已被《数学方法趣引》（孙泽瀛著）中介绍的“寇克满女生问题（1850年）”所深深吸引，从此他就把毕生精力和心血都投入到了组合数学前沿的研究之中。1961年夏他走出大学校门后不久就基本攻克了广义柯克曼女生问题（即RB[v，3，1]的存在性问题），并于1965年把它推广到四元组（即RB[v，4，1]的存在性问题），但都未能得到应有的承认。直至10年后的1971年，美国俄亥俄州立大学博士生威尔逊（美国人）及其导师印度裔数学家雷—乔得赫里（1933―）才合作得出相同的结论，抢了个不该得的“头功”。推广到四元组的结论国外也已于1972年获得解决。我们不幸的陆老师直到1979年4月才从借阅到的美国《组合论杂志（A辑）》中获知这些不幸的消息。十分难能可贵的是，痛心疾首的他并未因此停下研究的脚步来埋怨命运多舛和社会的不公，而是重新扬起理想的风帆，继续追寻着数学之美，向着更高更美的数学高峰发起冲击。在极短的时间内（仅用时3个多月），在不晚于1979年10月他就利用独创的数学方法，鬼斧神工、奇迹般娴熟地解决了组合数学界的世界著名难题──不相交斯坦纳三元系大集LSTS（v）的存在性问题（正式公开发表于1983―1984年）。他取得的这个重大突破迅速震惊了世界组合数学界，并很快就得到了国际上同行的高度评价和承认。只可惜陆老师因劳累过度、悲喜交加、心力交瘁，在事业正辉煌和正当英年时竟躺下休息了，永远地休息了……
陆家羲老师历尽艰辛而取得的研究成果刚刚得到国内外的认可，他就因积劳成疾而猝然英年早逝，中断了他对区组设计更深入的研究，人们也还来不及更多更全面地了解他，况且他逝世后的宣传范围很窄，故其人、其事、其成果鲜为人知。
陆家羲老师的感人事迹和卓越成就是远非我这支拙笔所能描绘的。由于他是自治区重点中学毕业班的骨干物理教师，业余时间甚少，他工作上任劳任怨，从未因自己的数学研究而耽搁本职工作，对待教学精益求精，故他日记中最多的一个字就是“夜”：“夜工作”、“夜补课”、“夜写论文”、“夜思考Bays猜想”、“夜打英文稿”……。诚如鲁迅先生所云：“哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的”。可以告慰陆老师的是，他的研究成果“关于不相交Steiner三元系大集的研究”荣获1987年度国家自然科学奖一等奖。一个名不见经传的普通中学物理老师能获如此殊荣，这一奇迹的创造应该是空前绝后的。某些数学专家曾形象地指出：陆家羲与陈景润主攻的都是世界著名的数学难题，显示了中华民族的数学智慧。陈景润是在前人确定了主攻方向，顽强拼搏，奋勇攀登，终于领先而逼近峰巅的。而陆家羲则不然，他是100多年来别人在摸索前进、路径尚未选好的情况下，独辟蹊径并独占鳌头的。陆老师所研究的深奥的组合数学虽然我知之不多，但我钦佩他的精神和人品。他所取得的数学成就是难以逾越的，实际上他对数学的贡献毫不逊色于陈景润。从纯粹的数学观点来看，陆家羲所取得的数学成就实际上是超越陈景润的（在互联网上的20世纪全世界数学家综合排行榜中，陆家羲的排名亦位于陈景润之前）。即便是各自的逸事，说句轻松俏皮的话：陆老师沉思问题时骑着自行车在包九中校园内径直撞向联合器械的铸铁架与“陈景润撞树”的佳话也可相提媲美，并不“逊色”。当时他昏厥在地，头破血流，我们学生们把他送往医务室医治的情景仍历历在目。遗憾的是陆家羲老师的知名度仍远不如陈景润。
陆家羲有一次曾对亲友说，自己真正喜爱的是物理学，乐意把它作为终生专业，但搞物理学研究需要的物质条件太多，在当时的环境条件下他就只能研究数学了，因为它只需要纸和笔。陆家羲仅凭借纸和笔，靠着大脑演绎着复杂的推理和海量的逻辑，长期在极其窘困的科研和生活条件下单枪匹马地在组合设计前沿呕心沥血地奋力拼搏并取得卓越成就。可以设想，陆家羲若能有机会在较好的科研和生活环境条件下，利用电脑软硬件等先进技术和手段，并与同行进行学术和情报交流，假以时日他必将取得更多更大的惊人成就。中外两位著名天体物理学家方励之（1936.02.12―2012.04.06）前院士[方励之院士1981年当选，1989年纯粹因政治原因被除名，被誉为“中国的萨哈罗夫（前苏联氢弹之父和著名持不同政见者，1975年诺贝尔和平奖得主）”；陈敏恒院士1991年当选，2000年主要因政治原因被除名。他俩是中国科学院历史上迄今仅有的2位被除名的院士]的《物理学和美》[19]以及美籍印度裔钱德拉塞卡（Subrahmanyan Chandrasekhar，1910.10.19-1995.08.21，1983年诺贝尔物理学奖得主[20]）的《美和追求科学美》（美国著名物理科普杂志《今日物理》破例于1979年和2010年先后两次登载此文）[21]都是我所推崇和欣赏的美文，探讨科学与美的关系以及挖掘科学中所蕴涵的美学思想应是科学家们的本职工作和责任。1954年物理学家杨振宁（1957年诺贝尔物理学奖得主[22]）和美国物理学家密尔斯（Robert Lee Mills，1927.04.15―1999.10.27）首创杨─密尔斯规范场理论（它与相对论和量子力学并称为现代物理学的三大支柱），广义相对论、热力学和经典力学的数学框架分别是黎曼几何、外微分形式和辛几何，规范场论的数学框架则是微分几何学中的纤维丛（其概念与拓扑学密切相关）上的联络，这正展现出物理学和数学密切结合的新前景。 古老的数学难题曾深深地吸引着世上众多的数学才子。数学巨人欧拉（Leonhard Euler，1707.04.15―1783.09.18）即使在双目失明后也摆脱不了数学魅力的诱惑，坚持口述写作，在全盲的17年间完成几部专著和400余篇具有独创性的高质量数学论文。长期以来，欧拉保持着最多产数学家的荣誉称号（他一生共发表32部著作和865篇数学论文，瑞士科学院欧拉委员会从1911年开始出版《欧拉全集》，现已达74卷），此纪录直到20世纪才被数学奇才、匈牙利犹太数学家埃尔德什（Paul Erd?s，1913.03.26―1996.09.20）所打破，后者一生共撰写出32部著作和1525篇数学论文，且曾与511位不同学者合著过[1938年和1947年他分别与中国数学家柯召和钟开莱（1917―2009）合著过论文]，是至今世界上发表专业论文数量最多的数学家，他与数学大师陈省身分享1983―1984年度沃尔夫数学奖。埃尔德什是匈牙利的“国宝”，他挚爱数学，毕生痴迷于数学研究，没有固定职业，终生未婚，过着“处处无家处处家”的漂泊浪迹生活，是国际数学界著名的“三无人员（一无财产、二无妻小、三无固定居所）”。这位“数字情种”曾深情地说：“我知道数字是美的。要是数字不美的话，那就没有什么是美的了”。
随着科学技术的发展，现代数学也焕发了青春，陆续诞生了许多新的分支。美国加利福尼亚大学伯克利分校（UCB）数学家、电气工程师和人工智能控制专家扎德（Lotfali Askar Zadeh，1921.02.04―，模糊数学之父）教授于1965年创立的模糊数学（Fuzzy mathematics）[23]就是其中最年轻者之一。模糊数学已渗透到许多科技和日常生活领域，在自动控制领域亦大显身手。模糊集合和模糊逻辑适应了研究复杂专家系统的需要，是现仍处于研制阶段的第五代计算机─多值计算机（即人工智能化生物量子计算机）的理论基础。
四、结束语
中国组合数学八大家（又称中国离散数学八大家）依次是陆家羲、朱烈（1943年2月出生于江苏苏州）、陈永川（1964年3月出生于四川南充）、靳蕃（字君宣，1934.10.09―）、徐利治（原名泉涌，人称“徐天真”，1920.09.23―）、柯召院士（字惠棠，1910.04.12―2002.11.08）、孙智伟（1965.10.16―）和范更华（1957年2月出生于福建福鼎），在中国组合数学家TOP8排行榜中陆家羲雄踞榜首，是当之无愧的№. 1。
数学的魅力无穷，历经磨难而达到顶峰者是世界上最幸福的人，因为他们欣赏到了数学最高境界的美[24-31]。笔者全家怀着无比崇敬的心情撰写出此文，谨此深切缅怀和纪念我们所尊敬的陆家羲老师逝世30周年！我们一致认为，能有机会再次向广大读者推介陆家羲老师是一件很有意义和享受的事情。
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[作者简介] 朱安远（1964―），男，湖南邵东县人，工学学士（工业电气自动化专业），高级工程师，高级销售经理，现任北京金自天正智能控制股份有限公司市场营销部副部长兼华东区区域经理，主要从事工业自动化（尤其是冶金自动化三电系统）领域的市场营销和应用工作。涉猎领域广泛，近期四大研究主题：低压变流器电流过载能力指标（关注此事始于1999年。基于低压交直流变流器，首创电流过载能力指标四要素学说和等效电流系数学说，首开系统性研究电流过载能力指标之先河）、诺贝尔奖获奖者（喜好此事源自1981年）、总体标准差的统计估计方法（研究兴趣来自笔者1987年对此事的系统性归纳和总结）、陆家羲及组合数学（热心于此事肇始于陆老师的忌年和陆家羲悲喜交加年―1983年）。业余爱好：数学，自称诺迷（类似于球迷、邮迷、歌迷或影迷，酷爱研究诺贝尔奖得主且乐此不疲），倡议在国际上创建诺学（类似于中国的红学）。E-mail：1461877797@qq.com。郭华珍（1964―），女，湖南冷水江市人，临床医学硕士（康复医学与理疗学专业），副主任医师，主要研究方向：脑损伤患者的认知障碍评定与康复。朱婧姝（1996―），女，北京市丰台区人，北京师范大学附属实验中学高二 （8）班（理科实验班）学生。
柯克曼女生散步问题(六)
帕洛阿尔托青少年自杀怪圈
美国加州帕洛阿尔托市的两所公立高中――帕洛阿尔托高中和甘恩高中10年来的自杀率比美国人口总自杀率还要高上四五倍。为什么那么多前程似锦的孩子在帕洛阿尔托轻生？精英文化为什么让孩子们如此不堪重负？ 远处传来�O�O�@�@的声音，接着是杂乱的脚步声。孩子们放学了。他们像往常一样经过道口，等待加州列车通过。
红灯闪烁几次，闸口打开，孩子们陆续通过：有骑车的，有滑滑板的，有步行的。那天是帕洛阿尔托再寻常不过的一天。
在这座城市的很多地方，你都可以听到火车通过时的警笛声：在帕洛阿尔托高中的空地上，在小餐馆的桌边，在孩子们的卧室。
卡梅隆之死
在排练厅中，几个学生正在准备着排球队每年例行的活动。而甘恩高中其他的教室里，1900个学生正在准备上课。阿丽莎也回到了自己的座位上。那是2014年11月4日，学生们刚刚返校，还有一个月就要开始大学申请了，学生们焦头烂额。
老师拿着一张纸进来，读了一位同学的声明，昨夜他自杀了，声明的结尾是同学们再熟悉不过的名字：卡梅隆・李。阿丽莎的第一反应是：学校还有另外一个叫卡梅隆・李的人吗？因为在她的印象中，卡梅隆是个热爱运动，很受欢迎，从不为作业发愁的人，他有时爱搞恶作剧，故意把别人书包里的东西倒出来。
艾利克斯・吉尔那天迟到了，他看见同学们在走廊上哭泣。丹尼斯・赫尔曼校长告诉了他卡梅隆自杀的消息，因为校长知道他是卡梅隆最好的朋友。听到这个消息，他不禁崩溃到双膝跪地。他回想起卡梅隆自杀前夜给他发的短信。卡梅隆参加了大学篮球队的选拔，但是体检没有达到要求，所以问他第二天是不是应该去看医生。也就是说，卡梅隆发完短信几个小时后就自杀了。
塔恩・威尔逊老师在她的创造性写作课上问，有多少人是卡梅隆的好朋友，全班有三分之一的人举手。她又问，有多少人曾和他一起上过课，所有人都举手了。她说孩子们总是“又傻又欢乐”，这时，全班都静默了。
11月4日，学校所在区的督学格伦・迈吉打电话给区里另外一所公立高中帕洛阿尔托高中的校长金姆・迪奥瑞奥说：“他的自杀对每个学生的打击都很大。”迈吉是新来的督学，但是他上任前就已经知道学生自杀的问题了，帕洛阿尔托市的两所公立高中――帕洛阿尔托高中和甘恩高中10年来的自杀率比美国人口总自杀率还要高上四五倍。
2009年春季以后的9个月里，3个来自甘恩高中的学生自杀了，一个高一学生和一个刚毕业的学生卧轨自杀，另外一个刚毕业的学生上吊自杀。虽然此后的几年事态略微平息，但情况依然不乐观。甘恩高中心理健康项目的监督者罗尼・吉尔逊说，学校的心理老师一直疲于关注那些“高危”学生。据调查，2013-2014学年度，帕洛阿尔托高中12%的学生曾想过自杀。迈吉上任的第3个月，卡梅隆自杀前3个星期，市里一所私立学校的女生从天桥上跳下自杀，一天后，甘恩高中的毕业生圭恩・金斯卧轨自杀。还没到2015年的感恩节，甘恩高中又有两个学生自杀。
在时间上连续、空间上接近的自杀群体对社交关系中的其他自杀者有较多认同感。迈吉和其他管理者担心学生得知卡梅隆自杀的细节后，过于认同他的处境，从而产生自杀念头。卡梅隆打了好几年篮球，认识城市里其他公立高中的学生，他的妹妹在读初中。他似乎有很多朋友，但是心中仍有不少郁结。迪奥瑞奥2009-2010年任帕洛阿尔托高中的升学指导处主任，那时正是帕洛阿尔托市学生自杀的高峰时期，但与以往不同的是，这次是智能手机和社交媒体推动了群体的自杀行为。学生们一整天都在刷新各类社交媒体，他们得知又有同学卧轨自杀了。那天，就像往常一样，每20分钟，教室里就能听到火车经过的声音。有个学生说，火车经过时的警笛声就像饥饿游戏里的机关炮一样，每响一次，就有一个人死去。
悼念会结束后，人们聚集在卡梅隆家，卡梅隆的父亲给大家念了卡梅隆的遗书。他在遗书中解释，他的死无关于学校、朋友和家庭。遗书中没有说明他自杀的原因。同学们唯一察觉到的异常情况就是，卡梅隆好像从没睡过觉。
艾利克斯・吉尔说，如果你周六凌晨3点想要约人去酒吧，那你应该可以约到他。就算是平时上学的日子，你也常常可以看到他凌晨在社交媒体上更新动态。有一次艾利克斯问卡梅隆为什么熬夜，卡梅隆的解释是在做功课。如果是别人这么说，艾利克斯会相信，毕竟升学压力大，但是卡梅隆这样解释，他不相信。他和卡梅隆幼儿园时就是朋友，“他很善于管理时间，是个优等生，从来没有发愁过功课，那些功课对他来说太容易了。”
哈利・李之死
经过帕洛阿尔托的火车成了青少年自杀的工具，它时不时就会让人想起那些自杀者。
卡梅隆・李自杀后3个月，甘恩高中的哈利・李跳楼自杀了。他并不认识卡梅隆。他的自杀让人匪夷所思。
甘恩中学的升学率在全美位列前茅，每年都有20多个学生进入距学校不远的斯坦福，四分之一的学生得到加州大学的录取通知，竞争力可见一斑。
史蒂夫・乔布斯原来的住宅就位于帕洛阿尔托市。中国学生的父母攒下血汗钱在那里买房子，让孩子在那里的高中就读，只为他们能有个更好的前程。
精英父母所期待的一所好高中所应有的特点，甘恩高中全部都具备。
那么家长们把孩子送到精英高中，以高压式的教育方法灌输给孩子争强好胜的心理，真的有利于孩子的成长么？只有在大学先修课程中获得优秀成绩，或者拿到傲人的奖杯，才能得到父母的爱么？也许这并非父母们的初衷，但是孩子们却是如此认为的，“我们爱爸爸妈妈，但他们的爱太沉重了。”
上个世纪90年代末，耶鲁大学精神病学系助理教授苏尼娅・卢瑟在唐涅狄格州的一所市区学校做调查研究。她想知道学生的不良行为是否与贫困或是青春期这一特殊的人生阶段有关联。要做这个调查，还需要找到另一所学校当作参照。她选定了一所位于郊区的学校，那所学校比她所调查的市区学校收费更高。调查结果与她的设想不同。在收费更高的郊区学校，抽烟、酗酒、吸毒，患有严重焦虑症和抑郁症的学生比例更高。她决定继续调查，找出富裕家庭的孩子更容易有不良行为的原因。 我去年3月给卢瑟打电话，询问她的研究进展。她当时已经是亚利桑那州立大学的教授了，正准备飞往帕洛阿尔托市参加一个关于青少年自杀行为的会议。该会议由斯坦福大学精神病学系负责主持，当时他们很急切地开展这个会议，因为又有一个学生自杀了。自杀者拜伦・朱是当月第5个自杀的学生，在帕洛阿尔托高中读二年级，15岁。自杀当天清晨，他走到了北行列车的铁轨上，卧轨自杀。孩子们骑车上学时，警察依然在现场处理事故。校长冲到现场，要求警察封路，这样其他学生就看不到那个惨烈的现场了。
苏尼娅・卢瑟的研究
卢瑟从学校所在区提供的数据中发现，该区家庭年收入的中位数是20万美元，私立学校的学费大约每年3万美元。研究发现，学生出现不良行为的比例与家庭收入之间的关系呈现U型曲线：在U型曲线的两端――非常贫穷和非常富有――孩子们出现不良行为的比例较高。表面来看，富裕家庭的孩子生活无忧，他们家里有车，有漂亮衣服，成绩又好，医疗条件好，看起来前途无量。但是很多富裕家庭的子女成长过程并不顺利。
总体来说，富裕家庭的子女更容易出现酗酒、吸毒等不良嗜好。而贫困家庭的子女则更容易出现暴力、欺骗、偷窃等不良行为。
“我们的假设是，富裕家庭子女因为有钱，有更好的教育条件，因此成长更为顺利。”卢瑟说。但实际上“精英文化”对孩子们的影响非常大。这并不是说富裕家庭子女更有可能自杀，但是关于青少年自杀行为的研究表明，他们中的很多人都存在着极大的心理问题。
卢瑟发现，造成富裕家庭子女苦恼的两大原因之一是“在学术成绩和课外活动上表现优秀的压力”。她让学生们勾选家长们最希望他们做到的5件事，列表中有10个选项。位列前3名的选项均与个人成就有关（“上个好大学”、“挣很多钱”、“学习成绩优异”）。而位列后3名的选项则与个人品质有关（“做个诚实的人”、“善待他人”、“乐观生活”）。卢瑟说，当孩子们设定过多关于个人成绩的目标时，那么他们的苦恼也会更多。
精英人群的子女对个人价值的肯定更多关系到他们实现的成就。他们会为取得某项成就而不惜代价。卢瑟把这种现象表示为“我能做到，所以我必须做到”。而中产阶级家庭一般不期待子女必须去斯坦福或每年赚20万美元。他们会说：“如果我从没到达过月球，那么我为什么要让孩子们去那里呢？”
他们苦恼的第二个原因则是在家庭中的孤立感。家长们也许能够为孩子提供必要的生活条件，但是他们却在情感上忽视了孩子。卢瑟发现，富裕家庭中，认为父母与自己无论在情感上，还是物理距离上，都更疏远的孩子较之贫困家庭比例更多。
卢瑟调查时所应用的问题，有些是客观的，例如：家人是否共进晚餐或一起散步？她发现，很多忙碌的父母让孩子们晚上自己待在家里，很少和孩子们共度晚餐时间。还有一些测试是主观的，例如询问被测者是否同意以下说法：“我爸爸理解我”或“我妈妈能察觉到我的焦虑”。这时，卢瑟又发现了一个现象：孩子们知道父母关心他们做了哪些活动，时间都用在哪里，但是他们没有把这种关心当作与父母的情感联系。很多孩子为了家长设定的某个特定目标而努力。当他们表现优异时，父母会热情鼓励，而当他们表现一般时，父母就会失望。久而久之，孩子们开始隐藏自己的失败――无论是实际的失败，还是他们想象中的失败――因为他们害怕让父母失望。另一个研究表明，与父母的亲近感和家庭收入呈负相关，也就是说，家庭收入越高的孩子，心理上和父母就越疏远。“难以置信，”卢瑟说，“我们用以参照的研究对象是一些经济状况不佳的父母――包括很多依靠福利生活的单亲妈妈，我们以为收入少会影响他们对子女的养育。然而很多富裕家庭的子女却说他们与父母的亲密程度不如贫困家庭的子女。”
亚裔父母的精英观
自杀悲剧并没有让学生们更团结，有时还会加深他们之间的裂痕。拜伦・朱死后的第二天，帕洛阿尔托高中的高年级学生安德鲁・卢在他的博客上发表了一张图表，下方的标签是“帕洛阿尔托”、“男生”和“亚洲人”。“图表上显示，亚洲，尤其是中国男生（不就说的是我么）更容易产生自杀想法”，他写道。上一学年中自杀的3个男生都有亚洲血统。
安德鲁・卢的博文一石激起千层浪，引起了不少评论。有人评论说，“虎妈”给孩子营造了一个充满激烈竞争的成长环境，孩子们为了做父母心中的“好孩子”而压力重重。还有人说，有的亚洲孩子因为得了B而被体罚，家长让他站在门外一晚上。就好像输掉了一次考试就输掉了整个人生。甘恩高中有40%的亚裔学生。一些非亚裔父母，尤其是原本在亚裔人口很少的城市长大的父母，也被这样的毒文化所侵蚀。
沉痛的反思
过去几年，人们对青少年自杀的话题讳莫如深，他们不想唤起自己痛苦的回忆。而现在人们开始反思这个问题。我拜访了赵，她毕业于帕洛阿尔托高中。2002年，她试图自杀，那年她上高一。现在，她与男友共同租住的公寓布置得非常精致：朋友送给她的家具、装饰用的地毯、整洁的卫生间。她正走向新的人生，似乎没有什么理由再去回忆过去。但是当她的朋友问她想不想和我聊聊的时候，赵认为很有必要向我阐述过去发生在她身上的事情。
小时候，赵和家人生活在美国索诺玛县，她说那时的生活就如田园牧歌。平时下午，她会和弟弟在野外玩耍。1998年，科技产业大发展的时期，她父亲在硅谷找了一份工作。她的父母选择生活在帕洛阿尔托市，是因为那里比索诺玛县更城市化，也因为那里的学校更好。有一次，赵和妈妈说，她的同学每次得A，都能得到父母20美元的奖励。赵的妈妈说，“我为什么要奖励你呢？这是你应该做到的。”
“我觉得妈妈不算家长中过于严厉的那种。”赵说。但是家里还是有很多不成文的规矩，比如：必须做完作业再玩，必须汇报每天的学习情况。赵的妈妈做兼职工作，每天都来接她放学。她的妈妈好像永远都知道她接下来哪一科要考试，或者她的成绩有没有下滑。赵每天都和家人共进晚餐。 2001年，她上高一，决定学打水球，因为她游泳不错，曾经当过“水上宝贝”。那年她成为了女童子军成员，学校爵士乐队的长号手，还被选中参加学校组织的历史剧表演，与自己崇拜的老师一起参加活动。水球课程结束后，她又加入了游泳队。接下来的日子里，她疲于游泳训练、乐队排练、女童子军开会。她的父母为她骄傲，但她说自己“累到骨子里了”。她说，“我记得那时候，我变得不会为任何事情感到开心，但我不能停止脚步，也没有地方能让我逃避。”
第一个学期，赵在几何学考试上得了F，她说这件事让她和父母的关系闹僵了，“因为那时候真的很难和父母用礼貌的语气讲话。”她开始害怕游泳训练、乐队排练和女童子军的开会，“但是我并不想成为一名逃兵。”她那时候想，如果她和某个同学吵架闹僵了，或者她有厌食症就好了，这样她就能和父母解释她为什么如此抑郁了。“我那时候已经和父母和老师说，我压力太大了，但是我的父母和老师都没有当回事儿。”她不想请假休息，因为同学们会认为她很懒惰，“但是如果我说自己心理失常呢？这听起来挺严重的，别人应该会理解我了吧。”
2月的一天晚上，她训练完回家，一边洗澡，一边听一首伤感的歌。洗完澡，她从衣柜的深处拿出一瓶艾德维尔药片。“我当时犹豫的唯一原因是，”她对我说，“我怕这样做伤了妈妈的心，虽然我也不清楚她到底会不会伤心。”但是她最后吃了那瓶药。然后她换上卫衣，下楼吃饭。“我们每天晚上都一起吃饭，我没办法逃避。”吃饭时，她的弟弟发现她有些反常，于是她承认自己吃了艾德维尔药片。
“你吃了多少？”她爸爸问。
“不知道。”
她的父母开始找药瓶，找到后，他们发现药瓶已经空了，于是马上开车带她到医院。
她觉得自己是幸运的。她从没有听说过有同学卧轨自杀。“我只知道有人吃药，但是卧轨自杀的事我从没听说过。如果我听说过的话，对于那时已经绝望的我来说，可能也会选择那种方式。”
很多受过良好教育的父母马上撇清自己和“虎妈”之间的关系。以色列本-古里安大学心理学教授阿维・阿索尔说，父母的养育方式影响了孩子们在学校里应对压力的能力。在孩子获得成绩时，表扬他们，看起来无可厚非。但是如果家长仅仅在孩子成功时表扬他们，那么孩子就会认为，父母的爱是以他们取得成绩为条件的。
赵告诉我说，她那次从医院回到家后，感觉自己更有勇气对父母说“不，我做不了这件事”或“不，我不愿意这么做”。而父母好像也更通情达理了。他们告诉她不要轻易放弃一件事，但要明白自己的精力是有限的。她退出了游泳队，并退掉了那个学期的一门课。她问老师，是否需要补她住院期间的功课，老师告诉她没有什么一定要补的作业。“逃兵”这个字眼在她的脑海中浮现又消失。放弃一些事情，总比再次发生悲剧要好。
我拜访金姆・迪奥瑞奥那天，他邀请我参观学校的野外实习日活动。空地上架起了彩虹色的城堡和滑梯。太阳西沉，孩子们赤脚在空地上玩耍，两三个人一起从滑梯上滑下来。音乐的声音盖过了火车呼啸而过的声音。孩子们排成一排，搂着左右同学的腰。“火车！”一个孩子惊叫。于是几个孩子慌作一团，然后又重新排好。也许，帕洛阿尔托的阴影在孩子们心中散去，还需要一些时间。
[译自美国《大西洋月刊》]
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