等差等比数列计算单利复利的题

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等差等比数列计算单利复利的题(一)
等差等比数列经典例题以及详细答案

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

等差等比数列综合应用

二. 重点、难点

1. 等差等比数列综合题

2. 数列与其它章节知识综合 3. 数列应用题

【典型例题】

[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为ad,a,ad

2

(ad)(ad)(a4)∴  2

(ad)(ad32)a222ada8a16(1)∴ 2 22

(ad)32(ad)a(2)

∴ a8a163232da

22

23a4d0代入（1）

1

d28(4d2)16

3

3d232d640 (3d8)(d8)0 826 a 39

21050

∴ 此三数为2、16、18或、、

999

① d8 a10 ② d

q(0,1)，[例2] 等差数列{an}中，a1393，b12，a2a3768，{bn}是等比数列，

{bn}所有项和为20，求：

（1）求an,bn （2）解不等式

am1a2m

160b2

m1

解：（1）∵ 2a13d768 ∴ d6

∴ an6n399 ∴ bn2(

b19

20 q101q

9n1

) 10

1

m(am1a2m)

9

不等式1602

m110

1

m(6m39312m399)1618(m1)

29m2396m1618(m1)0

m212m320

(m4)(m8)0 m{4,5,6,7,8}

[例3] {an}等差，{bn}等比，a1b10，a2b20，a1a2，求证：anbn(n3)

解：a2b2a1da1q ∴ da1(q1)

bnana1qn1a1(n1)da1[(qn11)(n1)(q1)] a1[(q1)(qn2qn31)(n1)(q1)] a1(q1)[(qn21)(n1)]

a1(q1)[(qn21)(qn31)(q1)(11)]*

q(0,1) q10 qn10 ∴ *0 q(1,) q10 qn10 ∴ *0

∴ nN n3时，bnan

[例4] （1）求Tn；（2）SnT1T2Tn，求Sn。

a4a5a6a748a121

解： 

aaa0d29158Tn中共2n1个数，依次成等差数列

T1~Tn1共有数122n22n11项

∴ Tn的第一个为a2n121(2n11)2 ∴ Tn2

n1

(2n23)

1n1

(2)(2n11)2 2

22n1232n122n22n1 322n232n2

SnT1T2Tn

3[(202222n2)(232n2)]

1(14n)23(12n)3[]4n132n324

1412

4n242n23(2n23)(2n1)

a1a2a2n1

t2t2

[例5] 已知二次函数yf(x)在x处取得最小值(t0)，f(1)0

24

（1）求yf(x)的表达式；

nN，（2）若任意实数x都满足等式f(x)g(x)anxbnxn1[g(x)]为多项式，

试用t表示an和bn；

（3）设圆Cn的方程为(xan)2(ybn)2rn2，圆Cn与Cn1外切(n1,2,3,)；

*

{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn,Sn。

t22t2) 解：（1）设f(x)a(x24

2

由f(1)0得a1 ∴ f(x)x(t2)x1

（2）将f(x)(x1)[x(t1)]代入已知得：

(x1)[x(t1)]g(x)anxbnxn1

上式对任意的xR都成立，取x1和xt1分别代入上式得：

anbn11n1

t0a[(t1)1]，且，解得nn1

t(t1)anbn(t1)bn

t1

[1(t1)n] t

（3）由于圆的方程为(xan)2(ybn)2rn2

又由（2）知anbn1，故圆Cn的圆心On在直线xy1上 又圆Cn与圆Cn1相切，故有rnrn1设{rn}的公比为q，则

n1

rnrnq2(t1)1

n2

rn1rn1q2(t1)2

2|an1an|2(t1)n1

r

<2>÷<1>得qn1t1 代入<1>得rn

rn

∴ Sn(rrr)

21

22

2n

2(t1)n1

t2【等差等比数列计算单利复利的题】

r12(q2n1)

q21

2(t1)42n[(t1)1] 3

t(t2)

[例6] 一件家用电器现价2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款多少？（1.0081.1)

分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。

解析一：设每期应付款x元

第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为x(10.008)元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为x(10.008)元，„„，第12期付款没有利息，所以各期付

10

11

12

1.008121

x 款连同利息之和为x(11.0081.008)

1.0081

11

又所购电器的现价及利息之和为20001.008

12

1.008121

x20001.00812 ∴

1.0081161.00812

176元 解得x12

1.0081

∴ 每期应付款176元

解析二：设每期付款x元，则

第1期还款后欠款2000(10.008)x

第2期还款后欠款(20001.008x)1.008x20001.00821.008xx „„

12

第12期还款后欠款为20001.008(1.008111.008101)x

第12期还款后欠款应为0

12∴ 20001.008(1.008111.008101)x0

20001.00812解得x176元 12

1.00811.0081

∴ 每期应还款176元

[例7] 设数列{an}的各项都是正数，且对任意nN都有

333a1a2an(a1a2an)2，记Sn为数列{an}的前n项和。

2

（1）求证：an2Snan；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）若bn3n(1)n12a，（为非零常数，nN），问是否存在整数，使得对任意nN都有bn1bn。

32解：（1）在已知式中，当n1时，a1a1

∵ a10 ∴ a11

33332

当n2时，a1a2an1an(a1a2an1an) ① 3332

② a1a2an(aaa)112n1

等差等比数列计算单利复利的题(二)
单利复利练习题

1.某企业持有一张带息商业汇票,面值1000,票面利率5%,期限90天,则到期利息与到期值分别为多少？

2. 某企业持有一张带息的商业汇票,面额为5000元,票面利率（年利率）为6%,3个月到期,计算票据到期时可得到的利息额。

3.某企业将现金10000元存入银行，期限为5年，年利率为10%。计算该企业存款到期时将得到的本利和（按单利利息）。

4.某公司经研究决定向银行存入现金80000元，拟在8年后用于更新设备，银行存款年利率为8%，每年复利一次。

（1）计算该公司8年后能从银行取得多少钱用来更新设备；（2）计算该公司8年后能取得的利息。

5.某公司董事会经研究决定6年后用150000元购买一套设备，当前银行存款年利率为9%，每年复利一次。计算该公司为在6年后购买该套设备现在需要一次存入银行的款项。

6.某公司有一项基建工程，分5年投资，每年投入200000元，预计5年后竣工交付使用。该项目投资来源于银行借款，借款年利率为10%，计算该公司该投资项目建成时的投资总额。

7.某公司董事会经研究决定自今年起建立偿债基金，用以偿还第6年年初到期的1600000元债务，在今后5年中，每年年末向银行存入等额款项，银行存款年利率为8%，每年复利一次。计算该公司每年年末所需要存入的等额款项。

8.某公司准备对一项目进行投资，在今后6年中每年年末投资150000元，假设银行存款年利率为7%，每年复利一次。计算为能满足今后

各年等额投资的需要，该公司现在存入银行的款项。

9.某企业准备购置一项设备，连续5年于每年年初向银行存入120000元，银行存款利率为8%，每年复利一次。计算该企业在第五年年末能取出的本利和。

10.某公司为了满足生产的需要从某单位购置一项专利技术，拟在4年中每年年初向对方支付50000元，年利率为10%，每年复利一次。计算该公司4年中所付款项的现值。

11.安盛公司职工张某准备购买一套公寓住房，总计价款为800000元，如果首付20%，余款按年平均支付，年利率为8%，每年复利一次，银行提供15年按揭贷款。（1）计算该职工每年应还的住房贷款（2）计算每月应还的住房贷款。

12.林洋先生欲购买一处商品房，如果购买时一次付清房款，需支付50万元；如果分期支付房款，年利率为6%，每年年末支付50000元，且要连续支付20年。假设林洋先生有足够资金一次性付清房款。计算分期付款的现值，并分析选择哪种付款方式对购房者更有利。

13.某公司年初从银行借款106700元，借款的年利率为10%，每年复利一次，在借款合同中，银行要求改公司每年年末还款20000元，计算该公司需要几年才能还请借款本息。

14.某公司需要向银行借款2000000元，年利率为9%，投资一个项目，该项目两年建成，每年年初借款1000000元，按年金计算项目建成时的本利和。

15.某企业需要一台设备，买价为150000元，使用期限为10年，如

果租用，则每年年初需付租金20000元，除此之外，买与租的其他情况均相同，假设年利率为9%，计算分析购买设备与租用设备哪个方案对企业更为有利。

16.某单位职工张华向银行存款50000元，年利率为7%，准备在5年后取出，（1）按单利计算5年后可得到的现金。（2）按复利计算5年后可得到的现金。

等差等比数列计算单利复利的题(三)
等差数列和等比数列的解题技巧

数列的解题技巧

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

【命题趋向】

从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：

1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.

2.数列中与之间的互化关系也是高考的一个热点.【等差等比数列计算单利复利的题】

3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.

4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意：

1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.

2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、（或），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

3.分类讨论的思想在本章尤为突出.

学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意和两种情况等等.

与的转化；将一些数列 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.

5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.

7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.

【考点透视】

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解

决简单的问题.

4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.

【例题解析】

考点一：正确理解和运用数列的概念与通项公式

理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.

1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，„堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球， 以表示第n堆的乒乓球总数，则____________；____________（答案用n表示）.

„„

思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1，3,6,10, „，推测出第n层的球数。

解答过程：显然.

第n

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