高一数学例题精选30道

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高中数学经典50题(附答案)
高一数学例题精选30道(篇一)

高中数学题库

1. 求下列函数的值域：

解法2 令t＝sinx，则f(t)＝－t＋t＋1，∵ |sinx|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．

2

本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离

地球相距m万千米和

4

m万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3



2

和



3

，求该慧星与地球的最近距离。

x2y2

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F(c,0)处，椭圆的方程为221

ab

（图见教材P132页例1）。



时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只3

12

能满足xFA(或xFA/)。作ABOx于B，则FBFAm

3323

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

ca2

m(c)ac

故由椭圆第二定义可知得

2

4mc(ac2m)ac33

c213m,a2c.代入第一式得m(4cc)c, a322

22cm.accm.

33

2

答：彗星与地球的最近距离为m万千米。

3

两式相减得m

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ac，另一个是ac.

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

3. A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6Km，C在B正北偏西30，相距4Km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1Km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）

解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则



13

B(3,0),A(3,0),C(5,2)，因为PBPC，所以点P在线段BC的垂直平分线上。

因为kBC，BC中点D(4,)，所以直线PD的方程为y3

13

(x4) （1）

又PBPA4,故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设P(x,y)，则双曲线方程为

x2y2

1(x0) （2）。联立（1）（2），得x8,y5， 45

所以P(8,5).因此kPA

53

，故炮击的方位角北偏东30。 83

说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。

4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2

米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？

解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为x2py得P=1.6

2

(p0)。将B（4,-5）代入

x23.2y船两侧与抛物线接触时不能通过

则A(2,yA)，由22=-3.2 yA得yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高0.75米 所以h=︱yA︱+0.75=2米

答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行

[思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．

5. 如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C

上任一点到l2的距离与到点N的距离相等。若AMN为锐角三角形，

AM,AN3,且NB6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。

解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。

设曲线段C的方程为y2px(p0)(xAxxB,y0)，其中xA,xB为A、B的横坐标，pMN，所以M(

2

pp

,0),N(,0)，由AM,AN3，得22

(xA(xA

p2

)2pxA17 （1） 2

4p2

，（1）（2）联立解得xA，代入（1）式，并由p0 )2pxA9 （2）

p2

解得

p4p2p2p

或，因为AMN为锐角三角形，所以xA，故舍去，所

2xA1xA2xA2p4

x1A

以

由点B在曲线段C上，得xBBN

P

4，综上，曲线段C的方程为2

y28x(1x4,y0)

[思维点拔]

本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，

综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

6. 设抛物线y4ax(a0)的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。 （1）求︱AM︱+︱AN︱的值

（2）是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列？若存在，求出a，不存在，说明理由。

解：(1)设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′.

︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a 又圆方程

2

[x(a4)]2y216

将y4ax代入得x2(4a)xa8a0

2

2

2

xMxN24a得︱AM︱+︱AN︱=8

(2)假设存在a

因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱

所以︱AP︱=︱PP′︱ ，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。

2

7. 抛物线y2pxp0上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若AF,MF,BF

成等差数列

（1）求证线段AB的垂直平分线过定点Q

（2）若MF4,OQ6（O为坐标原点），求抛物线的方程。 （3）对于（2）中的抛物线，求△AQB面积的最大值。

解：（1）设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0，则AFx1

pp

，BFx2，22

MFx0

xx2p

，由题意得x01，AB的中点坐标可设为x0,t，其中

22

t

y1y2

， 0（否则AFMFBFp0）

2

y1y2y1y2

1x1x222

y1y22p



2pp

，故AB的垂直平分线为

y1y2t

而kAB

yt

t

xx0，即txx0pyp0，可知其过定点Qx0p,0 p

（2）由MF4,OQ6，得x0

p2

联立解得p4,x02y8x。 4,x0p6，

2

（3）直线AB：yt

2

2

4

x2，代入y28x得y22ty2t2160，t

2

y1y2y1y24y1y2644t，x1x2

2

t22y1y2 16

2

2

t216t2,AB4



x1x22y1y22



12

16t16t

，

1

256t4，又点Q6,0到AB的距离dt22

111

SAQBABd256t416t24096256t216t4t6

244

令

u4096256t216t4t6，则u512t64t36t5，令u0即

512t64t36t50，得t0或t216或t2

161642

，tt3时333

S

AQB

64

9

6。

[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对

定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

8、已知直线l:ytan(x22)交椭圆x9y9于A、B两点，若为l的倾斜角，且AB的长不小于短轴的长，求的取值范围。 解

：

将

2

2{高一数学例题精选30道}.

l

的方程与椭圆方程联立，消去

y

，得

2

(19tan2)x2362tan2x72tan90

6tan26ABtanx2x1tan 22

(19tan)19tan

2

2

由AB2,得tan

2

13,tan， 333

5

, 的取值范围是0,

66

[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l的方程由tan给出，所以可以认定

9、已知抛物线yx与直线yk(x1)相交于A、B两点

2



2

，否则涉及弦长计算时，还要讨论



2

时的情况。

高中数学经典好题
高一数学例题精选30道(篇二)

2012—2013学年枣庄三中高一上学期10月月考

生物试题

考试时间：60分钟

一、单项选择题（每题2分，共60分） 1．地球上最基本的生命系统是

A．细胞 B．组织 C．器官 D．系统

2.下列关于细胞与生命活动的关系的叙述中错误的是 （ ） A、草履虫的生命活动离不开细胞 B、病毒的生命活动可以离开细胞

C、细胞内的生命大分子没有生命 D、单细胞生物的一个细胞就能完成各种生命活动

3.生命活动离不开细胞，不包括下列内容中的

A.膝跳反射的完成是以细胞组成的反射弧为结构基础的 B. 生物与环境的物质和能量交换以细胞代谢为基础 C.遗传和变异以细胞内基因的传递和变化为基础 D.菠菜的单个细胞也能完成各种生命活动

4、在显微镜下观察一滴河水，发现了一些能运动的绿色小颗粒，下列不能作为判断这些小颗 粒是生物的依据是

A．有细胞结构 B．能对外界刺激作出反应 C．体小且绿色 D．能生长繁殖

5．甲型H1N1流感是由甲型H1N1流感病毒引起的，是继SARS、禽流感之后的又一种烈性传染病。截止到2009年10月底，我国大陆地区已确诊病例超过4万例。下面有关甲型H1N1病毒的说法正确的是 A．甲型流感(H1N1)病毒结构简单，仅含有核糖体一种细胞器 B．用牛肉膏蛋白胨培养基可培养甲型H1N1病毒

C．甲型H1N1流感病毒侵入人体后，可以在人体细胞外独立生活 D．病毒不属于生命系统的结构层次

6.下列哪项不属于生命系统 A.一只青蛙 B.青蛙的表皮细胞 C.表皮细胞中的水和蛋白质分子

D.池塘中的水、阳光等环境因素以及生活在池塘中的各种生物

7.从生命系统的结构层次分析，下列叙述正确的是 A.细菌只是细胞层次

B.高等动物和高等植物都具有器官和系统层次

C.构成生命系统的结构具有层次性、复杂性和多样性 D.病毒没有细胞结构，也没有严整结构

8.下列各项组合中，能体现生命系统由简单到复杂的正确层次的是

①核酸 ②肌纤维 ③呼吸道的上皮 ④病毒 ⑤皮肤 ⑥野猪 ⑦同一片森林中的所有野猪 ⑧亚热带常绿阔叶林 ⑨一个池塘中所有鱼类 ⑩一个池塘中所有生物

A．①④②③⑤⑥⑦⑨⑩⑧ B．②③⑤⑥⑦⑩⑧

C．①④③⑤⑥⑦⑧⑨⑩ D．①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

9

甲 10 A．衣藻、真核细胞 B．蓝藻、真核细胞 C．水藻、原核细胞 D．蓝藻、原核细胞

11.成人身体约有1014个细胞。这些细胞大约有200多种不同的类型，根据分化程度的不同， 又可分为600多种。但是都有基本相同的基本结构，这说明 A．人体细胞既有多样性，又有统一性 B．细胞的结构和功能基本相同

C．200多种不同的类型就是200多种不同的组织 D．人体细胞的基本结构与草履虫相同

12.下列生物中，不属于真核生物的是 ①噬菌体 ②蓝藻 ③酵母菌 ④乳酸菌 ⑤支原体 ⑥水绵 ⑦小球藻 ⑧葡萄球菌 ⑨链球菌 ⑩青霉菌 A.①②④⑤⑧⑨ B.①②③④⑦⑨ C.①③④⑤⑧⑩ D.②④⑤⑥⑦⑩

13．下列四组生物中，细胞结构最相似的是

A．变形虫、水绵、香菇 B．蓝藻、灵芝、豌豆

C．小麦、番茄、大豆 D．大肠杆菌、酵母菌、霉菌

14.下列关于细菌的叙述中，不正确的是

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