圆的知识点总结

来源:推荐阅读时间：2016-02-23 13:39:44 阅读：

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第一篇:《圆的知识点总结(史上最全的)》

圆的总结

集合：

圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹：

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线

点与圆的位置关系:

点在圆内 d<r 点C在圆内点在圆上 d=r 点B在圆上点在此圆外 d>r 点A在圆外

直线与圆的位置关系:

直线与圆相离 d>r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点

直线与圆相交 d<r A

圆与圆的位置关系:

外离（图1）无交点外切（图2）相交（图3）内切（图4）内含（图5）无交点图1

图5

图2

垂径定理:

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

 ①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ B C  B D ⑤  AC

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD

B圆的知识点总结。

AD

圆心角定理

圆周角定理

即：∵∠AOB和∠ACB是 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角

∴∠C=∠D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径

即：在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB是直径

推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

即：在△ABC中，∵OC=OA=OB

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相

等。

即：∵MN是切线，AB是弦 ∴∠BAM=∠BCA

圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形

∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C

切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN是切线 ∴MN⊥OA

切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长

相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB

PO平分∠BPA

圆内相交弦定理及其推论：

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P ∴PA·PB=PC·PA

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD

∴ CE2DE2EAEB

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ PA2

PCPB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）即：在⊙O中，∵PB、PE是割线

∴ PCPBPDPE

圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：在Rt△O1O2C中，圆的知识点总结。

AB2CO2

（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和

圆内正多边形的计算（1）正三角形

在⊙O中 △ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1:

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :AE:OA= 1:1:

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA=

1::2

A圆的知识点总结。

弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：

l

nR180

nR

S（2）扇形面积公式：

360



总结归纳：《圆》的知识考点

圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理与判定定理及公式。．．．．．．．．．．一、圆的有关概念 1、圆。•

•动•静（集合）•

•

→封闭曲线围成的图形

2、弦、直径、切线。→直线 3、弧、半圆。 →曲线 4、圆心角、圆周角。

5、三角形的外接圆、外心。 →用到：线段的垂直平分线及性质 6、三角形的内切圆、内心。 →用到：角的平分线及性质二、圆的有关性质（涉及线段相等、角相等，求线、角） 1、圆的对称性。→ 

轴对称中心对称

2、垂径定理及其推论。

3、弧、弦、圆心角之间的关系定理

4、圆周角定理及推论。→同圆、等圆，同弧、等弧，圆周角 5、切线的性质定理。 6、切线长定理。三、判定定理

切线的判定→两种思路：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径四、点、直线、圆与圆的位置关系 1

第二篇:《初中圆知识点总结》

初中圆知识点总结

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

4、同圆或等圆的半径相等

5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

11、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

21、①直线L和⊙O相交 d﹤r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d﹥r

22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

27、圆的外切四边形的两组对边的和相等

28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

35、①两圆外离 d﹥R+r

②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④两圆内切 d=R-r(R﹥r)

⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)

36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

37、定理：把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

38、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

39、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

41、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

42、正三角形面积√3a／4 a表示边长

43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k (n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

44、弧长计算公式：L=n兀R／180

45、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

46、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

第三篇:《中考圆知识点经典总结》

圆知识点学案

考点一、圆的相关概念 1、圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径

经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。（3）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

考点三、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：

过圆心垂直于弦

平分弦知二推三

考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角圆的知识点总结。

顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点七、点和圆的位置关系圆的知识点总结。

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。

考点八、过三点的圆 1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。

考点九、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；

考点十、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中， ∵四边ABCD是内接四边形

∴CBAD180 BD180

DAEC

考点十一、切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

考点十二、切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长

相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB；PO平分BPA

考点十三、圆幂定理

1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， B

∴PAPBPCPD 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径

所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O中，∵直径ABCD， A

∴CE2AEBE

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交

点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线

∴ PA2PCPB

3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。圆的知识点总结。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PCPBPDPE

考点十四、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点

∴O1O2垂直平分AB

考点十五、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：Rt

O1O2C中，AB2CO12

（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和

考点十六、三角形的内切圆和外接圆 1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

考点十七、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r 两圆外切d=R+r

两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切d=R-r（R>r）两圆内含d<R-r（R>r）

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

考点十八、圆内正多边形的计算 1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 3、正三角形

tBO中D进行

：在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在R

OD:BD:O；3: 2

4、正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt

OAE中进行，OE:AE:OA： 5、正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt

OAB中进行，AB:OB:OA2.

考点十九、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心

O正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

考点二十、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

第四篇:《圆的知识点总结》