解三角形高考题

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【一】:解三角形专项题型及高考题

正余弦定理的专项题型

题型1：利用正余弦定理判断三角形形状

两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

例1.在

22中，a,b,c 分别表示三个内角A,B,C的对边， 22如果 (ab)sin(AB)(ab)sin(AB) ，判断三角形的形状．

例2.在△ABC中，已知atanBbtanA，试判断此三角形的形状。

【同类型强化】1.在ABC中,若acosAbcosB,试判断ABC的形状

【同类型强化】2.（2010上海文数）若ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则ABC

（ ）

A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形.

C．一定是钝角三角形. D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

【同类型强化】3．△ABC中，2sinAcosB=sinC，则此三角形的形状是 （ ）

(A)等腰△ (B) 等腰或者直角△ (C)等腰直角△ (D)直角△

题型2：利用正余弦定理求三角形的面积

三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中．

1 22

例3．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足

(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．

例4.(2010·辽宁营口检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 43sin A－cos A＝0，cos B＝5，b＝23.

(1)求sin C的值；(2)求△ABC的面积．

例5.(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝

(1)求sin A的值；(2)设AC＝

【同类型强化】1. 在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c

tanAtanBtanAtanB1 . 3，求△ABC的面积． 7，且23△

ABC，求ab的值．

【同类型强化】2. 在锐角三角形中，边a、b是方

程x220的两根，角A、B满足2sin

AB0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．

【同类型强化】3.（2009湖北卷文）（本小题满分12分） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a2csinA(Ⅰ)确定角C的大小（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为

＋b的值。

【同类型强化】4.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

2 332,求a

A且满足cos， ABAC3． （I）求ABC的面积； （II）若bc6，求a的2值．

【同类型强化】5.（2009北京理）（本小题共13分） 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B



3，

4（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求ABC的面积. cosA,b5

题型3：与三角函数结合的综合问题

三角函数作为联系代数与几何问题的纽带和桥梁，往往出现在综合题中——解三角形就是这样一种常见而又典型的问题，在三角形的三角变换中，正、余弦定理是解题的基础．

例6. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝

sin(B－A)＝cos C. (1)求A，C； (2)若S△ABC＝3＋

，求a，c.

【同类型强化】(2009·山东卷)已知函数f(x)＝2sin xcos2 ＋cos xsin －sin x(0＜＜π)在x＝π处2

取最小值．(1)求的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a＝1，b＝

，f(A)＝

，求角C. 23

题型4：实际问题

例7.(2009·福建厦门调研)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2n mile的C处的缉私船奉命以103n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

例8.要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。

【同类型强化】2.某海轮以30海里∕时的速度航行，在A点测得海平面上油井P在南偏东600，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东300，海轮改为东偏北600在航行80分钟到达C点，求P、C间的距离。

4

解三角形【2011高考题再现】

1.（山东理17）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 （I）求

2.（江苏15）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

（1）若sin(A

3.设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知a1.b2.cosC（Ⅰ）求ABC的周长（Ⅱ）求cosAC的值

4.（湖南理17）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC． （Ⅰ）求角C的大小；

（B+

5.（全国大纲理17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A-C=90° ，

b，求C．

6.（陕西理18）叙述并证明余弦定理。

5 cosA-2cosC2c-a=． cosBbsinC1的值；II）若cosB=，b=2，ABC的面积S。 sinA41)2cosA, 求A的值；（2）若cosA,b3c，求sinC的值. 631. 4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。 4

【二】:解三角形高考题汇编

解三角形

一、选择题

2（ab）c24，1.（2011重庆理6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

且C=60°，则ab的值为

4A．3 2B

．8 C． 1 D．3www.fz173.com_解三角形高考题。

2.（2011天津理6）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2AB3BD,BC2BD，则sinC的值为

A

．3 B

．6

C． D．

2223.（2011四川理6）在ABC中．sinAsinBsinCsinBsinC．则A的取值范围

是

A．（0，6] B．[ 6，） C．（0，3] D．[ 3，）

4.（2011辽宁理4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

b22aaasinAsinB+bcosA=，则

（A） （B） （C （D

5.【2012高考四川理4】如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC、ED则sinCED（ ）

A B C D 2226.【2012高考陕西理9】在ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若ab2c，

则cosC的最小值为（ ）

A. 11

B. C. D.  22

2227.【2012高考上海理16】在ABC中，若sinAsinBsinC，则ABC的形状是

（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

8 ．（2013浙江（理））已知R,sin2cos,则tan2 2

A.3443 B. C. D. 4334



4,ABBC3,则sinBAC =

9.（2013天津）在△ABC中

, ABC

10 ．（2013辽宁（理））在ABC,内角A,B,C所对的边长分别为

1a,b,c.asinBcosCcsinBcosAb,且ab,则B 2

25A. B. C. D. 6336

11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC,角A,B所对的边长分别为a,b.

若2asinB,则角A等于 A. B. C. D. 12643

二、填空题：

00CAB75,CBA60CAB1.（2011上海理6）在相距2千米的．两点处测量目标，若，

则A．C两点之间的距离是 千米。

2.（2011安徽理14）已知ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的 www.fz173.com_解三角形高考题。

等差数列，则ABC的面积为_______________.

(abc)(abc)ab，则角C 3.【2012高考湖北理11】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若

4.【2012高考安徽理15】设ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的是_____

①若abc；则C2

3 ②若ab2c；则C

3

③若a3b3c3；则C

222222 ④若(ab)c2a；则bC2 ⑤若(ab)c2ab；则C

3

05．（2013浙江数学（理））ABC中,C90,M是BC的中点,若sinBAM1,则3

sinBAC________.

6.【2012高考福建理13】已知△ABC

弦值为_________.

7.【2012高考重庆理13】设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosA3，5

cosB5,b3则c13

福建（理））如图8．（2013ABC中,已知点D在BC边

上,AD

AC,sinBACABAD3则BD的长为

_______________

9．（2013年上海市春季高考）在ABC中,角 b c,若A、 B、 C所对边长分别为a、、

a5， b8， B60,则b=_______

错误！未指定书签。0．（2013年安徽（理））设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若bc2a,则3sinA5sinB,则角C_____.

三、解答题

1.（2011江苏15）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

sin(A

（1）若

6)2cosA, 求A的值；

1cosA,b3c3（2）若，求sinC的值.

2.（2011湖北理16）设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知

1a1.b2.cosC.4

（Ⅰ）求ABC的周长

（Ⅱ）求cosAC的值

3.（2011湖南理17）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC． （Ⅰ）求角C的大小；



sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

4.（2011全国大纲理17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，

，求

5.（2011山东理17）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C． cosA-2cosC2c-a=cosBb．

sinC

（I）求sinA的值；

1

（II）若cosB=4，b=2，ABC的面积S。

【三】:解三角形专题(高考题)练习【附答案】

B

1、在

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