侧倾稳定角计算书

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侧倾稳定角计算书(一)
侧倾稳定性计算

整车侧倾稳定性计算

整车静态侧倾稳定性计算

出处:东风汽车工程研究院 陈耀明 张满良

本文的目的就是找到一种比较准确的计算方法，以在设计阶段就能初步判断

该车型的侧翻角能否满足要求。当样车试制出来后，只要进行常规的参数测量，就能准确地计算出其侧翻稳定角，并且可计算出空载、满载及各种质心高度情况下的稳定角。

下述计算方程的推导，主要考虑两个因素:

1) 侧倾时，由于簧上质心的偏移，增大了侧翻力矩； 2) 轮距和侧倾中心要选在质心所处的垂直平面内。 图1为汽车侧翻受力分析图，对A点取矩，侧翻条件为

:

GhRGB

BssinsGusinscos2htg

Gucos2......(1)

使得（1）式中等式成立的角，即为侧翻稳定角。而悬架侧倾角为:

GshsinGshcostg...................................................(2)

式中:

Gs，汽车总簧上质量的重力； Gu，汽车总簧下质量的重力； hs ，簧上总质心距地面的高度； hR ，侧倾中心距地面的高度； h ，侧倾力臂；

R ，车轮半径，簧下质量质心的高度； B ，等效轮距；  ，侧翻稳定角；  ，悬架侧倾角；

C，悬架侧倾角刚度。

因值相对比较小，可令tg, 则将其代入(2)式可得:



Gshsin

CGcos

..............................................................................(3)

sh将tg代入(1)中的等式得:

GB

shsGuRsin

Ga2

Gsh

cos..........

..........................(4) 式中Ga，汽车总质量的重力，Ga=Gs+Gu, 将式(3)代入(4)得:

GGBG2sh2sin

shsuRtgGa2C....................................(5)

Gshcos

方程(5)为一超越方程，求其解析解相当困难。为此，作如下变换，令xtg，

代入(5)得，

GBG2sh2x

shsGuRxGa2C2G0.................................(6)

xsh

整理得，

k44xk3x3k2x2k1x1k00............................................................(7)【侧倾稳定角计算书】

式中：k0f2

g

20

k12f0f1g0g1 k2222f0f1g1

k3f0f1 k24f1

f0BGaC2

f1GshsGaRC g0BGaGsh/2

g2

2

1GshGshGshGuR

方程（7）为一高次代数方程，求其解析解仍很困难。为此，采用求数值解

的方法得到其近似根。用Newton-Rapbson法求方程（7）数值解过程如下。令方程左边为f(x), 则有：

fx0........................................................................................(8)

对方程（8）选取初值x0，则迭代程序如下：

x1xfx0

0f'

x 0xfxnn1xn

f'

x...(n0,1,2,....) n如果xn1xn（允许误差，可根据要求设置）时，则可认为xn1是所

求方程（8）的一个近似根xn。为了确认所求根的大概位置并使迭代收敛速度加快，特选取迭代初值x0B(2hs)。求得近似根xn后，再根据arctgxn求出侧翻稳定角。以上计算过程利用计算机进行，可很方便地得到结果。

下面计算公式中所涉及的参数： 1) 侧倾力臂

hhgGuRshahR 而，hs

GG...................................(9)

aGu

式中，hg：整车质心高度

图2为汽车侧倾力臂示意图，从图中可知：hRh1h2h1asL，

式中：

h1、h2：前、后悬架的侧倾中心距地面高度。对板簧悬架，可取车桥

处弹簧主片上表面至地面的距离

as：簧上质心至前轮中心的水平距离

aG2Gu2

s

GGL

au

G2：后桥轴载质量的重力

Gu2：后悬架簧下质量的重力

L：轴距

hhh2h1G2Gu2sh1

G..........

...............................(10)

aGu

2) 等效轮距【侧倾稳定角计算书】

图3为汽车轮距示意图。考虑前、后轮距的不同，采用下式计算，可

得到等效轮距：

BB1G1B2G2Ga..........................................................(11)

式中，B1：前轮距

B2：后外轮轮距

G1：前轴轴载质量的重力，G1GaG2

利用式（9）、（10）、（11）就可算出hs、h、B，其它参数在设计阶段均有估算值，在样品和样车进行参数测定后均有较准确的实测值。将它们代入方程（7）利用计算机求解，可得到较准确的值。

此外，设定了满载的乘咽或载荷物的总质量及其质心高度，就可算出满载时的Ga、Gs、G1、G2、hs等参数，代入方程（7），又可求得这种质心高度下的侧翻稳定角。

侧倾稳定角计算书(二)
稳定性计算

稳定性计算

在汽车操纵稳定性评价参数中，能作为设计指标的有：

转向特定参数：为使汽车能具有良好的操纵稳定性，汽车应具有一定的不足转向性。通常用在0.4g侧向加速度的作用下，沿定圆转向时，前后轴侧偏角之差作为评价指标。

车身侧倾角：在0.4g侧向加速度的作用下，车身的侧倾角不大于6°～7°。 制动点头角：当汽车以0.4g减速度制动时，车身的点头角不应大于1.5 °。

1．稳定性的计算

1.1 车身的抗侧倾特性计算

1.1.1 前悬架的侧倾角刚度KΦr

不计轮胎刚度，则前、后悬架的侧倾角刚度分别为

KΦ1 =B12C1/2 = N·m/rad【侧倾稳定角计算书】

2 KΦ2 =B2C2/2 = N·m/rad

式中：C1—前悬架刚度，C1= N·mm

B1—前悬架左右两钢板弹簧中心距，B1= mm

C2—后悬架刚度，C2= N·mm

B2—后悬架左右两钢板弹簧中心距，B2= mm

1.1.2 整车的侧倾中心及侧倾力臂

a.前悬架：

h1=r-h12+h11+f01-δ1/2

式中：h11—前悬架整车侧倾中心

r—车轮滚动半径，r= mm

h12—前钢板弹簧上平面距车轮中心的向下沉量，h2= mm

11h—前钢板弹簧总厚度，h1= mm

01f—前钢板弹簧满载弧高，δ1= mm

δ1—主片片厚，δ1= mm

b.后悬架：

h2=r-h22+h21+f02-δ1/2

式中：h2—后悬架整车侧倾中心

r—后轮滚动半径，r= mm

h22—后钢板弹簧上平面距车轮中心的向下沉量，h2= mm

21h—后钢板弹簧总厚度，h1= mm

f—后钢板弹簧满载弧高，δ1= mm 01

1.1.3侧倾轴线的倾斜角

tgα=( h2- h1)/L =

L—汽车轴距，L= mm

1.1.4侧倾力臂 h=[H-(h11+Xatgα)]cosα=

式中：H—满载质心高度，H= mm

Xa—质心与前轮中心线的距离，Xa= mm

1.1.5侧倾角 由力矩平衡公式:μW (H-h)+W(H-h)θ=( KΦ2 + KΦ2)θ

μW (H-h)得：θ= K + K- W(H-h)= Φ2Φ2θ—侧倾角

μ—侧向加速度，μ=

W—簧载质量，W = KG

1.1.6稳定性分析结论

一般规定，在0.4g侧向加速度的作用下，车身的侧倾角不大于6°～7°，得出分析结论。

1.2. 汽车行驶时的纵向稳定性

1.2.1计算上坡行驶

满载下滑坡度

tgmax滑 = Xa·/（L - ·H）

Xa—质心与前轮中心线的距离，Xa= mm

—附着系数，=

L—轴距，L= mm

H—满载质心高度，H= mm

max滑 = 

满载绕后轴倾翻坡度：

tgmax翻= （L- Xa）/H =

max翻= 

max滑 max翻，故汽车先滑动不会倾翻。

侧倾稳定角计算书(三)
汽车最大侧倾稳定角的简化计算

　　摘 要：汽车最大侧倾稳定角直观地反映了汽车的侧倾稳定性能，是影响汽车行车安全的一个重要指标。本文对国内外在汽车静态侧倾稳定性方面的研究现状进行了概括和总结，归纳了当前在汽车最大侧倾稳定角测量及计算方面存在的主要问题，并在此基础上建立了考虑悬架及轮胎变形的汽车静态侧倾简化模型，通过理论推导得出通过汽车质心高度计算汽车最大侧倾稳定角的公式，提出了一种考虑汽车悬架及轮胎变形时通过汽车质心高度换算最大侧倾稳定角的测量计算方法。

　　关键词：汽车侧倾稳定性；质心高度；侧倾稳定角
　　中图分类号： U467.1 文献标志码： A 文章编号：1005-2550（2014）02-0033-05
　　目前我国对汽车侧倾稳定性的评价主要通过实际测量最大侧倾稳定角进行确定，但是实际测量存在较大的劳动强度和一定的翻车风险。另外企业进行自主开发试验往往也不具备相应的实验条件。因此寻求一种有效的计算侧倾稳定角的方法仍然具有很强的现实意义。
　　国内外对汽车侧倾稳定角的计算方法按所建数学模型的不同通常可分为两种：一是将汽车整体作为一个刚体考虑，最简单的方法莫过于按照公式进行计算：
　　（1）
　　该公式在各类汽车研究文献中都是把它作为最简化、最基本的一个计算公式。日本TRIALS 2-1971《机动车最大侧倾稳定角试验方法》中所采用的方法即是将汽车整体作为一个刚体考虑的结果。该方法与采用公式（1）相比，原理一样，只是还考虑了以下两个因素：（1）质心位置的左右偏移对汽车向左向右侧倾的影响；（2）各轴轮距的不同对侧倾稳定性的影响。当汽车质心位置处于汽车纵向对称平面上且各轴轮距一样时，则两种方法结果相同。从公式可以看出，只要质心高度已知，其余参数非常容易获取，计算也相当简单。但是这两种方法存在一个致命的弱点，就是没有考虑汽车悬架系统和轮胎刚度对汽车侧倾稳定性的影响。因此计算结果与实际情况存在较大差异，只适用于估算。另一种则是考虑了悬架及轮胎刚度、力矩中心位置、车身的抗扭强度等因素。这种方法可以比较准确地计算出汽车最大侧倾稳定角。文献《汽车侧倾稳定性的动态仿真（一）---数学模型的建立》[1]中结合已有的轮胎力学模型[5]，考虑不同悬架侧倾运动特性[2][3]建立了双轴汽车稳态转向时的侧倾运动数学模型，利用计算机仿真分析取得较为满意的结果。文献《汽车侧倾过程的计算机模模拟分析》[4]介绍了美国密执安大学运输研究院（UMTRI）开发的静态侧倾模型（SRM）并应用该模型对汽车侧倾过程进行了计算机模拟分析，着重分析了影响汽车侧倾的敏感参数。类似的相关文献在汽车侧倾稳定性方面都作了比较深入的研究，但是由于研究或计算中涉及到的因素需要较多专业参数，大多数汽车生产商是无法提供这些参数的，而现今检测机构也没有简单易行的方法对这些参数进行测量，因此该种方法目前仅局限于研究方面的应用。
　　综上所述，目前对汽车侧倾稳定角的测量或计算存在如下问题：实际测量成本高、劳动强度大、风险大；计算验证采取的两种方法一种误差大，另一种过于复杂、不能推广应用。
　　因此，本文的研究目的就在于：寻求一种计算汽车侧倾稳定角方法，使之既能满足一定的准确度要求，又方便适用可作为一种日常检测的依据。
　　1 设想
　　要解决前面提到的问题，笔者根据已作的一些研究工作提出以下设想：
　　当汽车随侧倾试验台发生侧倾时，考虑将汽车悬上部分的侧倾角度分为三部分：由轮胎变形引起的倾角部分φ1，由悬架变形引起的倾角部分 φ2和汽车悬上部分作为刚体随试验台产生的倾角部分φ0。显然，利用在前面提到的简易计算方法算出的汽车最大侧倾稳定角由于没有考虑 φ1和 φ2两部分的影响，计算结果比实际偏大。汽车整车作为刚体产生的倾角部分可直接由汽车的质心高度求得，即为 φ0。则汽车实际最大侧倾稳定角α=f（φ0，φ1+φ2）。
　　式中φ0通过汽车质心高度很容易计算得出（现有手段对测量质心高度也较容易），φ1+φ2的求取是需要关注的重点，拟采用如下方案：将轮胎与悬架系统进行线性简化，建立一汽车静态侧倾模型，从而推导出汽车最大侧倾稳定角与φ1+φ2之间的数学关系，则只要用一种可行的方法求出φ1+φ2则问题得解。
　　2 数学模型及公式推导
　　根据前面提出的简化设想，将汽车车身及非悬挂质量分别作为两个独立的刚体，悬架及轮胎的弹性集中简化为一个等效弹簧，建立图1 所示的物理模型。
　　图1 简化物理模型
　　图2 将整车作为刚体
　　当汽车整车作为一个刚体随侧倾试验台侧倾α角时，汽车状态如图2所示，而实际上汽车由于悬架和轮胎的变形，汽车车身会侧倾角度φ，此时的状态，我们用图3来近似代替。
　　图3 考虑悬架和轮胎变形时的简化
　　基于上述假设和简化，当实际汽车在侧倾试验台上随侧倾台侧倾至极限状态时，与将汽车整体作为刚体考虑时相比存在如图4 所示的几何关系。
　　1.M-在汽车水平停放时，质心位置至汽车纵向对称平面的距离；2.α-侧倾试验台倾角；3.G-汽车未发生悬架及轮胎变形时质心位置；4.G'-汽车随侧倾试验台侧倾角α，发生悬架及轮胎变形时的质心位置；5.φ-汽车车身由于弹性变形发生的倾角；6.B-轮距.
　　图4 侧倾极限时对应的几何关系
　　由图4可得：
　　（2）
　　由三角函数加法公式可得：
　　（3）
　　由小角近似得：tanφ≈φ，将其代入式（2），（3）经整理可得：
　　（4）
　　所以：
　　（5）
　　在获取了式中的相关参数后，便可依据该式计算汽车最大侧倾稳定角。
　　由式（5）可得，当φ=0时，亦即当将汽车整车作为一个刚体考虑时，有：

侧倾稳定角计算书(四)
基于Lyapunov的客车稳定域估计

　　摘要：针对平面稳定域在评价车辆稳定性方面的不足，提出了客车空间稳定域的一种估计方法.建立了包含Pacejka轮胎魔术公式的客车三自由度非线性动力学模型，通过仿真和实车试验对比验证了所建模型的有效性.基于客车非线性动力学模型，构建了系统Jacobian矩阵，应用霍尔维茨（Hurwitz）判据分析了车辆系统稳定性随前轮转角变化情况以及车辆的临界状态.在构建客车系统二次型能量函数的基础上，利用Lyapunov法和车辆系统稳定特性确定了客车空间稳定域.客车在满载条件下的蛇形试验结果表明：应用上述方法确定的客车行驶稳定域能够较好地表征车辆系统稳定性，可为客车操纵稳定性评价和控制提供有益参考.

　　关键词：客车；稳定性；3DOF非线性车辆模型；Lyapunov方法；能量函数；稳定域
　　中图分类号：U461.6 文献标识码：A
　　文章编号：1674-2974（2016）02-0015-07
　　当前国内外针对车辆操纵稳定性评价的行驶稳定域分析已开展了广泛的研究.国内外主要利用简化的车辆动力学模型，对车辆系统平面稳定域进行分析和探讨[1].20世纪90年代， Samsundar和Stotsky等利用Lyapunov稳定性定理和简化三次项轮胎模型得到了转向动力学系统稳定区域的解析表达式，并用数值仿真得到了系统保守平面椭圆型稳定边界[2-3].2002年，Ko和Lee基于二自由度车辆模型，利用拓扑理论确定了不同速度和前轮转角输入时，车辆系统的相平面和稳定域[4].2007年，施树明等基于势能函数曲面分析法对二自由度车辆系统稳定域进行估计，揭示了转向车辆失稳的机理[5].2013年，王睿等利用横向载荷转移率对客车阶跃转向条件下的侧倾稳定性进行研究，为车轮侧倾稳定域提供了借鉴和参考[6].
　　尽管相关成果对于车辆系统稳定域研究起到了推动作用，但仍存在较大的局限性.首先，稳定域分析主要基于二自由度车辆模型，未考虑多参量稳定域问题；其次，二自由度车辆模型主要应用简化的非线性三次项轮胎公式，与实际轮胎力相差较大，显著地影响系统稳定域求解的准确性；此外，分析方法对稳定域边界约束条件的确定依据不足，从而不合理地扩大了初始条件设定的范围，导致估计的稳定域与实际相差较大.
　　本文基于Pacejca轮胎魔术公式建立了改进的车辆非线性动力学模型，利用Lyapunov稳定理论和系统能量分析法，对双轴客车行驶空间稳定域进行分析.这对于准确分析车辆系统稳定域及评价客车操纵稳定性具有较大意义.
　　1非线性动力学客车模型
　　1.1车辆微分方程
　　根据车辆的运动特点，对动力学车辆模型进行简化.设车辆在无制动力和驱动力状态下转向行驶，忽略车辆纵向和俯仰运动以及载荷转移变化等因素，由此构建包含客车横向运动、横摆运动和侧倾运动3个自由度的二轮模型.车辆平面和侧倾运动如图1所示.模型参数符号见表1.
　　2客车横向稳定性测试及模型验证
　　2.1车辆横向稳定性测试系统
　　客车横向稳定性测试系统如图2所示.测试系统主要包括汽车操舵力角测量仪HCZ-1， 双天线GPS运动参数测量仪RLVB20SL， 三轴角速度与加速度陀螺仪IMU02，以及模拟信号采集器RLVB-ADC03，此外还包括笔记本电脑和电源等.该测试系统可测量相关运动学变量，如转向盘转角、车辆行驶速度、加速度、横摆角速度、侧倾角以及制动距离、时间等.
　　2.2试验数据处理
　　试验采集的数据主要利用VBOX Tools和Matlab软件进行处理.考虑到实际测量过程中设备安装位置与车辆质心位置的偏差，测试完成后要对采样数据进行后期处理.
　　2.2.1IMU02陀螺仪测量参数校正
　　IMU02陀螺仪的坐标系定义如图3所示，箭头指向代表测试参量的正向.
　　由于地面坐标系和车辆坐标系均采用右手定则，因此需根据右手定则对陀螺仪采集数据进行正负坐标变换，见表3.
　　2.2.2质心位置状态参数确定
　　由于RLVB20SL测量仪的主天线和陀螺仪未置于车辆质心，为了获得车辆质心的状态参数，就要根据试验车辆上RLVB20SL测试仪的主天线和陀螺仪的安装位置及车辆状态参量间的相互关系对测试数据进行坐标转换.
　　2.3动力学模型验证
　　通过测量客车在干燥水泥路面（μ=0.70）上的运动特性与仿真结果对比，以验证三自由度车辆模型的可信性.试验车辆实行状态及测试系统布置如图4所示.
　　依据ISO 3888-1-1999《轿车急剧变换车道试验程序》，车辆（满载）以约90 km/h进行双移线行驶时，行驶速度和转向盘转角输入及仿真与实车试验得到的车辆侧向加速度对比情况分别如图5所示.
　　与实车试验结果相比，依据三自由度动力学模型仿真得到的车辆侧向加速度曲线在变化趋势和变化范围方面都具有较好的一致性，误差在10%以内，因此可认为车辆动力学模型是可信的，可为下一步研究提供依据.
　　图6中箭头所指方向为系统Jacobian矩阵特征根4实部随前轮转角变化方向.由图可见，当前轮转角较小时，系统Jacobian矩阵特征根实部均为负值，特征根3和4虚部为0；随着前轮转角的增大，各特征根有向原点靠近的趋势；当前轮转角约为0.042 rad时，特征根4为0，此时系统处于稳定形式改变的临界状态.这说明根据Hurwitz判据，通过车辆系统特征值能够准确地掌握系统状态，系统由稳定向失稳的转变是一个规律性的变化过程，由此可确定车辆系统稳态临界值.
　　4客车空间稳定域估计
　　由上述分析可知，当车辆以一定速度转向行驶时，系统Jacobian矩阵特征根是体现系统稳定性的重要方面.传统的基于相平面的稳定域分析没有全面考虑系统稳定性特性，从而不合理地扩大了初始条件设定的范围，导致求得的稳定域与实际相差较大.因此，在分析车辆系统稳定性的基础上，本文基于Lyapunov法结合车辆系统稳定特性估计客车空间行驶稳定域. 　　4.1Lyapunov函数构建
　　根据Lyapunov稳定性定理，由于系统的复杂性和多样性，有必要虚构一能量函数作为Lyapunov函数.设定一正定函数V（x）：
　　4.2车辆系统稳定域边界条件
　　为了对客车行驶稳定域进行估计，需要确定Lyapunov函数V（x）和x的边界条件.首先，根据Lyapunov稳定性第二定理，x≤0是系统渐进稳定性的充分条件[10].其次，根据车辆系统稳定特性可知，车辆以不同速度转向行驶时，在保证系统稳定的条件下，车辆运动状态和能量值在前轮转向角达到稳态临界值时取最大值，由此可以确定客车在不同速度稳定状态下Lyapunov函数V（x）的临界值Vc.根据先前的分析，当客车纵向速度为20 km/h时，前轮转角稳态临界值约为0.42 rad，此时，车辆质心侧偏角β=-0.067 rad，横摆角速度φ・=0.24 rad/s，车身侧倾角Ψs=-0.067 rad，Lyapunov函数V（x）的临界值Vc=0.15.
　　因此，汽车稳定域边界条件可表示为：
　　5行驶稳定域试验分析
　　利用集成测试系统，测量客车在正常路面条件下定车速蛇形行驶时的运动情况.试验车辆在试验过程中保持车速约为20 m/s，依据GB/T 6323.1―94《汽车操纵稳定性试验方法―蛇形试验方法》进行.试验测得的车辆质心侧偏角和横摆角速度以及侧倾角参量值分布与计算得到的车辆空间行驶稳定域对比如图9所示.
　　车辆状态参量分布基本在稳定域内，但在峰值转角区附近，车辆状态参量已超出稳定域.这说明当客车高速蛇形运动、转向盘转角达到最大角度时，车辆已经达到极限状态，并且超出自身行驶稳定域范围.如图10所示，此时车辆的最大加速度已超过0.5g，超出车辆极限状态，实际上车辆在行驶过程中已经发生轻微侧滑现象，表明车辆已达到甚至超出极限状态.
　　由试验结果可知，计算得到的稳定域能够较好地界定车辆系统稳定和非稳定状态.常规蛇形试验主要依据通过时间和速度，相比之下，稳定域评价能够更加形象地表达车辆失稳的极限状态，并且通过稳定域的大小可有效评价车辆操纵和行驶稳定性.试验验证结果表明，基于Lyapunov法和系统稳定性理论估计的车辆空间行驶稳定域具有可靠性.
　　6结论
　　基于系统动力学理论建立了客车三自由度非线性动力学模型，并通过试验结果验证了模型的可靠性.结果表明，利用Pacejka魔术公式建立的三自由度车辆动力学模型仿真与试验结果具有较好的一致性，能较准确地描述车辆在平直路面、匀速行驶状态下的运动情况.
　　利用Jacobian矩阵和Hurwitz判据分析了车辆非线性系统稳定性随输入的变化情况.结果表明，一定车速条件下，随着前轮转角的增大，系统特征根变化能够准确地反映车辆横向稳定性.车辆系统由稳定向失稳的转变是一个规律性的变化过程，系统稳定性状态可通过特征根形式的量化值表现，基于此可确定车辆系统稳态临界值.
　　基于Lyapunov法和车辆系统稳定性理论分析求解了车辆行驶空间稳定域.实车试验和稳定域的分析结果表明，Lyapunov法和车辆系统稳定性理论能够互为补充，真实地反映车辆系统的实际运动状态.利用该方法求得的车辆行驶稳定域能够较好地反映车辆稳定和失稳状态，可为车辆操纵稳定性评价和车辆系统控制提供参考.
　　参考文献
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侧倾稳定角计算书(五)
弄潮儿向涛头立

　　张乾二

　　1928年8月出生于福建惠安县，量子化学家。张乾二教授现任厦门大学化学化工学院院长，全国政协常委，固体表面物理化学国家重点实验室副主任，结构化学国家重点实验室学术委员会主任，1991年当选为中国科学院院士（学部委员）。20世纪90年代，带领课题组开展价键理论计算程序化的攻坚研究，并在世纪之交编制出价键从头算程序VB-XIAMEN99，性能优于国际上的其他程序。
　　1958年“8・23”炮击金门后，全国正在“大跃进”的热潮中，卢嘉锡思考物构专业如何为“大跃进”添砖加瓦。根据当时条件，他想可以人工培养晶体，但国内还没有人进行过这样的工作。卢嘉锡查阅文献后，拿了一本外文参考书，找到张乾二和张炳楷两位青年教师。晶体培养有许多方式，可以水溶液培养，也可以用水热法，还可以从熔体中提拉晶体……因为没有直接经验，他对两位年轻教师说，我们还是先易后难，先从水溶液中培养晶体。卢嘉锡让他们带两个学生共4人，一起到漳州设立“晶体生长实验室”，进行培养晶体的研究。当时条件简陋，实验室设在小学，住在天主教堂，吃在专署食堂。
　　尝试在水溶液中培养晶体
　　怎么培养晶体？张乾二与张炳楷先好好读了一遍晶体生长的专著。晶体生长，外人看起来简单，实际却很复杂。它涉及热力学中的相平衡和相变，要了解晶体生长的成核过程，还要考虑溶质的扩散过程、晶体界面的稳定等。要培养什么晶体呢？他们先查看了水溶性晶体的溶解度曲线图。不同物质在水中的溶解度有明显差别，大的如酒石酸钾钠，小的如硫酸锂，大多数晶体溶解度随温度升高而增大。张炳楷看到酒石酸钾钠随着温度变化很大，心想这样可能比较容易结晶，就选择了它。当时完全是白手起家，先用广口瓶做容器。加热水溶液要用的电炉，也没有现成的，只好采购一堆电阻丝，自己动手绕电阻丝，加工成电炉。培养晶体需要24小时连续恒温条件，当时不但没有恒温炉，而且供电条件很差，经常断电。张乾二把人员分成两班，轮流值班。先配制过饱和的酒石酸钾钠溶液，找一颗比较好的晶种，固定在旋转棒上，让晶种缓慢旋转，随着晶体的生长，还要不断添加晶料，保持溶液处于过饱和状态。但是不知什么原因，晶体一直长不起来，而恒温槽底部有时会有晶体析出，他们只好再去查参考书。书中提到，过饱和溶液在热力学上是不稳定的。过饱和溶液可分为“不稳过饱和”和“亚稳过饱和”，但哪里是亚稳区并不明确。
　　张乾二提出，我们是不是换磷酸二氢铵试试，因为它的溶解度曲线比较平缓，可能比较容易摸索亚稳区。于是一切从头开始，过了几天，晶种开始慢慢长大，大家感到十分兴奋，这更加强了做下去的信心。大家轮班培养晶体，记录温度、浓度等数据。十几天后，晶体长到三四厘米了，大家发现其晶面有缺陷，这说明晶种一开始没处理好。经过重新处理，晶种长了二十几天后，单晶长到了五六厘米长。看着晶莹剔透的晶体一天天长大，大家的心里有说不出的高兴。培养了磷酸二氢铵（ADP）单晶后，再培养另一种磷酸二氢钾（KDP）晶体。就这样，张乾二、张炳楷带领学生克服了一个个困难，在水溶液中培养晶体方面闯出了一条路。情况好转后，“晶体生长实验室”迁回厦门大学。在大礼堂边化学楼设了一间晶体室，晶体组想要培养大一些的晶体，就做了一个较大的恒温槽。张乾二在内套的培养玻璃缸上面加了环形圈，可使晶种缓缓移动，沿环做公转，使溶液保持均匀性；另一方面晶种又绕着自己的晶轴进行自转。先培养更大的ADP和KDP晶体，在引入晶种后，为防止溶液中出现自发结晶，培养晶体的溶液还要进行清洁处理，达到“光学纯”（对光束无明显散射现象）。籽晶经过几个月的精心培养后，慢慢生长到二十几厘米长。由于晶体在生长过程中不停地自转，培养出来的晶面有棱有角、晶莹剔透。
　　厦门大学在水溶液中培养出晶体的消息传开后，山东大学派张克从、蒋民华赶来学习。他们与张乾二、张炳楷一起培养氯化钠、氯化钾晶体。虽然有了ADP和KDP晶体的培养经验，但氯化钠、氯化钾须从熔体中培养。将食盐晶体放在坩埚中加热熔融，籽晶在熔体上部冷却，边旋转边缓缓向上提升。但氯化钠晶体长出来不透明，他们试着改变pH值、在熔体中掺杂，经过多次探索后才有透明的立方晶体出现。张克从、蒋民华老师回到山大后，建立了晶体室。不久后（1960年）张炳楷等随卢嘉锡到中科院福建物质结构研究所，在那里也建了一个晶体室，积极进行大口径磷酸二氢钾的晶体培养。后来物构所又用熔盐法培养出激光性能极好的偏硼酸钡（BBO）。这两个地方后来成为我国重要的晶体培养基地，不仅满足国内生产需要，还大量出口到国外。
　　“文革”晚上在家里搞科研
　　“文革”一开始，张乾二就沦为“牛鬼蛇神”，后又经历了妻亡子散之痛，直到1972年初，才被允许为工农兵学员上数学课。张乾二的老师卢嘉锡、唐敖庆、蔡启瑞三人联袂研究“化学模拟生物固氮”项目，三位大师为固氮酶聚首厦门。正好张乾二刚从“牛棚”出来，见到自己的老师又重新出来工作，还像以前那样精力充沛、勇往直前，张乾二精神上受到很大鼓舞。见面时，老师与他意味深长地握手，一切尽在不言中。他坚信，自己现在虽然没有资格参加科研，但将来一定有机会与老师们一起搞科研。
　　晚上回到空无一人的家中，张乾二开始考虑科研问题。当他在讲解初等数学时，曾诱发他进一步的思考：能否用初等数学的几何、三角来解析分子结构的化学问题？在“物质结构”教学中，张乾二已对大量分子的结构特点进行过归纳总结，现在他想更普遍地推导出共轭分子轨道系数的特点。首先他观察直链多烯烃分子中的原子轨道系数，从丁二烯、戊二烯到己三烯……链中某个C原子的系数乘上某个常量，会等于左右相邻两个C原子的系数之和，以后又发现这个常量与该轨道能量本征值的关系。张乾二不停计算、观察与琢磨，发现了分子的几何构型可能影响它的轨道系数，并与三角函数有一定的联系。接着，他研究苯环、苄基、三苯甲基等环状共轭分子的轨道系数，发现这些分子的轨道系数是以环的中轴线左右对称或反对称。如何先求解轨道系数方程，再推出轨道能量，这可能是一个捷径，但还需要大量的验算与证明。 　　张乾二观察直链多烯烃的分子轨道系数，长链多烯烃的π轨道系数，先是比较小的值，然后变大，达到0.9X最大值后，又逐步下降，降到负值后，最小达到-0.9X，再逐渐上升，回到0。数据的变化有周期性，特别像正弦波，“可以用正弦函数来表达轨道系数！”张乾二脑子里灵光一闪。他再找另一个直链多烯烃―戊二烯的五个π分子轨道，第一个全对称轨道系数分别是：sinπ/6， sinπ/3， sinπ/2， sin2π/3， sin5π/6。第二个轨道系数分别是：sinπ/3， sin2π/3， sinπ， sin4π/3， sin5π/3……五个轨道全符合这个规律！张乾二对三角函数十分熟悉，如果可用正弦函数表达直链多烯烃的系数，那么余弦等三角函数又可用来表示什么图形的分子呢？张乾二越研究兴趣越浓，他真想把这些结果与什么人一起分享，但周围只有黑黑的夜空。他想，即使一个人我也可以一步步做，先把直链多烯烃的规律研究清楚，然后研究环状烯烃的分子轨道，这样每天晚上的时间都不够用了。
　　每天吃过晚饭，张乾二就坐在书桌前，演算一个又一个共轭分子的轨道系数。计算三角函数时，他不用小数表示，而坚持用无理数表达，这样可减少运算中的误差，使结果更直观化。几个月下来，演算的草稿纸都有一尺多高。再将各种图形的共轭分子归类：直链、分叉链、单环、双环、多�环、稠环……找到了轨道系数的规律，再寻找轨道能级的规律。对于一些图形比较复杂的分子，张乾二动了好几天的脑筋，最后想出一个法子：把环归环、链归链，划分成几个分子碎片。至于这些碎片要如何串联起来，他又花了几周的时间。
　　1978年的春天，万象更新，张乾二觉得现在可以公开搞科研了。他找到林连堂、王南钦，并告诉他们，“文革”中他在观察直链共轭烯烃分子轨道系数时，发现一些规律，与三角函数中某些角度的正弦、余弦的数值恰好相同，这只是巧合，还是有更深刻的规律？需要作更多的验算。林、王两位听后，茅塞顿开，十分感兴趣地投入研究中。当时张乾二住在鼓浪屿，林、王两人住在厦大校内，除了上课以外，其他时间三人常聚在一起讨论、研究问题。以往休克尔矩阵近似研究中，只重视了分子的对称性，而忽视了共轭分子中原子系数既有对称性，又有周期性。研究组讨论不能链状化的其他分子，提出分子轨道“碎片法”，根据分子的几何图形，把分子分解为几个碎片，整个分子的分子轨道，表达为各个“碎片轨道”的线性组合，而久期方程可以用一个特征多项式联系起来。张乾二提出方法，林连堂、王南钦验算，结果与预料完全一致，大家非常兴奋。十几年压抑的科研、探索激情迸发出来了。
　　张乾二等发表了《分子轨道几何剖析》《同谱分子》《Hückel矩阵的图形方法》等系列学术论文。《休克尔矩阵图形方法》一书1981年在科学出版社出版。1984年“休克尔矩阵图形方法”获福建省高教厅科技成果奖一等奖，张乾二获“国家有突出贡献科学家”称号。1985年该书被选送参加法兰克福国际书展，深受好评。图形方法的内容现已被收入《结构化学》教科书，每年有数千学生学习这个方法。
　　没有最好，只有更好
　　1982年，唐敖庆带领弟子们在20世纪60年代做的“配位场理论方法”，获国家自然科学奖一等奖（包括张乾二）。相关专著《配位场理论方法》一书，1979年由科学出版社出版。配位场理论是理论物理与理论化学重要的交叉学科，也是近代无机化学的理论基础。学术界惊叹该研究达到的深度与广度，当之无愧获国家自然科学最高奖。
　　在荣誉面前，张乾二并不满足，他觉得60年代由于时间限制，尚未获得群变换系数的封闭公式，还需要进一步研究。张乾二认为，真正能阐明客观世界的科学理论一定是简洁明了的，若研究结果是十分繁琐的，那说明还必须进一步研究，直至得到它最简洁的表示方法。当时原子簇结构的研究是一个很重要的方向，卢嘉锡在物构所化学研究会做了题为《当今国际上原子簇发展的方向》的报告，国内特别是物构所做了很多原子簇方面的合成与它的理论研究。张乾二发现在原子簇结构理论方面，角动量理论方法可以发挥很大的作用。
　　张乾二从多面体分子出发，推导旋转群与点群之间的变换系数。他提出“共变基向量定理”，研究组进行一系列推导与计算，从转动矩阵元得出“轨道性格”的表示式，讨论了构造具有σ、π、δ等特征的多面体分子轨道、杂化轨道和定域分子轨道。张乾二带领研究生从八面体、立方体、十二面体、二十面体等正多面体入手，寻找正多面体群变换系数的一般公式，获得SO（3）群-O群、SO（3）群-K群不可约表示之间的变换系数，再用群的双陪集推导出计算旋转群―点群变换系数的闭合公式。研究组又从封闭硼烷多面体和碳烷多面体出发，讨论金属原子簇多面体的成键规则。后又在多面体中划分标准三角形，定义群不变量BΓ，然后用BΓ的符号判断分子轨道成键性质。
　　唐敖庆看到研究结果深感欣慰，觉得“青出于蓝而胜于蓝”。研究组撰写的专著《多面体分子轨道》，于1987年在科学出版社出版。1989年，张乾二、林连堂、王南钦、余亚雄、李湘柱、王银桂等，以“群论方法在量子化学中的新应用”获得国家自然科学奖二等奖，张乾二获全国教育系统劳动模范称号。
　　科研专啃硬骨头
　　价键理论与分子轨道理论是量子化学计算的两个主要流派。分子轨道理论在描述电子跃迁即动态行为方面简捷明了，而价键理论对分子静态性质如结构、成键特征及动态性质如键的形成与断裂描述，有分子轨道无可比拟的优越性，但随着计算机的兴起，由于价键理论的基函数难以计算机化，影响了它的发展。国内少有人涉足该领域，就是国外也很少人敢于挑战这方面的课题。
　　张乾二带领他的团队，试图将价键理论的应用建立在从头算的水平上。首先是解决价键理论的基函数表示，他带领第一位博士生李湘柱，提出“键表酉群方法”，解决了价键理论的基函数问题。接着要解决计算的烦琐问题，他带领第二位博士生吴玮提出一种对称群不可约表示矩阵的计算新方法：将不可约表示矩阵分解为3个矩阵相乘，其中两个是与群元无关的三角矩阵，另一矩阵可方便得到。接着张乾二带领课题组攻克了“双粒子算符矩阵元约化”“N！稀疏矩阵的约化”等一系列价键理论计算的难关，为计算机程序化扫清了道路。当时张乾二正身兼厦门大学化学化工学院院长与中科院物构所所长两要职，经常外出。为了与学生交流研究结果，他使用电话、传真等一切通讯工具，有时一个晚上通十几个电话。学生们说，他不仅是导师，而且还是“竞争者”，往往晚上推出的公式，第二天早上他又会有更新的结果。
　　在编写价键方法程序的过程中，有一个致命的难关――N电子体系必然产生N！行列式问题。如何解决这个问题，张乾二与课题组成员思考了很久。他想寻找一个新的数学工具。为此，他与吴玮一起拜访了数学系的教授，他们建议可用对不变式来处理。张乾二带领吴玮等推导公式，将价键波函数表示为一个对不变式，重叠矩阵元则是通过一个对不变式获得，哈密顿能量矩阵元表示为子对不变式与相应积分的乘积形式。李加波、宋凌春等年轻人忙着将公式编为程序。莫亦荣、曹泽星等将各种体系试用在程序中。
　　世纪之交，张乾二课题组编写了价键从头算程序VB-XIAMEN99，这是国际上仅有的三个基于非正交基的价键从头算程序之一。与国外程序相比，XIAMEN程序在计算速度、优化方法、界面友好等方面都具有明显优势，已提供给以色列、美国、荷兰、法国、德国等国外理论化学家使用，并已发表了几十篇论文。“价键理论新方法及其应用”2001年获得教育部高校自然科学奖一等奖。现在，国内提到价键理论研究，理论化学界都知道厦门大学张乾二组，国际上要用价键计算程序，就选中国VB-XIAMEN99。（来源：中国科学报，2013-12-27，有删节）

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