电磁场中的单杠运动例题

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电磁场中的单杠运动例题【一】:物理高考粒子在电磁场中的运动计算题

带电粒子在电场、磁场中的运动

一、 带电粒子在匀强电场中的运动 1. 加速（通常应用动能定理求解）

M

N

M

N

q

V

2qu2qu2

Vv0 mm

2.带电粒子是否考虑重力要依据情况而定

（1）微观粒子：如电子、质子、粒子、离子等，除有说明或明确的暗示外，一般都不考虑重力（但不能忽略质量）。

（2）带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。

2.偏转（通常垂直进入电场，作类平抛运动）

电荷量为q、质量为m的带电粒子由静止开始经电压U1加速后，以速度v1垂直进入由两带电平行金属板产生的匀强电场中，则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其轨迹是一条抛物线(如图所示)．

1

qU1＝mv12

2

设两平行金属板间的电压为U2，板间距离为d，板长为L．

(1)带电粒子进入两板间后

垂直于电场的方向上做匀速直线运动，有：vx＝v1，L＝v1t

12qEqU2

平行于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有：vy＝at，y＝at，a＝＝．

2mmd

(2)带电粒子离开极板时

12qU2LU2L

侧移距离y＝ 2＝

22mdv14dU1

2

2

U2x2

轨迹方程为：y＝(与m、q无关)

4dU1

偏转角度φ的正切值tan φatv1qU2LU2L

2＝

mdv12dU1

若在偏转极板右侧D距离处有一竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用的推论，即：所

有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板的中心沿中心与射出点的连线射出的．这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离y′＝(D＋)tan φ．

2

以上公式要求在能够证明的前提下熟记，并能通过以上式子分析、讨论侧移距离和偏转角度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量的关系．

练习1、如图，板间距为d、板长为4d的水平金属板A和B上下正对放置，并接在电源上。现有一质

L

量为m、带电荷量为＋q的质点沿两板中心线以某一速度水平射入，当两板间电压U＝U0，且A接负时，该质点就沿两板中心线射出；A接正时，该质点就射到B板距左端为d的C处。取重力加速度为g，不计空气阻力。

（1）求质点射入两板时的速度；

（2）当A接负时，为使带电质点能够从两板间射出，求：两板所加恒定电压U的范围。

试着讨论：要让荧光屏上出现如下所示的四种情况的亮斑，在偏转电极XX’,以及YY’方向上应该分别加上怎样的偏转电压？

二、不计重力的带电粒子在磁场中的运动

1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动． 2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．

质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，则有：

v2mv2πm

由qvB＝m 得：R＝T＝与v、R无关)，

RqBqB

3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．

(1)粒子圆轨迹的圆心的确定

①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．

②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．

③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．

图4－2 图4－3 图4－4

(2)粒子圆轨迹的半径的确定 ①可直接运用公式R来确定．

②画出几何图形，利用半径R与题中已知长度的几何关系来确定．在利用几何关系时，要注意一个重要的几何特点，即：粒子速度的偏向角φ等于对应轨迹圆弧的圆心角α，并等于弦切角θ的2倍，如图4－5所示． (3)粒子做圆周运动的周期的确定

2πm

①可直接运用公式T 来确定．

mv

qB

图4－5

qB

②利用周期T与题中已知时间t的关系来确定．若粒子在时间t内通过的圆弧所对应的圆心角为α，

αα

则有：t·T(或t＝T)．

360°2π

(4)圆周运动中有关对称的规律

①从磁场的直边界 射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等， ②在 圆形磁场区域 内，沿径向射入的粒子必沿径向射出．

(5)带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题

刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．

综合上式得

B

ab

练习2、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ = 30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为

OdL，ab边足够长，粒子重力不计，

求：（1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围.

（2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.

c

练习3、（2013届惠州市高三第三次调研35）(18分)如图所示，一个板长为L，板间距离也是L的平行板电容器上极板带正电，下极板带负电，在极板右边的空间里存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。有一质量为m，重力不计，带电量为-q的粒子从极板正中以初速度为v0水平射入，恰能从上极板边缘飞出又能从下极板边缘飞入，求：

(1)两极板间匀强电场的电场强度E的大小和方向； (2) -q粒子飞出极板时的速度v的大小与方向；

(3)磁感应强度B的大小

练习4、（2011年广东35）（18分）如图19（a）所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区

域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1=R0，R2=3R0。一电荷量为+q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入，不计重力。

0 (a)

图19

（1）已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小

（2）若撤去电场，如图19（b）所示，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与

OA延长线成45角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间。

（3）在图19（b）中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？

三、带电粒子在复合场中的运动

1．高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式，即： ①电场与磁场的复合场；②磁场与重力场的复合场；

③电场与重力场的复合场；④电场、磁场与重力场的复合场．

2．带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析：

①当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动(如速度选择器)；

②当带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；

*③当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规范地变化．

因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略． 3．带电粒子所受三种场力的特征

电磁场中的单杠运动例题【二】:高中物理模型-电磁场中的单杆模型

模型组合讲解——电磁场中的单杆模型

秋飏

［模型概述］

在电磁场中，“导体棒”主要是以“棒生电”或“电动棒”的内容出现，从组合情况看有棒与电阻、棒与电容、棒与电感、棒与弹簧等；从导体棒所在的导轨有“平面导轨”、“斜面导轨”“竖直导轨”等。

［模型讲解］

一、单杆在磁场中匀速运动

例1. （2005年河南省实验中学预测题）如图1所示，R15，R2，电压表与电流表的量程分别为0～10V和0～3A，电表均为理想电表。导体棒ab与导轨电阻均不计，且导轨光滑，导轨平面水平，ab棒处于匀强磁场中。

图1

（1）当变阻器R接入电路的阻值调到30，且用F1＝40N的水平拉力向右拉ab棒并使之达到稳定速度v1时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又能安全使用，则此时ab棒的速度v1是多少？

（2）当变阻器R接入电路的阻值调到3，且仍使ab棒的速度达到稳定时，两表中恰有一表满偏，而另一表能安全使用，则此时作用于ab棒的水平向右的拉力F2是多大？ 解析：（1）假设电流表指针满偏，即I＝3A，那么此时电压表的示数为U＝IR并＝15V，电压表示数超过了量程，不能正常使用，不合题意。因此，应该是电压表正好达到满偏。 当电压表满偏时，即U1＝10V，此时电流表示数为

I1U12A R并

设a、b棒稳定时的速度为v1，产生的感应电动势为E1，则E1＝BLv1，且E1＝I1(R1＋R并)＝20V

a、b棒受到的安培力为

F1＝BIL＝40N

解得v11m/s

（2）利用假设法可以判断，此时电流表恰好满偏，即I2＝3A，此时电压表的示数为U2I2R并＝6V可以安全使用，符合题意。

由F＝BIL可知，稳定时棒受到的拉力与棒中的电流成正比，所以

F2

I23F1×40N60N。 I12

二、单杠在磁场中匀变速运动

例2. （2005年南京市金陵中学质量检测）如图2甲所示，一个足够长的“U”形金属导轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽为L＝0.50m。一根质量为m＝0.50kg的均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好，abMP恰好围成一个正方形。该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。ab棒的电阻为R＝0.10Ω，其他各部分电阻均不计。开始时，磁感应强度B0050.T。

图2

（1）若保持磁感应强度B0的大小不变，从t＝0时刻开始，给ab棒施加一个水平向右的拉力，使它做匀加速直线运动。此拉力F的大小随时间t变化关系如图2乙所示。求匀加速运动的加速度及ab棒与导轨间的滑动摩擦力。

（2）若从t＝0开始，使磁感应强度的大小从B0开始使其以B＝0.20T/s的变化率均匀t

增加。求经过多长时间ab棒开始滑动？此时通过ab棒的电流大小和方向如何？（ab棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等）

解析：（1）当t＝0时，F13N，F1Ffma

当t＝2s时，F2＝8N

F2FfB0B0LatLma R

联立以上式得：

a(F2F1)R4m/s2，FfF1ma1N 22B0Lt

（2）当F安Ff时，为导体棒刚滑动的临界条件，则有：

B2LBLFf R

则B4T，BB0

三、单杆在磁场中变速运动

例3. （2005年上海高考）如图3所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成＝37°角，下端连接阻值为R的电阻。匀速磁场方向与导轨平面垂直。质量为0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25。

Bt，t17.5s t

图3

（1）求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；

（2）当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小；

（3）在上问中，若R＝2，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向。（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

解析：（1）金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律

mgsinmgcosma ①

由①式解得 a4m/s ②

（2）设金属棒运动达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡： 2mgsinmgcosF0 ③

此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率

FvP ④

由③、④两式解得：

v10m/s ⑤

（3）设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B

IvBl ⑥ R

PI2R ⑦

由⑥、⑦两式解得 BPR0.4T ⑧ vl

磁场方向垂直导轨平面向上。

四、变杆问题

例4. （2005年肇庆市模拟）如图4所示，边长为L＝2m的正方形导线框ABCD和一金属棒MN由粗细相同的同种材料制成，每米长电阻为R0＝1/m，以导线框两条对角线交点O为圆心，半径r＝0.5m的匀强磁场区域的磁感应强度为B＝0.5T，方向垂直纸面向里且垂直于导线框所在平面，金属棒MN与导线框接触良好且与对角线AC平行放置于导线框上。若棒以v＝4m/s的速度沿垂直于AC方向向右匀速运动，当运动至AC位置时，求（计算结果保留二位有效数字）：

图4

（1）棒MN上通过的电流强度大小和方向；

（2）棒MN所受安培力的大小和方

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