共线向量的定理

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篇一:《共线向量定理_20120501060024421》

四队中学教案纸 （备课人： 葛笑春 学科： 高一数学 ）

篇二:《共线向量定理_20120601104224687》

四队中学教案纸 （备课人： 葛笑春 学科： 高一数学 ）

篇三:《O0010,向量共线定理的几个推论及其应用》

向量共线定理的几个推论及其应用



人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量b与非零向量a共线有且仅有

一个实数，使b=a。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论

在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。

一、定理的推论



推论一：向量b与向量a共线存在不全为0的实数1,2，使1a2b0，这实质是定理的另

外一种表述形式。



推论二：三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数1,2，使1AB2AC0。



注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中AB,AC均不为零向量，而推论（一）中，向量



a,b可能含O。



推论三: 设O、A、B三点不共线，且OPxOAyOB，（x，y∈R），则P、A、B三点共线x+y=1。

这实质是直线方程的向量形式。

推论四: 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数1,2,3使

1OA2OB3OCO且123=0

证：① 当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；

② 当O点与A、B、C三点均不重合，则三点A、B、C共线存在s，t∈R，且s·t≠0，使得



sABtACO，此时，s≠-t，否则ABAC，从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有：



s(OBOA)t(OCOA)O，即：sOBtOC(st)OAO。显然s+t+[-(s+t)]=0

令(st)10,s20,t30,故1230得证。

推论五： 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线若存在实数1,2,3，使

1OA2OB3OCO且1230则123=0。

推论五实质是推论四的逆否命题。



推论六：点P在ΔABO的内部（不含边界）存在正实数1,2，使得OP1OA2OB，

且121。

证：：如图，必要性：若点P在ΔABO的内部（不含边界），则 {共线向量的定理}.

OP1OA2OB，延长OP交AB于P1，过P作OA、OB的平行线，分别交 OA，OB于M，N点，过P1作OA，OB的平行线，分别交OA，OB于M1，N1点，显然

1

O



|OM||ON|

,2显然|PM||P1M1|，|PN||P1N1|，OPOMON1OA2OB。其中1|OA||OB|

10,20。由于1

|P1B|

|AB|

2

|OM|

|OA|{共线向量的定理}.

|ON||PN||PM||P1N1||P1M1| |OB||OA||OB||OA||OB|



|AP1||AB|1.而充分性由上述各步的可逆性易知。 |AB||AB|

事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七： 推论七：



已知平面内不共线向量AB，AC且AP1AB2AC。分别记过点A且与BC平行的直线为l1，

直线BC，AB，AC分别为l2,l3,l4.则：

P点在直线l2上121；P点在直线l2不含A点一侧121； P点在直线l2与l1之间0121；

P点在直线l1上120；P点在直线l1不含直线l2一侧120；

P点在直线l3不含C点一例20,R；P点在直线l3含C点一侧20,1R； P点在直线l4不含B点一侧10,2R，P点在直线l4含B点一侧10,2R。 

证：设直线AP与直线BC相交于点P，则设BPtBC，则

APABBPABtBCABt(ACAB)(1t)ABtAC

l1

l2

故P若在直线BC上，则1

2



1,又∵AP,AP共线，



则APkAP,故：1AB2ACk[(1t)ABtAC],则

3 4

ktk10

AC不共线，则. (ktk1)AB(kt2)AC,∵AB、

kt20

∴k12(kt2)

（1）若P在①区域内，则0<k<1，即0<121，且1,2均为正实数，即011,021; （2）若P在②区域内，则0<k<1，t>1，则20，10，且0121; （3）若P在③区域内，则k<0，10,20，且120; （4）若P在④区域内，则k<0，10,20，且120;

（5）若P在⑤区域内，则k<0，10,20，且120; （6）若P在⑥区域内，则0<k<1，则12(0,1);

（7）若P在⑦区域内，则k>1，则11,20，121; （8）若P在⑧区域内，则k>1，则10,20，121; （9）若P在⑨区域内，则k>1，则10,21，121.

综上：当P点位于l1上方，120;当P点位于l1下方l2上方，12(0,1);当P点位于l2下方121;当P点位于l3左边，20，l3右边，20;当P点位于l4左边，10，l4右边10从

而得证。

注：推论（七）的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。

二、应用举例

例1 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上。BN=BD，求证：M、N、C

31

三点共线。



证：设ABe1，ADe2，（e1与e2不共线），则BDe2e1.

11

BD(e233

111211∴BNe2e1e2()e1e2

333323

C

∵N为BD的三等分点，∴BN



11

e1),而BMBAe1, A M B

22

12212BMBCBM,∵m,n，且m+n=1，且B、33333

AMAC

CNCE

M、C三点不共线，则点M、N、C三点共线。

例2 设M，N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且



，若B、M、N

三点共线，求的值。 D

分析：要求的值，只需建立f()=0即可，而f()=0就隐含在直线方程的向量形式中。 解：延长EA，CB交于点P，设正六边形的边长为1,易知ΔECP为RtΔ，{共线向量的定理}.

1B

PB=2,A是EP之中点，CECN,

{共线向量的定理}.

C

11113

CN3CBCNCB, ∴CA(CECP)

22222

P AMCN1

，∴CACM； 又∵ACCE1

13(1)113CMCNCBCMCNCB；∵B、M、N三点共线.

由推论（三）知，∴

12222

12



3(1)

2

1

3



例3 （06年江西高考题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OBa1OAa200OC，且A、B、C

三点共线，（设直线不过点O），则S200=

A．100 B．101

解：易知a1+a200=1,∴S200

2

C．200 D．201

200(a1a200)

100,故选A。

例4 （06年湖南高考题）如图OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内

（不含边界），且OPxOAyOB，则实数对（x，y）可能的取值是

A．(,)

44

13

B．(

22

,) 33

C．(

13

,) 44

D．(

17,) 55

解：由P点所处的区域，利用推论（七）的结论

我们不难判定OPxOAyOB中的线性组合系数对（x，y）应满足0<x+y<1，且x<0，y>0。从而应选C。





O

A

例5 （梅涅劳斯定理）若直线l不经过ΔABC的顶点，并且与ΔABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则

BPCQAR

=1 

PCQARB

L

证：如图，设P、Q、R三点分有向线段BC、CA、AB，

BPCQAR

所成的比分别为1,2,3，则1|1||2||3|1，

B PCQARB

R

A Q

P

C

又P、Q、R三个分点中有一个或三个外分点，所以1230，因而只需证明1231。



OAOBOBOCOCOA

312

任取一点O，则由定比分点的向量公式得：,OR, OP,OQ

131112

∵P、Q、R三点共线,∴由推论4知存在全不为0的实数k1，k2，k3使



OA3OBOB1OCOC2OA

)k2()k3()0k1(

111123



k1k2k30

3k3k11k1k2

)OA()OB()OC0, 即(

121313111112

2k2k3

且(

2k2

12





k313



)(

3k3

13



k111{共线向量的定理}.

)(

1k1

11

k2



k212

)0,而A、B、C三点不共线，由推论5得

2k2

12

k313

3k3

13

k111

1k1

11

12

0,∴1231，原命题得证。

例6 （塞瓦定理）若P、Q、R分别是ΔABC的BC、CA、AB边上的点，则，AP、BQ、CR三线共点的充

要条件是

BPCQAR

1。 PCQARB

证：必要性：如图，设P、Q、R分有向线段BC、CA、AB所成的比分别为1,2,3， 则

BPCQAR

11231. PCQARB

P

C

在平面ABC内任取一点O，令AP、BQ、CR三线交点为M，则A、M、P

三点共线，由推论4知，存在实数k1使



1k1kOB1OC11

k1OAOB1OC OMk1OA(1k1)OPk1OA(1k1)

111111

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