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球与几何体的切,接(一)
空间几何体切接球问题的处理方法
【球与几何体的切,接】 球体与其他几何体的内切、外接等问题在高考试题中较为常见。这类问题一般不易找到球心，要确定其半径，对学生空间想象能力、化归能力以及思维能力要求很高。本文将较系统地阐述几种常见解法。 一、定义法
解决球的问题，找球心及半径是解决问题的根本。
例1 如下图示，PA⊥圆所在平面，AC为圆的直径，BD是圆上不同于A、C的两点，PC=a，求四棱锥P-ABCD的外接球的体积.
解：因为PA⊥面ABCD，所以面PAD⊥面ABCD交于AD，而AD⊥CD，则CD⊥面PAD，CD⊥PD.同理CB⊥PB，取PC中点为O，在直角三角形PAC，直角三角形PBC，直角三角形PDC，有OP=OC=OB=OD=OA，即O点为外接球的球心，2R=PC=a，则R=■，所以V球=■πR3=■a3.
二、作截面
解决立体几何有一个基本的方法：即立体问题平面化，因而若可以做出过球心的截面图，则问题迎刃而解。
例2 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积.
解：如图为圆锥的一个轴截面，设圆锥底面半径为r，高为x，则r2=R2-（x-R）2=2Rx-x2，
则V圆锥=■πR2x=■π・（2R-x）・■・■≤■π・{■}3=■πR3.
例3 求棱长为a的正四面体（侧棱长等于底面边长的正三棱锥）的内切球与外接球的体积之比.
解：由正四面体得对称性可知，内切球心与外接球心是同一个点，过侧棱及球心作轴截面如右图示，设内切球半径为r，外接球半径为R，
R+r=H=a■a R2=r2+（■a）2
所以：R=■a r=■a
R：r=3：1 V内切：V外接=1：27.
三、构造法
在近几年高考题中，出现了几种特殊几何体的切接球问题，而它们的解决有一定的规律可循，如构造长方体，借助长方体模型可找到球的直径。
例4 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，且AB=■，AC=1，AD=■，求该三棱锥A-BCD的外接球的体积.
解：当长方体内接于球时，由球定义可知，它的体对角线中点即为球心，所以直径即体对角线长，而三棱锥中，出现三条侧棱两两垂直，以这三条侧棱为边可构造一个长方体，如图示，此三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，因而2R=■=■即V球=■π.
例5 已知球O的面上有四点，A、B、C、D，DA⊥面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，求球O的体积.
解：由于DA⊥面ABC，AB⊥ BC，构造长方体如左图示，因为DA=AB=BC=2，因此长方为正方体，体对角线CD即球O的直径，即2R=CD=2■，所以V球=4■π.
例6 已知三棱锥P-ABC，PA=BC=2■，PB=AC=10，PC=AB=2■，求该三棱锥的体积及外接球的体积.
解：构造一个长方体，三棱锥P-ABC各边分别为长方体的面对角线，如图示.
不妨令BE=x，AE=y，PE=z，则由已知有
x2+y2=164x2+z2=100y2+z2=136
解得x=6，y=8，z=10，
而三棱锥P-ABC的外接球即长方体EBGA-PDCF的外接球，2R=PG=■=10■，
所以V球=■πR3=■■π
VP-ABC=VAEBG-FPDC-4・VP-AEB=160.
综上所述，对于不同的几何体，要根据其本身的特点，选用不同的方法处理。当然，有些几何体切接球问题的解法可能不唯一。如正四面体的外接球问题，可以作截面图处理，也可以构造正方体处理，也可以用解析法，在几何体中建立空间直角坐标系，用待定系数法找到球心及半径。
参考文献：
聂海峰.切接球问题的转化途径[J].数理化解题研究（高中版），2007，（04）.
球与几何体的切,接(二)
2空间几何体的表面积和体积
【球与几何体的切,接】 本考点侧重考查空间几何体的概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力. 主要有两种考查形式，一是与三视图相结合考查；二是以组合体的形式（与球体的切、接）考查，考查难度中等以上. 还需注意的是，近年高考中有关空间几何体的体积的最值问题有加强的趋势. （1）理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积. 理解球的表面积和体积的计算方法.
（2）把握平面图形与立体图形间的相互转化的方法，并能综合运用立体几何中所学的知识解决有关问题.
该知识点的重点和难点是：不规则几何体体积的求解与转换，体积最值的探究等.
（1）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素. 解决旋转体的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.
（2）当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法直接运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利.
（3）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接. 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.
球与几何体的切,接(三)
无中生有长方体 巧解一类立体题
摘 要：长方体内蕴涵着丰富的点、线、面的相等、平行、垂直等关系，结构对称，是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体，亦是展开空间想象的重要依托。本文将通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈一谈巧建长方体的应用。 关键词：长方体；正方体；外接球
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）09-219-01
众所周知，长方体因其结构对称，各元素之间具有相等、平行、垂直等关系，内涵丰富，位居立体几何中的基本几何体首位，是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体，亦是展开空间想象的重要依托。
《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求：“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；……。”有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的重难点之一，本文将通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈一谈巧建长方体的应用。
例1：（2012年辽宁卷）已知正三棱锥P- ABC，点P，A，B，C都在半径为 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
解析：遇到“正棱锥中 PA，PB，PC两两互相垂直”的环境，易可构造正方体如图1，因正三棱锥P- ABC的外接球与该正方体的外接球为同一个球，所以线段PD为球直径，球心为线段PD中点O，由正方体的性质可得P到平面ABC的距离为线段PD的 ，O到平面ABC的距离为线段PD的 。此空应填：
长方体的一个角即是PA，PB，PC两两互相垂直的环境，不仅如此正方体模型还可“包容”正四面体环境，如下图2：其中正四面体 镶嵌于正方体之中，其外接球为同一个，正四面体棱长 ，则对应正方体的棱长为 ，正方体的体对角线为 ，所以球半径 。 依此办法可以轻松解决有关球内接正四面体的问题。
例2：（2006年山东高考题）在等腰梯形 中， ， ， 为 的中点，将 与 分布沿 、 向上折起，使 、 重合于点 ，则三棱锥 的外接球的体积为（ ）.
解析：不难发现题目中的“垂直”条件很是丰富，将题目中的三棱锥复原于长方体（正方体）中如下图：
由题意知，此正方体的棱长为1，球的半径为： 体积为： ，选A
例4：（2010全国卷1理数）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
解析：仔细分析题意，线面的垂直、平行关系虽早已不见踪影，但条件“AB=CD=2”仍可以帮我们将此四面体ABCD复原于长方体内，如下图六：
设长方体的长、宽、高分别为： ，则由题意得： ，又因为球半径为2，所以长方体的体对角线为4，即有 ，可得 ，所以 ，
而四面体ABCD相当于长方体切掉四个等大的“角”，所以四面体ABCD体积为长方体体积的 ，所以四面体ABCD的体积 ，而 ，由不等式得 ，体积的最大值为 ，当且仅当 时等号成立。
无中生有长（正）方体，巧解以上四个题皆是归功于最大限度地开发了存在于长方体中的丰富的线面的垂直、平行关系以及长方体特有的数量关系，巧妙地将“体形各异”的三棱锥复原于对应的长方体或正方体中，而三棱锥的外接球与对应的长（正）方体的外接球是同一个，所以球心的位置以及球半径与椎体棱长的关系则显而易见。
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