万有引力的公式

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万有引力的公式篇一
《万有引力公式》

一、万有引力定律：

适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量

G6.671011Nm2/kg2

二、万有引力定律的应用

42Mmv2

天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G2m2＝m2r

Trrm2r；地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G

（2）圆周运动的有关公式：＝

mM2

＝mg得出GM＝Rg。 2R

2

，v=r。 T

Mmv2

①由G2m2可得：v

rr

②由G

GM

r越大，v越小。 r

Mm2

mr可得：3r越大，ω越小。 2

rr

2

Mm23

③由G2mr可得：T2r

rT

④由G

GM r越大，T越大。

MmGM

maa可得：r越大，a向越小。 向向22rr

2．常见题型

（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）

42r3Mm2

由G2m r得M2

GTTr3r343

又MR得 23

3GTR

【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=

2

1

s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因30

11

自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.6710m/kg.s)

32

解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为，质量为M，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有

2GMm42

mRMR3 2

TR3

由以上各式得

3GT2

，代入数据解得：1.271014kg/m3。

点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。

（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力） 表面重力加速度：G

MmGMmgg 00R2R2

轨道重力加速度：

GMm

Rh2

mghgh

GM

Rh2万有引力的公式。

【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60。设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有

GMmr

2

mg ……

经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。

解析：题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法是

卫星表面

GmR2

＝g行星表面

GMR0

2

=g0即(

R02mg

)= RMg0

即g =0.16g0。

（3）人造卫星、宇宙速度： 人造卫星分类同步卫星

【例3】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步

卫星。两颗卫星相比号离地面较高；号观察范围较大；号运行速度较大。若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是。

解析：根据周期公式T=2

r3

知，高度越大，周期越大，则“风云二号”气象卫星

GM离地面较高；根据运行轨道的特点知，“风云一号”观察范围较大；根据运行速度公式V=

知，高度越小，速度越大，则“风云一号”运行速度较大，由于“风云一号”卫星的周期是12h，每天能对同一地区进行两次观测，在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度的地方时时间保持不变。则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午8点。

【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（） A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆 B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆

C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的 D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的

解析：卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供,且万有引力始终指向地心，因此卫星的轨道不可能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故A是错误的。由于地球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故B是错误的。赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动的，故C、D是正确的。

【例5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。

解析：如果周期是12小时，每天能对同一地区进行两次观测。如果周期是6小时，每天能对同一纬度的地方进行四次观测。如果周期是小时，每天能对同一纬度的地方进行nn次观测。

Mm42(hR)

设上星运行周期为T1，则有Gm

(hR)2T12GMm02mg物体处在地面上时有解得：T01

R2R

(hR)3

g

在一天内卫星绕地球转过的圈数为

TT

，即在日照条件下有次经过赤道上空，所以每T1T1

422R2R

次摄像机拍摄的赤道弧长为ST1，将T1结果代入得S

TTTT1

(hR)3

g

【例6】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）

A．它们的质量可能不同 C．它们的向心加速度可能不同

B．它们的速度可能不同 D．它们离地心的距离可能不同

解析：同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引力提供。设地球的质量为M，同步卫星的质量为m，地球半径为R，同步卫星距离地面的高

2

GMT42

度为h，由F引=F向， G=m2（R+h）得：h=-R，可见同步卫星离地

22T4(Rh)

mM

心的距离是一定的。

GMv2

由G=m得：v=,所以同步卫星的速度相同。

2RhRh(Rh)

mM

由G

mM(Rh)

2

=ma得：a= G

M(Rh)

2

即同步卫星的向心加速度相同。

由以上各式均可看出地球同步卫星的除质量可以不同外，其它物理量值都应是固定的。所以正确选项为A。

a2b2c

【例7】地球同步卫星到地心的距离r可由r求出，已知式中a的单位是m，2

4

3

b的单位是s，c的单位是m/s2，则：

A．a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度； B．a是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度； C．a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度万有引力的公式。

D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。 解析：由万有引力定律导出人造地球卫星运转半径的表达式，再将其与题给表达式中各项对比，以明确式中各项的物理意义。AD正确。

【例8】我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t＝7天后又顺利返回地面。飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。

①设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈?(用给定字母表示)。

②若h＝600 km，R＝6400 km，则圈数为多少?

GmMv2

解析：（1）在轨道上① m

Rh(Rh)2

v=

2(Rh)

② T

GmM

=mg③ R2

在地球表面：

联立①②③式得：T=

2(Rh)Rh



Rg

故n=

ttRg



T2(Rh)Rh

②代人数据得：n=105圈 （4）双星问题：

【例9】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

解析：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M1：G

M1M2R2

42R2l122

＝M1（） l1 ∴M2＝

2TGT

M1M2R2

对M2：G

42R2l222

＝M2（） l2 ∴M1＝

2TGT

42R2GT

2

两式相加得M1＋M2＝（l1＋l2）＝

42R3GT

2

。

（5）有关航天问题的分析：

万有引力的公式篇二
《万有引力三个推导公式的应用》

万有引力中三个推导公式的应用

——彭水第一中学校 罗炽华

摘要：万有引力定律这一章是学生感到十分头痛的一个章节，因为这一章的公式较多，变式也很多，繁杂、计算量又大。对学生的空间想象能力的要求也比较高，所以导致很多学生学习起来比较吃力。本文就将本章的公式归纳成三个推导公式，并用这些推导公式来解答这章的几种典型例题。

423关键词： 万有引力 GM中grGM中vr GM中2r T

2万有引力的公式。

2

一、 推导公式的导出

设有一个中心天体，其质量为M中,其半径为R，一质量为m的环绕天体绕其做圆周运动，周期为T，线速度为v,轨道半径为r, 环线天体在r处的加速度为g. 则根据G万mgF可以得到

M中mv2423

G2mgmm2r，于是有

rrT

GM中gr2, ………………………………………………① GM中v2r，………………………………………………②

423

GM中2r，…………………………………………③

T

注意：在使用这三个公式时必须明确各物理量之间的对应关系。 以下通过一些例题讲解如何利用这三个推导公式解决相关问题。 二、 公式的应用

1、 求未知天体质量

例1、 已知月球围绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，月球到地

心的距离为r，试求出地球的质量和密度。

423

解：在该题中已知T和r ,故应选公式GM中2r

T

42342r3

所以有GM地2r,解得M地

TGT2

42r3

2M地3r3又，所以233V地GTR地 R地

3

例2、 物体在一行星表面自由落下，第1s内下落了9.8m,若该行星

的半径为地球半径一半，那么它的质量是地球的几倍？ 解：

例3、 某星球的质量约为地球的9倍，半径为地球的一半，若从地

球上高h处平抛一物体，射程为60m，则在该星求上从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为多少？ 解：在星球表面平抛物体，物体将做平抛运动，由平抛运动规律可得

1

hgt2…… ① LV0t……② 2

物体在行星表面做的是自由落体运动，由自由落体规律

1

hg行t2代入数据可得

21

9.8g行12g行19.6m/s2

2再由公式GMgr2代入相应的物理量可得

12

219.6R地M行g行R行1

M地g地R地29.8R地

联立①②可得LV0

……③ g g

可知当V0,h一定时。L

2

1r2又由公式GM中gr可知

gGM中，又G是常量，所以

r2

L

M

L星R星2M地1，故射程为10m. 故有L地496R地M星

2、 地球同步卫星

例4.地球半径为R，距地心高为h有一颗同步卫星，有另一个半径为3R的星球，距该星球球心高度为3h处一颗同步卫星，它的周期为72h，则该星球平均密度与地球的平均密度的比值为( ) A.1:9 B.1:3 C.9:1 D.3:1

423

解：该题已知的是周期T，故应选用公式GM中2r

T

因而有

423

GM地h

T地GM星

4

3h)3T星

2

423

h2

T地

M地M星

所以 3、

4

R地3地，其中T地24h,T地72h2

3R星3星423h）3T星

星1

,应选答案A。

地9

航空航天

例4、 我国在2007年成功发射一颗绕月球飞行的卫星，计划在

2012年前后发射一颗月球软着陆器，在2017年前后发射一颗返回式月球软着陆器，，进行首次月球样品自动取样并完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月天津市做圆周运动的轨道舱，其过程如图所示，设轨道舱的质量为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r,引力常量为G，则试求： （１）月球的质量

（２）轨道舱的速度和周期。

解：（１）当轨道舱在月球表面上做圆周运动，已知g和R，应用公式GM中gr2

gR2可得M月

G

（2）当轨道舱到月球中心距离为r的轨道上做圆周运动时，

GM月gR2g要求v和T，可用公式GM中vrR

rrr

2

423r32r用公式GM中rT2

TGM月Rg

小结：虽然这三个公式仅仅是通过微小的变换而得，但是只要对它们有清楚的了解，正确运用，对于提高解题速度和思路会起很大的作用。通过在教学中的实践发现，学生在做题时知道解题的思路，但是在用公式时会把公式中的物理量代换错，说明平时需要强调公式中物理量之间的对应关系。

万有引力的公式篇三
《高中物理万有引力定律教案》

　　物理学的发端始于人类对理解星体运行的追求。三百多年前，万有引力定律的发现堪称人类文明与理性探索进程中最壮丽的诗篇，其所体现出的科学智慧的震撼力， 至今仍为世人所叹服，它第一次把看似毫不相关的地上与天上运动统一起来，第一次揭示大自然的对称和谐与物理规律表达简洁而含蓄的内在美，并作为牛顿的“从 运动现象研究自然力”的又一个科学思辨范例，而不断为历代科学家所效仿。从物理学史进程中，可以看出《万有引力定律》这节内容是对上两节课教学内容的进一 步推演，并与之构成本章的第一单元内容。

　　教学目标

　　知识与技能

　　1.了解万有引力定律得出的思路和过程，知道地球上的重物下落与天体运动的统一性。

　　2. 知道万有引力是一种存在于所有物体之间的吸引力，知道万有引力定律的适用范围。

　　3. 会用万有引力定律解决简单的引力计算问题，知道万有引力定律公式中r的物理意义，

　　了解引力常量G的测定在科学历史上的重大意义。

　　4. 了解万有引力定律发现的意义。

　　过程与方法

　　1.通过演绎牛顿当年发现万有引力定律的过程，体会在科学规律发现过程中猜想与求证

　　的重要性。

　　2.体会推导过程中的数量关系.

　　情感、态度与价值观

　　1. 感受自然界任何物体间引力的关系，从而体会大自然的奥秘.

　　2. 通过演绎牛顿当年发现万有引力定律的过程和卡文迪许测定万有引力常量的实验，让

　　学生体会科学家们勇于探索、永不知足的精神和发现真理的曲折与艰辛。

　　教学重点、难点

　　1.万有引力定律的推导过程，既是本节课的重点，又是学生理解的难点。

　　2.由于一般物体间的万有引力极小，学生对此缺乏感性认识。

　　教学方法

　　探究、讲授、讨论、练习

　　教 学 活 动

　　(一) 引入新课

　　复习回顾上节课的内容

　　如果行星的运动轨道是圆，则行星将作匀速圆周运动。根据匀速圆周运动的条件可知，行星必然要受到一个引力。牛顿认为这是太阳对行星的引力，那么，太阳对行星的引力F提供行星作匀速圆周运动所需的向心力。

　　学生活动： 推导得

　　将V=2πr/T代入上式得

　　利用开普勒第三定律 代入上式

　　得到：

　　师生总结：由上式可得出结论：太阳对行星的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳的距离的二次方成反比。即：F∝

　　教师：牛顿根据其第三定律：太阳吸引行星的力与行星吸引太阳的力是同性质的作用力，且大小相等。于是提出大胆的设想：既然这个引力与行星的质量成正比，也应跟太阳的质量M成正比。即：F∝

　　写成等式就是F=G (其中G为比例常数)

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