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【一】:2016年山东省高考理科数学试卷解析版
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学解析
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填
写在答题卡和试卷规定的位置上．
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号．答案卸载试卷上无效．
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
－2i，其中i为虚数为单位，则z= （1）若复数z满足2z+z=3
－2i （A）1+2i （B）1
【解析】 设 z=a+bi,(a,b∈R)，
则2z+z=z+(z+z)=a+bi+2a=3a+bi=3－2i， 所以a=1,b=－2，故选（B）
（2）已知集合A=yy=2x,x∈R,B={xx2－1<0}，则AB=
（C）－1+2i
－2i （D）－1
{}
－1,1) （B）(0,1) （C）(－1,+∞) （A）(（D）(0,+∞)
（0，+∞）,B=（－1，1）－1,+∞)，故选（C） 【解析】 由题意A=，所以AB=(
（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，
[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于
22.5小时的人数是
（A）56 （B）60 （C）120 （D）140
【解析】 由图可知组距为2.5，
每周的自习时间少于22.5小时的频率为
(0.02+0.1)×2.5=0.30
所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是
（1－0.30）=140人，故选D． 200×
xy222
（4）若变量x,y满足2x3y9，则x+y的最大值是
x0
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12 【解析】 由x+y是点(x,y)到原点距离的平方， 故只需求出三直线的交点(0,2),(0,3),(3,1)， 所以(3,1)是最优解，
2
2
x2+y2的最大值是10，故选C
（5）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为
（A）
1212+π （B）+π 3333
122（C）+π （D）1+π
366
【解析】 由三视图可知,半球的体积为
2π, 6
四棱锥的体积为
112,所以该几何体的体积为+π，故选C． 336
（6）已知直线a,b分别在两个不同的平面α、β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面α相交”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【解析】 由直线a和直线b相交，可知平面α、β有公共点，所以平面α和平面β相交． 又如果平面α和平面β相交，直线a和直线b不一定相交．故选A．
（7）函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是
（A）
π3π
（B）π （C） （D）2π 22
π
（2x+）【解析】 由f(x)=2sinxcosx+cos2x=2sin
3
所以，最小正周期是π，故选B
（8）已知非零向量m,n满足4m=3n,cos<m,n>=
1
，若n⊥(tm+n)则实数t的值为 3
（A）4 （B）—4 （C）
99 （D）— 44
12
【解析】 因为nm=m•ncos<m,n>=n，
4
由n⊥(tm+n)，有n(tm+n)=tmn+n=0， 即(+1)n=0，所以t=—4，故选B
2
t4
2
3
（9）已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x－1；当－1≤x≤1时，
111
f(－x)=—f(x)；当x>时，f(x+)=f(x－)，则f(6)=
222
（A）—2 （B）—1
（C）0 （D）2
【解析】由f(x+)=f(x－)，知当x>
1
2121
时，f(x)的周期为1，所以f(6)=f(1)． 2
－1)． 又当－1≤x≤1时，f(x)f(x)，所以f(1)=—f(
于是f(6)f(1)f(1)[(1)1]2．故选D．
（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是
（A）y=sinx （B）y=lnx （C）y=e （D）y=x 【解析】 因为函数y=lnx，y=e的图象上任何一点的切线的斜率都是正数； 函数y=x的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T性质．故选A．
3
x
x
3
3
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9， 则输出i的值为
【解析】i=1时，执行循环体后a=1,b=8，a>b不成立；
i=2时，执行循环体后a=3,b=6，a>b不成立；
i=3时，执行循环体后a=6,b=3，a>b成立；
所以i=3，故填 3.
（ax+（12）若
2
15
)的展开式中x5的系数是－80，则实数a=
x
223
【解析】由C（5ax）
12235
)C5ax－80x5， x
得a=－2，所以应填－2．
x2y2
（13）已知双曲线E:22=1(a>0,b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，
ab
AB,CD的中点为E的两个焦点，且2=3BC，则E的离心率为【解析】由题意BC=2c，所以=3c，
3cc29c2
（c,)在双曲线E上，代入方程，得22=1， 于是点
2a4bc
在由a+b=c得E的离心率为e==2，应填2.
a
2
2
2
－1,1]上随机的取一个数k，则事件“直线y=kx与圆(x－5)+y=9相交”（14）在[
发生的概率为
【解析】首先k的取值空间的长度为2，
22
33
k[－,]， 由直线y=kx与圆(x－5)+y=9相交，得事件发生时的取值空间为
44
2
2
3
333其长度为，所以所求概率为=，应填． 2424
（15）在已知函数f(x)=，其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是
【解析】因为g(x)x－2mx4m的对称轴为x=m，
所以x>m时f(x)=x－2mx+4m单调递增，只要b大于g(x)=x－2mx+4m的最小值4m—m时，关于x的方程f(x)=b在x>m时有一根；
又h(x)=x在x≤m，m>0时，存在实数b，使方程f(x)=b在x≤m时有两个根，只需0<b≤m；
2
2
22
（3，+∞） 故只需4m—m<m即可，解之，注意m>0，得m>3，故填．
2
【二】:2016年山东省高考数学试卷(理科解析)
2016年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
解：复数z满足2z+=3﹣2i，
设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．
解得a=1，b=﹣2．
z=1﹣2i．
故选：B．
x22．设集合A={y|y=2，x∈R}，B={x|x﹣1＜0}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
x解：∵A={y|y=2，x∈R}=（0，+∞），
2B={x|x﹣1＜0}=（﹣1，1），
∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
故选：C．
3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，
25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D
224．若变量x，y满足，则x+y的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12 解：由约束条件作出可行域如图，
∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|， 联立，解得B（3，﹣1）． ∵
22， ∴x+y的最大值是10．
故选：C．
5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
A．+π B．+π C．+π D．1+π
解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．
故R=，故半球的体积为：=π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V=， 故组合体的体积为：+π，
故选：C
6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，
当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，
故选：A
7．函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）
A． B．π C． D．2π
cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+）， 解：数f（x）=（
∴T=π，
故选：B sinx+cosx）（
8．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+）， ∴•（t+）=t
•+2=t||•||
•+||=（2）||=0， 2
解得：t=﹣4，
故选：B．
39．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=
﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
3∵当x＜0时，f（x）=x﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
x3A．y=sinx B．y=lnx C．y=e D．y=x
解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx时，y′
=＞0恒成立，不满足条件；
当y=e时，y′=e＞0恒成立，不满足条件；
32当y=x时，y′=3x＞0恒成立，不满足条件；
故选：A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为
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