基于数学学科素养的课堂教学--目标活动与评价

【www.zhuodaoren.com--教学反思】

基于数学学科素养的课堂教学--目标活动与评价(一)
构建基于核心素养的数学课堂

构建基于核心素养的数学课堂

——市直片区高中数学教师现场教学比赛有感

一、缘由

近日，市教科院举办了市直片区高中数学教师教学比赛。十一位参赛老师经过第一阶段书面教学设计（课题给定）、现场准备并说课（课题抽签确定）和围绕数学教学热点而展开的话题演讲等环节的角逐，产生前五名选手参加课堂教学比赛（借班上课），从中再选出一位老师参加全市的PK。笔者有幸担任比赛的评委。比赛中，老师们经过精心准备，倾力展示，精彩纷呈，评委们和观摩老师为参赛教师的专业水准而折服，为其风采而欢呼不止。由于活动的各环节设计科学，组织有序，安排紧凑，注重现场，追求实效，最大程度的考察了参赛老师的业务功底和作为教育者的机智等全方位的素质。

二、课堂简录

现场教学比赛的课题为高二级进度课《二项式定理》，下面简要回顾比赛中的相关情况，结合体会，谈点拙见。

Z老师：以“82016天后是星期几”这一问题引入课题，配合“n(n2,3,...)个篮子，每个篮子放有一个苹果和一支香蕉，从每个篮子中各取出一个水果，可能出现的情况”的情景展开教学；并主动引导学生考虑相应的(ab)n的展开式表达，紧接着形成定理，展开后续知识（项数，次数，二项式系数，二项式展开式的通项等）的教学。（后略）

L老师：以“n个篮子，每个篮子放置分别写有字母a，b的两张卡片，从每个篮子中各取出一个卡片的配对”的游戏主导课堂，用时30分推得二项式定理；再展开后续知识的教学。（后略）

Q老师：以n个开关组（每组含a，b两个开关，每组仅能且只能闭合其中一个开关）的联通形成电流回路的案例引入，归纳出数学模型(ab)，并努力引导学生细致分析各开

1n1knkkn1关组开关闭合的情况，得到全部可能， 为anCnab...Cnab...Cnabn1

1n1knkkn1bn，从而推得(ab)nanCnab...Cnab...Cnabn1bn，再运用数n

学归纳法予以证明。由于引入的案例表述艰涩难懂，花了不少时间予以解释，造成后续知识无法完成。（后略）

H老师：忠实于教材的编排，是从(ab)，(ab)，(ab)的展开式探讨开始，逐渐将“展开式中项的构成”、“各项的二项式系数”等知识融入，不失时机的引导学生归纳

（后略） (ab)n的展开式，并予以证明，再展开后续知识的教学。

S老师：从n(n2,3)个袋子（每个袋子分别装有一个红球a及一个黑球b）摸球游戏入手，将摸球结果的“类”与(ab)，(ab)的展开式中的项相类比，合理推广到(ab)234234的展开式，接着归纳推出二项式定理，再展开后续知识的教学。（后略）

三、简要分析

从上述课堂实录中，可发现，五位参赛老师均能够准确把握课的重点——二项式定理

的得出和难点——二项式定理的证明。为了突出重点，突破难点，都相应设置了情景或做合理的铺垫。课堂中，老师们能关注学生的认知起点，注重充分调动学生学习的积极性，促进学生主动的构建、完善知识结构，尊重学生学习上的差异，注重师生互动，及时把握课堂的动态，层层递进，充分体现学生的主体性，彰显教学民主。教学设计的细致、教学组织的严密、情景引入的用心、教学语言的精准、学生调动的不遗余力、课堂驾驭的自信、教学机智的展现等，都有可取之处，值得观摩者好好揣摩借鉴。

但是，一些所谓的老生常谈的教学原则问题还是可再作进一步探讨。

四、探讨反思

1、如何创造性使用教材？

本节课名为《二项式定理》，安排在排列组合之后，从知识的发展来看，感觉有点突兀。也是这一安排的缘故，五位老师中的四位都设置与组合知识有关的情景，并以情景为主导展开教学，逐渐引导学生类比到二项式的展开式。这种做法无疑分化了“二项式展开式”产生中固有的障碍，也使定理证明变得容易理解些。从表面看，对教材做了这样相应的再创造，似乎还是值得的。但是，依实际的教学效果而言，却是H老师忠实于原教材编排的教学尤为出色。这又是为什么呢？我们从知识体系看，学生初中学习了(ab)2，(ab)3的展开式，自然会有(ab)4、(ab)5、„等的展开式的探究需求（虽然这种心理需求依赖于教者的发掘显化），从特殊到一般，也就有(ab)n的展开式学习需求；其实组合的知识仅仅为证明定理的工具而已。所以，利用学生的已有的学习体会（(ab)2，(ab)3的展开式的体会），比用组合相关的情景引入，更合乎知识的发生发展，更合乎学生的内在知识学习渴求，所以，我们大可按照知识的发生发展脉络来设计教学，没有必要另弄一块敲门砖（情景和游戏的设置），搞成本末倒置。而且，设置了情景和游戏的老师在教学中，还得处心积虑的引导学生做竭力的类比，抽象出(ab)的展开式，舍近求远，显得迂回曲折的“绕”，知识核心没有有效凸显。其中，Q老师的情景设计又与其他老师相异，其本意为“数学源于实际并用于实际”，但由于情景偏于编造，用词艰涩难懂，教学中花费了好多时间予以解释，更是冲淡了主题，知识核心难以凸显。我们不提倡“掐头去尾烧中段”，但也不能因此而生硬粗暴的安装上“头”和“尾”，而应追求本质常态，避免不必要的为“应景”而“应景”的矫揉造作。简言之，创造性的使用教材，不可简单理解为就是需要创设情境，而更应重视知识的内在逻辑，以知识发展的主线来考虑教学的切入点和教材的解构。

2、 备课要精心备什么？

课的重难点。各个知识点，各个知识板块落实到课堂教学中，有相对固定、公认的重难点，这是“名义上”的重难点，同时我们也应该关注“实际上”的重难点。学生的接受能力，已有的认知水平，具备的学习研究状态等都应该是我们考虑课的实际重难点的依据和出发点。比如本节课的重点应为以“(ab)，(ab)的展开式为抓手，运用计数原理归纳得出二项式定理”，而“证明二项式定理”其实就在其中了。

知识的生长点。本节课的生长点就是(ab)的展开式及用计数原理的全新诠释，从简到繁，逐渐引导学生用计数原理的重新诠释(ab)的展开式，乃至(ab)的展开式、„、34223n【基于数学学科素养的课堂教学--目标活动与评价】

(ab)n的展开式，即二项式定理。

重难点突破的有效方法。有了重难点，教学就有方向性，课堂和后续的质量监控检测也有着力点。只有组织相应的方法、实招对重难点予以突破，教学任务才能得以有效完成。

学习过程的可能障碍。教师要善于置换身份，以学习者的视角审视、评估学习任务和学习过程，既要对学生可能出现的学习障碍做好分析，又要对学生无法发现的疑惑而留下的学习隐患充分估计，设计相应的解决预案或问题串，加以暴露启发。如引导学生运用计数原理重新诠释(ab)2的展开式后，过渡至(ab)3的展开式，乃至(ab)4的展开式的探讨，其关键之处还在展开式中项的构成和系数的确定。对(ab)4的展开式的探讨，H老师就相应设置了一系列的问题引发学生的思考：①从特殊性看，必有哪一项？（a，b）；②从计数原理看，该项是如何构成的？③展开式中是否含有ab这一项？ab呢？为什么？④你认为(ab)4的展开式应该有哪些项？⑤这些项的系数该如何确定？，„„，经过教者有意识的挖掘和暴露，不断为学生提供脚手架，使学生的学习经验和体会得到有意义的显化和积累，支撑了后续(ab)n的展开式的探讨学习，为本节课教学目标的实现奠定了基础。

课的立意。教学既然是一种艺术，与文艺作品相类似也有“立意”的考量。在平常的课堂教学中，往往教师顾及到的仅仅是课堂中知识目标的实现，值得欣喜的是已有越来越多的教师意识这种教学的局限性，逐渐在修正自己的教学行为。实际上数学中能对学生的发展有帮助的，并不是一个个的孤立的知识点，而是知识点背后积累而成的“干货”，包含数学思想方法，问题研究分析方法，讲理、讲逻辑、追求客观公正的品质养成等等。也就是这些“干货”才有可能对学生的知识技能的习得、学习行为方式，乃至研究潜质等会发生持续的影响。新一轮课改中提出的学科素养，无疑是对“立意宜高远”的教学的迫切呼唤。本节课不应该仅定位于“二项式定理的得到、推证”及其初步运用这一“眼前利益”，还应该立足于学生发展的“长远考虑”——从特殊到一般的归纳，证明结论的工具选择（模型、计数原理）等。在教学中引导学生予以回顾、显化，主动纳入其认知系统，促进学生个体的持续发展。

3、 如何处理生成与预设的关系？

只有做足了预设，充分考虑到课的推进过程中可能出现的诸多状况，这样的教学才有可能是精彩。但也不等同于就必定精彩。比赛中，Q老师的教学设计本意为“数学源于实际并用于实际”，相应设计了情景模型以归纳出二项式定理：

1n1knkkn1(ab)nanCnab...Cnab...Cnabn1bn，再予以证明。从设计32244

看，数学味道浓厚，值得肯定。但是实际的教学中，由于情景用词艰涩难懂给学生带来诸多不适，再加上所任班级的整体水平无法顺畅实现模型抽象的过程，教师花费大量时间予以解释和启导等帮助，教学已难于正常推进。在这种情况下，应该及时调整教学策略，使后续的教学更为流畅。也就是说，当我们的调子定的甚高而学生无法“和唱”时，必须“降调”。L老师的课堂却是由于“调子定得低”，学生没有“酣畅淋漓的唱” ，产生另一种的“不协调”。 L老师以游戏为主导，教学行进中给人的感觉是以游戏带动知识的学习。对于低年级学生来说，这不失一种好方法。但相对于已具备一定理性思维的高二学生来讲（该班又是年级的高层次班），未“跳一跳”就可摘得到了，挑战性还是不够的。所以要提高课的效度，

就应该适当提高教学起点，将其思维引向深入。所以，从这个视角来说，教师相当于一个领唱者，既要善于“定调”，也要善于根据实际的课堂情况进行必要的“升调”或“降调”的“变调”。在不动声色的变调中，引发学生恰如其分的参与课堂，达到精彩的“生成”。当然这种适当及时的调整，依靠教师扎实的功底，依靠自身对教学精准理解，依靠对课堂把握调控的自信。

结束语

上轮高中数学课改促进了教师的教学方式在一定程度上的改进。“三维目标”也成为了上轮课改的关键词。为落实“立德树人”，以中国学生应具备的核心素养为统领，近期，高中数学也跟其他学科一样，开始启动课程的修订。本次修订以学科核心素养为基础，以确立学业质量标准为抓手，再次推进课程的改革。这又是一个新的挑战。相信越来越多的教师，会认识到以高考和分数为终极目标的课堂教学已是一条“囧途”，逐渐追求以培养学生讲理、客观、求真的品质，以提高学生数学素养的数学课堂教学，回归原点，还数学课堂的“本真”。

基于数学学科素养的课堂教学--目标活动与评价(二)
获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标

获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标

黄翔 童莉

正在试验的《全日制义务教育数学课程标准(试验稿)》(2001年，以下简称《标准》)在数学课程总体目标中是第一次明确地将“数学活动经验”列入课程目标之中。2005年5月开始，教育部展开了对《标准》的修订工作。就目前公开征求意见的文本来看，“数学活动经验”在课程目标中被进一步明确，地位进一步得到凸显。学生数学活动经验的获得应作为数学课堂教学目标予以落实。

一、数学活动经验作为课堂教学目标提出的必要性分析

(一)数学课堂教学的现状

长期以来，在数学课堂上，围绕着“双基”，形成了“习题演练”“变式训练”“精讲多练”等行之有效的教学模式与方式。这也成为我国数学教学值得肯定的成功经验。但另一方面，在应试的背景下，往往偏重于以达到立竿见影的显性效果为目的的熟练性训练(如题型的强化训练)，而忽略促使学生生动活泼地学习与发展的长效性目标。总体看来，学生学习的经验主要被解题的经验所替代，学生数学活动经验单一和不足已是一个不争的事实。 虽然《标准》已明确把学生获得丰富的“数学活动经验”列入了课程目标，但课程改革的第一线对此并未作出反应。笔者曾多次参加课改的调研，发现“数学活动经验”还没有成为中小学教师在日常教研中所使用的关键词，在具体的课堂上并未有意识地围绕这一目标设计教学过程。当问及与数学活动经验目标相关的问题时，也是摇头者居多。另外，笔者检索了课改八年来的数学教育论文和专著，发现直接以“数学活动经验”为关键词的极为鲜见。从教学实践和教学研究来看，均缺乏对“数学活动经验”目标的重视，这种现象确实值得我们关注。【基于数学学科素养的课堂教学--目标活动与评价】

(二)数学新课程实施的必然要求

数学新课程的推进需要我们加强对“课程”内涵的理解，而“课程”这一课程论中最基本的概念却又是一个词义极为丰富且不断发展变化的概念。过去我们对课程内涵的理解侧重于学科知识或目标计划维度，这是对“课程”的一种静态认识。随着新课改的推进，我们更多的是用“课程”的动词形式“currere (to run a racecourse，即经历课程)来描述数学课程，课程内涵愈来愈被赋予了动态的意义：一是“课程即体验”，认为学习者本人是课程意义的生成者与诠释者，课程要提供一种充满情感、富有思考、感受多重的真实体验；[1]二是“课程即活动”，认为课程是人的各种自主活动的总和，学习者通过与活动对象的相互作用来实现自身各方面的发展。可见，在课程实施中应加强对“人”的关注，对其活动经验的关注，这是“以人为本”的课程理念的突出表现。

数学新课程实施应以学生数学素质的养成为核心目标。这里的数学素质是一种多层次的主体结构，包含知识观念、创造能力、思维品质、科学语言等多个层面的内涵。[2]仅仅通过知识的掌握、技能的训练是不足以实现的，它作为一种后天习得的结果，个体获得的主要途径是课堂中的数学活动，获得的过程是一个能动的选择、反省与建构的过程，而这一系列活动又是建立在个体经验的基础之上。因此，课堂教学中学生数学活动经验的获得是学生数学素质养成的必要条件。

二、对数学活动经验的基本认识

《标准》虽然将学生数学活动经验的获得作为数学课程教学的目标，但缺乏对“数学活动经验”内涵的分析，以致教师对数学活动经验认识不清，无法真正将其作为数学课堂教学关注的目标。因此，有必要对这一目标提出的依据、合理性及数学活动经验的特征做一基本分析。

(一)将数学活动经验作为数学课堂教学目标的依据及合理性

1．从教育哲学的角度看数学活动经验

经验是教育哲学范畴中一个极为重要的概念，这一概念与教育哲学的本体论、认识论密切相关。杜威在《民主主义与教育》中指出：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”[3]这里的“经验”概念包括两重意义，一是经验事物，另一是经验的过程，仅仅把经验理解为人们主动活动的结果是片面的，不可取的。杜威认为，“一盎司经验胜过一吨理论”，发展是儿童在先天本能与冲动的基础上，通过与环境的相互作用而不断增加经验的意义的过程，并由此得出“教育是在经验中、由于经验和为着经验的一种发展过程”。[4]从杜威关于“经验”的教育哲学观点可以看出，经验是课程与教学的基本构件，经验的习得与发展是课程与教学追求的目标。由于经验是在与环境的相互作用中产生的，数学活动是数学经验的主要来源，所以，将数学活动经验的获得作为课程目标、教学目标是合理的。

2．数学观的变化引起人们对数学活动经验的重视

究竟应该如何看待数学?数学本身的发展迫使我们不得不从多个维度来认识它的本质。作为认识数学的一种观点，数学究竟应被看成是人类的一种活动，还是等同于这种活动的最终产生物?郑毓信教授认为，“采取前一种立场的即是所谓的‘数学活动论’。„„数学活动论的兴起正是数学哲学现代发展的一个重要特点”。[5]

这样的数学观直接影响到我们树立相应的数学教育观。在数学教学中“把数学只看做是一门纯理论的学科，认为数学是由西方的权威们所提出来的一些东西„„那是危险的。我们必须强调数学的多维性，„„数学活动有着自己的规律和过程”[6](尼斯，1994)。遵循这样的认识，学生在数学学习中的活动及其经验的获得更引起了重视，正如《标准》指出：数学教学活动“既要考虑数学自身的特点，也要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发„„数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”“应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们„„获得广泛的数学活动经验”。

[7]

3．从数学经验与学生心理发展的关系看数学活动经验

《标准》研制之初，数学课程与学生心理发展的关系是研究的专题之一，新课程试验六年来，数学学习心理的研究也始终是各方关注的重点，归纳一下，如下业已形成的共识为我们认识数学活动经验提供了科学的视角。

共识一：课本知识不应当是独立于学生生活的“外来事物”，不应当只视为由抽象符号所构成的一系列客观数学结论或事实，在学习中，知识是通过认知主体的积极建构而获得的，因此知识可以视为个人经验的合理化和系统化。

共识二：学生数学学习的过程是建立在经验基础之上的一个自我再创造(或创新构造)过程。在这一过程中，学生通过多样化的活动，不断获得、积累经验，分析、理解、反思经验，从而获得发展。

共识三：学生数学学习过程应当是富有个性的、满足多样化学习需求的过程。对某一数学对象而言，其客观属性的表述是唯一的，而学生对这一对象的认识是有个性特征的，在对这一对象认识的过程中所获得的经验却又是多样化的，因而学生的发展也不会是同一的。 从以上这些对数学学习心理过程与特点的认识可以看出，数学课堂教学目标的实现并非单纯体现于学生接受的数学事实，它更多的是通过对数学思想方法的感悟，对数学活动经验的条理化，对数学知识的自我组织等来实现的。

4．数学活动经验在数学课程目标中的地位

课程目标是新课程实施的导向，数学课程目标反映了《标准》对未来公民在与数学相关的基本素养方面的要求，也反映了数学课程对学生可持续发展的教育价值。在《标准》实验

稿中，学生知识技能的获得仍是重要的课程目标之一，但对数学知识的理解发生了变化，数学知识不仅包括“客观性知识”，即那些不因地域和学习者而改变的数学事实(如定义、公式、法则、定理等)，而且包括从属于学生自己的“主观性知识”，即带有鲜明个体认知特征的个人知识和数学活动经验，它是经验性的、不那么严格的、可错的。可见，数学活动经验属于学生的主观性数学知识的范畴，它形成于学生的自我数学活动过程之中，伴随着学生的数学学习而发展，反映了学生对数学的真实理解。虽然，数学活动经验是在知识与技能目标中提出的，但在其他三个目标中也有所涉及，如在“数学思考”目标中，提到“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”，“发展统计观念”“发展合情推理能力”；在“解决问题”目标中，提到“体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神”；在“情感与态度”目标中，提到“在数学学习活动中获得成功的体验”。这表明，数学活动经验与四个目标有着密切的关系，四个目标是一个有机的整体，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的，数学活动经验是四个目标联系的纽带，贯穿于整个目标中，数学活动经验的获得是实现四个目标的重要途径。

(二)数学活动经验的特征分析

基于以上从多种角度对数学活动经验成为数学课堂教学重点关注目标的合理性的探讨，我们感觉数学活动经验不像事实性知识那样“看得见、摸得着”，不容易对数学活动经验下一个精确的定义，但我们可以从上面的探讨中看出数学活动经验具有以下特征。

1．主体性。数学活动经验是基于学习主体的，它带有明显的主体性特征，因此也就具有学习者的个性特征，它属于特定的学习者自己。

2．实践性。数学活动经验是学习者在学习的活动过程中所获得的，离开了活动过程这一实践是不会形成有意义的数学活动经验的。

3．发展性。数学活动经验反映的是学习者在特定的学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验性认识，这种经验性认识更多的时候是内隐的、原来的或直接感受的、非严格理性的，也是在学习过程中可变的。

4．多样性。即使外部条件相同，针对同一对象，每一个学生仍然可能具有不同的经验。

三、数学课堂教学应致力于学生数学活动经验的获得

数学活动经验作为一种隐性知识，感觉非常抽象、操作性不强，但我们可以根据其特征和内涵，加深对数学活动经验的认识，使学生数学活动经验的获得具有现实的可行性。如下策略或途径值得我们关注并探讨。

(一)设计一个好的数学活动

数学活动经验是在活动中产生的，因此使学生获得数学活动经验的核心是要提供一个好的活动。什么是一个好的数学活动呢?笔者认

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