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物理中的三角形法则(一)
高一物理：力的封闭三角形法则使用
高一物理：力的封闭三角形法则使用 王尚 2015-12-21 23:46
学生问题：王老师您好，看了您关于高中物理教学的文章感觉收益很多，课下我也一直在用物理自诊断学习系统学习。
目前，我们学校已经学完了高一物理必修1所有内容，有一个知识点，我不是很清晰，什么时候用力的封闭三角形法则解题呢？
一般不都是用正交分解法吗？大部分情况下老师都在说正交分解法，有的时候突然就来个力的封闭三角形法则。
考试中，我遇到受力分析的问题，我到底选择哪个，有什么依据吗？ 王尚老师：物体在几个共点力作用下处于静止状态（或匀速直线运动状态），作用在物体上的这几个力的合力为零。这一点可以通过牛顿第二定律佐证。
若物体在三个共点力的作用下处于静止状态（或匀速直线运动状态），
那么这三个力的合力必为零，此时可运用三角形法则进行分析与求解。王尚提醒同学们要注意是两个前提条件：受力平衡+只有三个力。 力的三角形法则定义
三个共点力的合力为零时，若用平行四边形定则求出任意两力的合力，这个合力将代替原来的两个力，这样，三力平衡问题就变成了二力平衡问题，合力与第三个力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。 若将表示三个力的矢量平行移动，使其依次首尾相接，不难得出这三个力将构成一个封闭的三角形。这就是求解与分析三个共点力平衡问题的三角形法则，源于力的平行四边形法则。运用三角形法则作出表示力矢量的三角形后，这时我们可利用力的封闭三角形的知识与方法来进行分析与求解。
如图1所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α＝60°。wuli.in则小球的质量比m2/m1为
A．
B．【物理中的三角形法则】
C．
D．
解析：选碗中的小球m1为研究对象，如图2所示，由于碗的内表面光滑，它受竖直向下的重力mg、从m1（质点）指向球心O的支持力N（弹力）、沿细线斜向上的拉力T（弹力）三个力的作用而处于静止状态，由力的平衡条件可知，它们的合力为零，故将表示这三个力的矢量平行移动依次首尾相接，将构成封闭三角形，如图3所示。由正弦定理有：
，由于碗边缘光滑，相当于定滑轮，故有：
。解两式得：
。本题选A。
该题也可以用正交分解来做，不过相对而言，计算量略大一些。（文王尚）
作者：王尚；北京西城物理教师，高中物理网力学组主编。 /
物理中的三角形法则(二)
夏显奇矢量三角形法则在物理解题中的应用
矢量三角形法则在物理解题中的应用
夏显奇
（云南师范大学2011级学科教学（物理）教育硕士）
摘要：矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来等效替代，应用矢量三角形法则可以求解动态平衡问题，求物理量的极值及研究抛体运动，利用矢量三角形法则再结合数学知识，可以使很多物理问题迅速得到解决,而且非常直观显见、简捷。
关键词：矢量三角形；动态平衡；极值；抛体运动；直观
1. 引言
矢量概念是高中物理教学中引进的重要概念之一，在物理中，将有大小和方向的量称为矢量，如力、位移、速度、加速度、动量、冲量等物理量都是矢量。平行四边形是一切矢量合成的普遍法则，在许多矢量合成与分解的问题中，尤其是一些动态变化的问题，应用平行四边形法则导出的矢量三角形法则进行分析求解就显得很方便快捷。矢量三角形法则作图简单，线条较少，图象清晰，在讨论某些变化的矢量或矢量的增量时，有时比平行四边形法则更清楚、方便。矢量三角形不但可以处理力的问题，它同样可以处理与速度、加速度、动量等有关的矢量问题。
2. 矢量三角形的建立
2.1 矢量三角形1
CF21丙 F12乙
在 图1甲中，F是共点力F1和F2的合力，构成平行四边形，该
图1
平行四边形含有两个全等的三角形，每一个三角形都包含了三个矢量的大小和方向，因此，如果我们只取其中的一个三角形，如图1乙所示，从O点出发，把代表F1和F2的线段OA、AC首尾相接地画出来，连接O和C，从O指向C的矢量就表示合力F的大小和方向。上述作图法叫做力的三角形定则，其合矢量与分矢量的关系是：两个分矢量首尾相接，分矢量与合矢量首首相接，尾尾相接，作三角形OBC，如图1丙所示，同样可以求出F1和F2的合力F。图1乙、丙中矢量三角
形的数学表达式为:F1F2F。
2.2 矢量三角形2【物理中的三角形法则】
F3F乙
图2 1
三个力F1、F2、F3使物体处于平衡状态，如图2甲，由力的平衡知
识知道，F1、F2的合力F3与力F3等大、反向，如果把F3平移到F3的位置上，则构成如图2乙的三角形。图2乙中矢量三角形的数学表达式为:F1F2F30。若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则代表三个力的有向线段必定构成首尾相接的封闭三角形。
3. 用矢量三角形解动态平衡问题
力学中的动态平衡是指在控制某一或某些物理量不变的情况下，物体的状态发生缓慢连续的变化，在该变化过程中物体始终处于动态平衡。因此，我们也可以把动态平衡称为准静态平衡。
3.1 常见动态平衡问题的分类
3.1.1 三个参量不变
高中阶段接触的力学动态平衡问题，一般物体只受三个力，分析这三个力的大小、方向总共六个参量中，大都会有三个参量不变。一般而言，三个不变的参量往往是一个恒力的大小和方向以及另一个力的大小或方向。
3.1.1.1一力为恒力，另一个力方向恒定情形
三力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定。
如图3中F1的大小和方向恒定，力
F2的方向确定，三个力构成闭合矢量三角形，对应的就是物体所处动态平衡的相应状
态。F2的大小单调变化，F3的大小变化不单
调，存在极小值，且方向将变化。
3.1.1.2 一力为恒力，另一个力大小恒定情形
图3 F2的方向确定
三力中有一个力确定，即大小方向不变，另一个力大小确定，这个力的方向及第三力的大小、方向变化情况待定。
图4中若力F2的大小确定，则F2的
方向将变化，F3的大小单调变化，方向可
能出现重复性。如果题目对力F3的角度加
以限制，那么F3的方向变化也可能是单调
的。因此，常规的动态平衡问题总体形态图4 F2的大小确定 分布比较明确，抓住三个不变的参量，构建合理的力的矢量三角形，
并抓住与状态动态变化相对应的特征物理量进行分析，就能使问题顺利得解。
例1 如图5所示，在“验证力的平行四边形定则”实验中，用Ａ、Ｂ两只弹簧称把橡皮条上的节点拉到某一位置Ｏ，这时两绳套ＡＯ、ＢＯ的夹角∠ＡＯＢ小于９０°，现保持弹簧称Ａ的 示 数 不 变 而 改 变其拉力方向使α角减小，那么要使结点仍在位置Ｏ，就应调整弹簧称Ｂ的拉力大小及β角，则下列调整方法中可行的是 （Ａ）增大Ｂ的拉力，增大β角
（Ｂ）增大Ｂ的拉力，β角不变
（Ｃ）增大Ｂ的拉力，减小β角
（Ｄ）Ｂ的拉力大小不变，增大β角
解析：因为节点Ｏ不变，故左边
橡皮条上的拉力Ｆ大小和方向均
确定，Ａ弹簧拉力FA大小确定。如图6 图
5
图6所示，取Ｏ点为起始点，先作力Ｆ的有向线段，以其箭头端点O为圆心，以大小不变力FA的线段长度为半径作一圆，该圆的每条矢径
均为力FA矢量，从该圆周上各点指向Ｏ点的各有向线段便是弹簧称Ｂ
的拉力FB矢量，这样就画出了表示可能的三力关系的三角形集合图，
由图能很快得出正确选项为（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）。
3.1.2 两个参量不变
这样的动态平衡问题就很特殊。进一步分析可知，这两个不变的参量往往是某个力的大小、方向同时不变，即有一个力是恒力。恒力外的其他两力方向受条件（如空间方位、大小尺寸、运动轨迹等）
的定性约束，从而可以判断方向变化趋势，在这类特殊习题中，挖掘并正确解读这些信息对解决问题是至关重要的。
3.1.2.1三力中有一个力确定，即大小方向不变，另二力方向变化有
依据，判断二力大小变化情况。
例2 建筑工人通过安装在楼顶的一个定滑轮，将建筑材料运送到高处，如图7所示，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人（未画出）要用绳CD拉住材料，使它与竖直墙面总保持一定的距离l。若不计两根绳的重力，在建筑材料被提起的过程中，绳AB的拉力F1和绳CD的拉力F2的大小将如何变化。
F1解析： B点在拉力F1、F2和F(材料
F2对B点的拉力，大小等于材料的重
力)3个力作用下处于动态平衡状
图7 乙 F的态，在建筑材料提起的过程中，甲
大小和方向不变，F1和水平方向间
的夹角逐渐减小，F2和水平方向间的夹角逐渐增大，B点受力情况用矢量三角形如图7乙所示，从图中可以看出，F1、F2都在增大。
3.1.2.2 一力为恒力，另两力夹角恒定情形
恒力外的其他两力方向变化趋势确定，且方向间存在定量的约束关系，两力夹角始终不变。
例3 如图8所示，物体G用两根绳子悬
挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针
缓慢转过90，转动过程中始终保持
角不变图8
物理中的三角形法则(三)
高一物理竞赛讲义五——动态平衡的矢量三角形法则
准静态问题的力三角形判断法
在静力学中，经常遇到在力系作用下处于准静态平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题。这种判断如果用平衡方程做定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面。
我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=0，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰首尾相接，当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在且形状发生改变，比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然，所以，作出物体准静态平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形判断法的关键操作，三力动态平衡的力三角形判断通常有三类情况，
类型I 三力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定，
例l 如图所示，竖直杆AB在绳AC拉力作用下使整个装置处于平衡状态，若AC加长，使C点左移，,AB仍竖直，且处于平衡状态，那么AC绳的拉力T和杆AB受到绳子的压力N与原先相比，下列说法正确的是( ) (A)T增大，N减小 (B)T减小，N增大
(C)T和N均增大 (D)T和N均减小
分析与解 由于绳AC以不同方向拉杆，使杆AB有一系列可能的平衡状态．我们考察两绳系在直立杆顶端的结点A，它在绳AC的拉力T、重物通过水平绳的拉力F（F=G）和杆AB的支持力作用下平衡．三力中，水平绳拉力不变，杆支持力方向不变，总是竖直向上，大小如何变化待定；而绳AC的拉力大小、方向均不确定．用代表这三个力的有向线段作出一簇闭合三角形如图1－２所示，取点O为始端，
先作确定力F的有向线段①，从该线段箭头端点按已知方向力的方向作射线②，它是所有可能的力的作用线位置，从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的有向线
段③便是第三个力矢量，在所得三角形集合图上，根据题意，用曲箭头表示出动态变化的趋势．
从图1－２中可知，随着绳AC趋于水平，其上的拉力减小，杆的支持力亦减小．注
意到杆对结点支持力与结点对杆压力是作用力与反作用力，故本题正确答案为选项D．
例2 如图所示，用绳通过定滑轮牵引物块。使物块在水平面上从图示位置开始沿地面做匀速直线运动，若物块与地面间的动摩擦因数<1
块运动过程中，以下判断正确的是(
)
(A)绳子拉力将保持不变
(B)绳子拉力将不断增大
(C)地面对物块的摩擦力不断减小 (D)物块对地面的压力不断减小
分析与解 本题中物块是在四个力作用下保持动态平衡．我们可先将地面施予物体的支持力N与摩擦力合成为地面作用力F，由于f=μＮ′＝μＮ，可知力F的方向是确定的：与支持力的方向成arctanμ角，支承面约束力（支持力与滑动摩擦力或最大静摩擦力的合力）与支持力间的这个角，通常称“摩擦角”，如图1－4所示．这样，问题转化为三力平衡，其中重力G为确定力，地面作用力F为方向确定力，属于类型一的问题．
如图1－5所示，取点O，作表示重力的有向线段①，从该线段箭头端点作地面作用力F的作用线所在射线②，作从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③，它们就是绳拉力矢量，用曲箭头标明变化趋势．
根据题给限制条件，由于μ＜1，故力三角形中①、②两线间
夹角小于45°；由于初始状态绳拉力与水平面成45°，故力三角形中线段③与线段①的夹角从45°开始减小，图1－5中θ角小于90°．容易判断：绳子拉力不断增大，地面作用力不断减小；由图1－4所示关系显见，地面支持力与摩擦力均随之减小．本
题正确答案为选项BCD．
类型Ⅱ 三力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力大小确定，这个力的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定。
例3 如图所示，小球质量m，用一细线悬挂，现用一大小恒定的外力
F(F<mg)慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线最大的偏角是
多少?
分析与解 本题中研究对象小球可在一系列不同位置处于静止，静止时小
球所受重力、细线上拉力及大小恒定的外力的合力总是为零．三力关系由一系列闭合的矢量三角形来描述，这些三角形中表示重力的矢量边是公共边，有一条矢量边长度相同．现在来作出这样的三角形簇：
如图1－7所示，取点O为起始点，作确定不变的重力矢量①，以其箭头端点为圆心，表示外力F大小的线段长为半径作一圆，该圆上各条矢径②均可为已知大小的力矢量，该圆周上各点指向O点并封闭图形成三角形的有向线段③便是第三个力即细线拉力矢量．这样我们得到了全面反映小球在可能的平衡位置时力三角形集合图．
由图1－7可知，表示线拉力矢量与重力矢量的线段③与线段①间的夹角最大为θ＝arcsin(Ｆ/Ｇ)（线段③作为圆的切线时），细线拉力总沿着线，故小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的偏角最大为arcsin(Ｆ/Ｇ)．
例4 如图所示，在《验证力的平行四边形定则》实验中，用A、B两只弹簧秤把橡皮条上的结点拉到某一位置O，这时两绳套AO、BO的夹角AOB
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