三阶幻方

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奥数--三阶幻方
三阶幻方(篇一)

三阶幻方（二）

同学们：我们今天继续学习三阶幻方，通过上次学习，同学们初步掌握了求三阶幻方的方法。下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方。

（一）学习指导与解答

例1. 在下图的33的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。现在另有一个33的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。

492

3

152013141618191217

57816

图1 图2

分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而91120，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。见图。

例2. 在33的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图3，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。

5

6

A6E

BCF

图4

5DG

图3

分析：为了叙述方便，我们将其余空格的数字用字母表示，如图4。因为幻和为36，所以可求出中心数为：

36312，即C12

从第二行可求出D36(126)18 从对角线中可求出E36(125)19 从第一列可求出A36(619)11 从第一行可求出B36(511)20 从第二列可求出F36(2012)4 从第三列可求出G36(518)13 得到三阶幻方如下：

1120

6

5

从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和＝中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数，在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其它数的求出。

例3. 将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。

1218194

13

分析：由于1、5已填好，按照奇偶相间的要求，五个奇数应在四个角及中心，如图2。

例4. 写出一个三阶幻方，使其幻和为24。

因为三阶幻方，幻和为24，所以其9个数的和为24372，假设这9个数为

n4，n3，n2，n1，n，n1，n2，n3，n4，所以9n72，n8，这9个数为4、

5、6、7、8、9、10、11、12用这9个数排成一个三阶幻方，如图：

5

10

1284

7611

9

例5. 从1～13这13个数中挑出12个数，填入图1中的方格中，使每一横行，四数之和相等，每一竖列三个数之和相等。如图：

11310

112

4125

13141029

96

3831211586

图1 图2

分析：在1～13这13个数中，因为123……1391，91127……7，所以1～13中

去掉7，由(917)328，(917)421，所以要求横行和为28，竖列和为21，先将除7外的12个数分为4组，每组中3个数之和为21，然后再调整，使每横行四个数的和为28，这样可得出解，如图1、2。

［答题时间：30分钟］ （二）认真审题，独立完成 （1）将

111123157

，，，，，，，

，这九个数分别填入图1中，使每一横行，每一234634121212

竖行，两条对角线中三个数的和都相等。

（2）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行，每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45。

（3）将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中，使每一横行，每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。

请做完之后再看答案！

【试题答案】

（二）认真审题，独立完成 （1）将

111123157

，，，，，，，，这九个数分别填入图1中，使每一横行，每一234634121212

竖行，两条对角线中三个数的和都相等。

由于2、3、4、6、12的最小公倍数为12，所以将9个分数分别扩大12倍，得到6、4、3、2、8、9、1、5、7，而33的幻方是熟知的，如图，再将图中的每个数除以12就是所求。

（2）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行，每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45。

根据幻和为45，可知中心数为45315，又由于141630，171330，

121830，191130。经验证，可排出三阶幻方。

141318191511121716

（3）将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中，使每一横行，每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。

把1～9填在幻方中的每个数乘以2再减1，就得到1～17这九个奇数所填的三阶幻方是：

492

3

71731311

57 5 9151

图1 图2

三阶幻方趣题
三阶幻方(篇二)

三阶幻方趣题

第一课时

教学目标：培养学生兴趣

培养学生计算能力

教学过程：

一、揭题：

这是三阶幻方，在幻方中填入数字，可以使每一个横行、竖行、对角相加的和相等。如果这几个数是1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么每一个横行、竖行、对角相加的和都是15，你知道怎样填吗？

二、学生试填

根据学生填写情况及时指出填写的问题

三、分析

1.这九个数中任三个数相加的和是15的算式有哪些？指名学生说，在指名其他学生补充。

2.在这几个算式中，用的最多的数是

还有那几个数也用的比较多？用了几次？ 用的最少的是那几个数？用了几次？

3再看三阶幻方中，哪个格子中的数加的最多？那么这个数应该是 哪个格子中的数加的次数最少？那么这几个格子

中应该填几呢？

四、学生在此试填

填好的学生互相检查

老师巡查，及时指出错误

五、探究

1.指名几名学生说出正确的答案，（答案不一样的）

2.观察上述三个对式子吗？老师为什么能很快说出？

3.找出上述三个式子有什么相同的地方？

4.再练，如果把数字改为0、1、2、3、4、5、6、7、8又该怎样填呢？

一、再探究

1.出示学生正确的式子（板书出几个不同的式子）

2.探究这些式子有什么相同的地方？

3.比较上次的与本次的探究结果，你发现了什么？

中间的格子上的数就是这一排数中最中间一个；四个角落的四个数分别是这一排数字中的第二、四、六、八个；幻和是最中间数的3倍；最后确定其他数是多少。

二、练习

1.把2、4、6、8、10、12、14、16、18填在幻方中

2.把3、6、9、12、15、18、21、24、27填在幻方中

数学活动课知识—三阶幻方

一、教学目标：

1.知道三阶幻方正中的数与四角的数之间的关系；

2. 知道三阶幻方正中的数与幻和之间的关系；

3.利用三阶幻方的结构特点，会填幻方。

二、重点：幻方正中数的特点（与其他数的关系）

三、难点：探寻幻方中各数间的规律

四、教学过程

（一）找规律

1.把1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填在下图正方形的九个空中，使每个横行、竖行、对角的三个数相加的和都得15。

2.把不同学生的填写的结果展示出来，并检验。

3.像这种有三行三列组成的而且和相等的图形叫做三阶幻方，这里的每个横行、竖行、对角的三个数相加的和叫做幻和。

3.比较学生的不同填法，找出共同点。（这几种填法有什么共同点）

（1）学生小组讨论

（2）指名小组汇报

（3）小结：

①正中间的数是这九个数中的中位数；

②左上角的数比正中间的数多几右下角的数就比正中间的数少几；

③正中间的数是对角连个数相加和的一半。

④四个角落的数都是2、4、6、8，而且都是按一定的循序排列的。

4.试一试

把2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数填在幻方中，使每一每个横行、竖行、对角的三个数相加的和相等。

（1）学生试填

（2）与例题1做比较

（3）小结规律：把例题1中的数乘以2就是了。

5.根据上面的规律，把3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填在幻方中，使每一个横行、竖行、对角的三个数相加的和相等。

（二）猜想

在学习数学的时候，先通过合理的猜想，然后加以验证，是常用的数学思维方法。

这里的1、2、3……可以说是数，如果说是表示顺序的数，即第

一、第二……，也就是四个角落里的数分别是第二、第四、第六、第八个数，那么用其他的数来填三阶幻方也可以很简单。

三阶幻方(二)(含答案)-
三阶幻方(篇三)

三阶幻方（二）

同学们：我们今天继续学习三阶幻方，通过上次学习，同学们初步掌握了求三阶幻方的方法。下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方。

（一）学习指导与解答

例1. 在下图的33的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。现在另有一个33的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。

4

3

951

276

151419

201612

131817

8

图1 图2

分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而91120，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。见图。

例2. 在33的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图3，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。

5

6

A6E

BCF

图4

5DG

图3

分析：为了叙述方便，我们将其余空格的数字用字母表示，如图4。因为幻和为36，所以可求出中心数为：

36312，即C12

从第二行可求出D36(126)18 从对角线中可求出E36(125)19 从第一列可求出A36(619)11 从第一行可求出B36(511)20 从第二列可求出F36(2012)4

从第三列可求出G36(518)13 得到三阶幻方如下：

11

6

20124

51813

从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和＝中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数，在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其它数的求出。

例3. 将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。

19

分析：由于1、5已填好，按照奇偶相间的要求，五个奇数应在四个角及中心，如图2。

例4. 写出一个三阶幻方，使其幻和为24。

因为三阶幻方，幻和为24，所以其9个数的和为24372，假设这9个数为n4，n3，n2，n1，n，n1，n2，n3，n4，所以9n72，n8，

这9个数为4、5、6、7、8、9、10、11、12用这9个数排成一个三阶幻方，如图：

5

10

1284

7611

9

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