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例如，在初一教学全等三角形这一章时，学生对通过平移、旋转、翻折能重合的三角形是全等(一)
第十二章 全等三角形
八年级数学·上 新课标[人]
第十二章 全等三角形
1.理解和掌握全等三角形的概念,明确对应边、对应角、对应顶点等相关概念. 2.掌握两个三角形全等,对应边相等、对应角相等的性质.
3.探索并掌握两个三角形全等的条件,并能根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”判定两个三角形全等. 4.能够画已知角的平分线并掌握角平分线的性质定理和判定定理.
1.通过观察、试验、归纳、类比、推理获得数学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性,感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.
2.在教学中,注重所学内容与现实生活的联系;注重学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程.
1.让学生通过动手操作,感受知识的形成过程,树立认真学习的态度,激发学生的学习热情.
2.利用小组合作的学习方法,让学生多进行交流,多种感官参与教学,使学生主动探索、发现规律、归纳概括、形成能力,养成学数学、爱数学的情感.
中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似,本章将以三角形为例研究全等.全等三角形研究的问题和研究方法将为后面学习相似提供思路,而且全等是一种特殊的相似,全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础.本章还将借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力,
主要包括用分析法
分析条件与结论的关系,用综合法书写证明格式,以及掌握证明几何命题的一般过程.由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等,所以本章的内容也是学习等腰三角形、四边形、圆等内容的基础.
本章分为三节,主要介绍了全等三角形的概念、性质、判定方法,以及如何利用三角形全等进行证明. 第12.1节首先介绍了现实世界中的全等现象,然后从“重合”的角度引入了全等形的概念,在此基础上给出了全等三角形的概念,接着由全等三角形的概念导出了全等三角形的性质.
第12.2节由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关系出发,引出判定两个三角形全等的方法. 第12.3节首先由平分角的仪器的工作原理引出了作一个角的平分线的尺规作图,然后探究并证明了角的平分线的性质,同时总结了证明一个几何命题的一般步骤,最后给出了角的平分线的性质定理的逆定理.
本章将重点研究三角形全等的判定方法,并在其中渗透了研究几何图形的基本方法.本章既有直接利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等的问题,又有通过证明两个三角形全等推出线段相等或角相等的问题,在问题的设计中还融入了平行线的性质与判定、三角形中边和角的等量关系、折纸情境等内容,推理论证的难度比《三角形》一章增大了.
【重点】
1.全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法. 2.角平分线的性质及判定. 3.证明的基本过程. 【难点】
1.根据不同条件合理选用三角形全等的判定方法,特别是对“SSA”不能判定三角形全等的认识. 2.角平分线的性质和判定的正确运用. 3.用综合法证明的格式.
1.用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学.
学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形,对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识,本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法,用几何思想贯穿全章的教学.
2.让学生充分经历探究过程.
本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动,包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动.教学中可以让学生充分经历这个探究过程,在明确探究目标、形成探究思路的前提下,按计划逐步探索两个三角形全等的条件.本章在编排中将画图与探究三角形全等的条件结合起来, 既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等,又有用技术手段根据已知数据画三角形.教学中要充分利用探索画图方法的过程对形成结论的价值,让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等,在活动中发现结论.
3.重视对学生推理论证能力的培养.
本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要章节,主要包括证明两个三角形全等,通过证明三角形全等,进而证得两条线段或两个角相等.教学中要在学生已有推理论证经验的基础上,利用三角形全等的证明,进一步培养学生推理论证的能力. 按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标,本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系,书写严谨的证明格式,从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤.
12.1 全等三角形
1.掌握好全等形及全等三角形的定义. 2.理解对应顶点、对应边、对应角的含义. 3.掌握全等三角形的性质.
1.教学时结合实际图片或学生自己动手制作的图片,使学生更加容易接受本节的知识,也能从中体会到数学的乐趣及数学与生活实际的联系.
2.通过对一个图形的平移、翻折、旋转等动态变换,使学生的思维更具动态,形成空间观念,对以后的图形观察与总结具有更好的指引作用.
1.在全等形的引入中,通过一些实际生活的图片,让学生感受到数学来源于生活实际,又反作用于生活实际.
2.在学习中,同学之间以及小组之间相互研讨,可促进学生的团队意识,以及认识合作的价值.
【重点】 掌握好全等三角形的定义及利用全等三角形的性质解决问题.
【难点】 全等三角形性质的应用.
【教师准备】 全等的三角形纸板. 【学生准备】 剪刀、三角形纸板.
导入一:
(老师手拿两个全等的三角形纸板,可先分开操作,然后把两个三角形进行重合操作,目的是让学生看出这两个三角形是能够完全重合在一起的)
【师】 同学们,你能发现这两个三角形有什么关系吗?
【生】 这两个三角形是完全重合的.
【师】 这就是我们今天要学习的全等形中的一种,全等三角形. (同时教师手写板书)
[设计意图] 本节的内容,对于学生来说还是比较容易接受的,所以此设计比较简捷,单刀直入,可以节省时间,直入主题.
导入二:
【师】 同学们,这节课我们先做个游戏,把你们准备好的剪刀与三角形纸板拿出来,先取一张纸,将准备好的三角形纸板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,观察一下,有什么特点?同桌之间互相配合完成,再一起讨论得到的三角形与原三角形之间的关系.【例如，在初一教学全等三角形这一章时，学生对通过平移、旋转、翻折能重合的三角形是全等】
例如，在初一教学全等三角形这一章时，学生对通过平移、旋转、翻折能重合的三角形是全等(二)
第十三章全等三角形
【例如，在初一教学全等三角形这一章时，学生对通过平移、旋转、翻折能重合的三角形是全等】
13．1 全等三角形
教学目标
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 教学重点
全等三角形的性质． 教学难点
找全等三角形的对应边、对应角． 教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？
A
A1
C
1C1
这两个三角形是完全重合的．
2．学生自己动手（同桌两名同学配合）
取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念
让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．
形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．
要是把两个图形放在一起，能够完全重合，•就可以说明这两个图形的形状、大小相同．
概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求． Ⅱ．导入新课
利用投影片演示
将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．
A
D
A
D
E
BC
B
C
甲
EF
乙
D
B
丙
C
议一议：各图中的两个三角形全等吗？
不难得出： △ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）
得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等．
[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角．
C
A
B【例如，在初一教学全等三角形这一章时，学生对通过平移、旋转、翻折能重合的三角形是全等】
问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，•思考通过怎样变换可以使两三角形重合？
将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，•所以C和B重合，A和D重合．
D
∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．
总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．
[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，•指出其他的对应边和对应角．
A
B
D
EC
分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．
根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，•然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 解：对应角为∠BAE和∠CAD． 对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD．
[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）
A
B
C
借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，•在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边．而AB与AE显然不重合，所以AB•与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角，∠ACB与∠AED是对应角．所以说对应边为AB与
AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED． 做法二：沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC•翻折180°后，它正好和△ADE重合．这时就可找到对应边为：AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED． Ⅲ．课堂练习 课本P90练习1．
课本P90习题13．1复习巩固1． Ⅳ．课时小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，•并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．
找对应元素的常用方法有两种： （一）从运动角度看
1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素． 2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素． （二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边． 2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． Ⅴ．作业
课本P90习题13．1、复习巩固2、综合运用3． 课后作业:＜＜三级训练＞＞ 板书设计
13．2 三角形全等的条件 13．2．1 三角形全等的条件（一）
教学目标
1．三角形全等的“边边边”的条件． 2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程． 教学重点
三角形全等的条件． 教学难点
寻求三角形全等的条件． 教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形． 已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
例如，在初一教学全等三角形这一章时，学生对通过平移、旋转、翻折能重合的三角形是全等(三)
第十二章 全等三角形
第十二章 全等三角形
这一章以三角形为例，研究了两个图形间一种特殊的关系——全等，研究的内容主要包括全等三角形的性质和判定。进一步培养学生的推理论证能力也是本章的一个重要目标。本章让学生通过判定两个三角形全等来证明线段相等或角相等，并由此推出了角的平分线的性质。全章共安排了三个小节，教学时间约需10课时，具体分配如下：
12.1 全等三角形 1课时 12.2 三角形全等的判定 5课时 12.3 角的平分线的性质 2课时 小结 2课时 一、教科书内容和本章学习目标 1．本章知识结构
本章知识结构如下图所示：
2. 本章学习目标
（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质。
（2）经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实（“边边边”“边角边”和“角边角”）和定理（“角角边”），能判定两个三角形全等。
（3）能利用三角形全等证明一些结论。
（4）探索并证明角平分线的性质定理，能运用角的平分线的性质。
12．1 全等三角形
教学目标
（一）知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。
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