数列怎么构造

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数列怎么构造(一)
数列构造法

构造法求数列的通项公式

在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。

构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考。

1、构造等差数列或等比数列

由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

例1

设各项均为正数的数列

成立，求

的前n项和为Sn，对于任意正整数n

，都有等式：

的通项an.

解： 即 ∴例2 数列解：∵当n≥2时， 令

是以

，则

， ∴

，∵

是以2为公差的等差数列，且

中前n项的和

，且

，求数列的通项公式

.

，∴

. .

为公比的等比数列，

∴. 2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.

例3 设是首项为1的正项数列，且的通项公式an.

解：由题设得 ∵

∴

，

，∴

. .

，（n∈N*），求数列

.

例4

数列公式an.

解：∵

中，

，且

，（n∈N*），求通项

∴（n∈N*） 3、构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 例5 数列解：

∴

，

中，

，前n项的和

，求

.

∴ 4、构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 例6 设正项数列解

：两边取对数得：

是以2为公比的等比数列，

，

∴

中，

，n≥2时

，求通项公式.

.

，

，

满足

，

，

（n≥2）.求数列

的通项公式. ，设【数列怎么构造】

，则

例7 已知数列

解：∵，两边取倒数得

可化为等差数列关系式.

∴

数列怎么构造(二)
数列构造法

一、构造等差数列法 例1. 在数列{an}中，解：对原递推式两边同除以

可得：【数列怎么构造】

，求通项公式an。

①

令

②

则①即为等差数列，因而故所求的通项公式是

，则数列{bn}为首项是

，代入②式中得

，公差是

。

的

二、构造等比数列法 1. 定义构造法

利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。

例2. 设在数列{an}中，解：将原递推式变形为

，求{an}的通项公式。

①

②

①/②得：，【数列怎么构造】

即

③

设④

③式可化为，则数列{bn}是以b1＝为首

，代入④式得：

项，公比为2的等比数列，于是

＝

2.

可构造为形如例3. 已知数列

，解得

（A、B为常数）型递推式

的等比数列。

，其中

为所求。

，求通项公式

，则数列

是以，故

。

为首项，公比

。

解：原递推式可化为：为3的等比数列，于是3.

可构造为形如

（A、B、C为常数，下同）型递推式

的等比数列。

例4. 已知数列，其中，且，求通项公式an。

解：将原递推变形为得

②

，设bn＝。 ①

设②式可化为，比较得于是有

数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。

所以，即，代入①式中得：

为所求。

4.

可构造为形如

型递推式

的等比数列。

例5. 在数列中，，求通项公式。

，

解：原递推式可化为

，上式即为

是一个等比数列，首项

，比较系数可得：

，公比为。

所以。

即

，故为所求。

数列怎么构造(三)
数列的几种构造法解题

数列几种构造法解题

数列的构造法，我这里仅仅表示的是an1与an之间的常见关系，还有很多需要补充的。 以下主要是以例题为主，表示不同类型的构造方法。 例1，an12an

等比数列，ana1q

例2.an1an2n-12n-1.

等差数列，ana1（n1）d2n-1

例3。an12an1

构造等比数列an1x（2anx）

展开解得x1，所以an1整体是等比数列 所以an1（a11）2n-1

化简可得an2n1

例4，1）an12an3n

解1，直接构造法：

构造an1x3n1（2anx3n）

展开解得x1

所以an-3n（a1-3）2n-1

所以an3n-2n

解2，间接构造

首先同除以3n可以得到

构造an1an13n2an3n12anxx）33n13n

a展开解得x3。所以nn3整体是等比数列31

ana12n12n

即n13(03()n13333

化简即可得an3n-2n

2）an12an2n

同除以2n得到

可以得到

所以an

an12nan2n-11 ann-122n2n-1a10（n-1）1n

例5，an+1=2an+3n

构造an1m（n1）t（2anmnt），

展开解得m3，t3

所以an3n3是等比数列，

即an3n3（a133）2n-1

所以an72n-13n3

综合例6已知a12，an12an3nn，试求an的通项公式。 解：构造an1m3n1x（n1）y（2anm3nxny）展开化简依次可以解得m1，x1，y1所以an3n1（a1-311）2

所以an3n2n1-n1n1n12n1

数列怎么构造(四)
谈谈如何构造新数列来解题

　　在高中数学中，数列是同学们学习的一个难点.数列试题大致会出现这么几类问题：求数列的通项，求数列的和，证明关于数列的不等式.在求数列的通项和证明数列的不等式的时候，常常会用到构造新数列的方法来解决.新数列的构造在同学们看来比较神奇，它往往能起到画龙点睛的效果.那么，同学们应该从哪些方面入手，来进行构造新数列呢？本文就这个问题进行探讨，希望能对同学们的高三复习有所帮助.

　　一、利用数列的特征方程来构造新数列
　　这是构造新数列最常用的方法. 在一阶递推数列中，我们把an+1，an看成是变量x，得到的方程我们称为特征方程;在二阶递推数列中，我们把an+2看成x2，an+1看成是变量x，an看成是常数，得到的方程我们称为特征方程.如何理解特征方程呢，同学们可以想象为一个式子如果变为这样：（an+1-x）=A（an-x），如果an+1，an看成是变量x，那么那个方程是恒成立的. 常用的特征方程有如下几类：
　　1. 递推关系式形如an+1=pan+q（p，q为常数，且p≠1，q≠1）的特征方程为：x=px+q，解之有：x=■. 因此，我们对于这一类递推数列，直接构造新数列bn=an-■，它是以p为公比的等比数列.
　　例1. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N？鄢），求数列{an}的通项公式.
　　解析：∵ an+1=2an+1（n∈N？鄢），
　　 ∴ an+1+1=2（an+1），
　　 ∴ {an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.
　　 ∴ an+1=2n.
　　 即an=2n-1（n∈N？鄢）.
　　注：为什么要构造{an+1}这个新数列，是因为特征方程的解是x=-1. 在特征方程的解是整数时，往往容易看出原数列加上哪个常数是等比数列，如果特征方程的解是分数时，往往是看不出来的. 比如：an+1=5an-1，这个特征方程的解是■.
　　2. 递推关系式形如an+1=pan+kqn+1（p，q，k为常数，且p≠1，q≠0，k≠0），我们构造新数列bn=an-？姿qn，其中是特征方程x=■x+k的根.
　　例2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+2n+1，求an.
　　解析：构造新数列bn=an+2n+1，把an=bn-2n+1代入原条件，得：
　　bn+1=3bn，再由b1=a1+4=5可得：bn=5×3n-1.
　　从而an=5×3n-1-2n+1（n∈N？鄢）.
　　注：这里的特征方程是x=■x+1，所以有了新数列bn=an+2n+1.
　　3. 递推关系式形如an+1=pan+kn+b（q，b，k为常数，且p≠1，k≠0），我们暂时先把n看成常数，解出特征方程：x=px+kn+b，构造新数列bn=an-x，把关系式中的an换成bn后，就回到了第1种类型，再次构造新数列，就把问题解决了.
　　例3. 已知数列{an}满足a1=1，n≥2时，an=■an-1+2n-1，求an.
　　解析：令bn=an-4n+2，则有an=bn+4n-2，代入an=■an-1+2n-1，有：
　　bn=■bn-1-2（n≥2， n∈N？鄢）.
　　从而有bn+4=■（bn-1+4），又b1=a1-4+2=-1，故：
　　bn+4=3・（■）n-1？圯bn=3・（■）n-1-4，
　　所以an=■+4n-6（n∈N？鄢）.
　　注：本题的构造也并非没有规律，数列bn=an-x中，x是特征方程x=■+2n-1的解，它的作用在于能消去n，转化为第一种类型. 本题还有一种解法，是待定系数法.
　　同学们请看：
　　另解：作bn=an-An+B，则an=bn-An-B，an-1=bn-1-A（n-1）-B代入已知递推式中得：bn=■bn-1+（■A+2）n+（■A-■B-1）（n≥2， n∈N）.
　　令■A+2=0，■A+■B-1=0？圯A=-4，B=6.
　　这时bn=■bn-1且bn=an-4n-6.
　　显然，bn=■，所以an=■+4n-6（n∈N？鄢）.
　　这二种方法中，第一种是解二个一元一次方程，第二种是解一个二元一次方程组，第二种方法对计算能力要求高一点.
　　 4. 递推关系式形如an+1=■（■≠■，C≠0），我们直接有特征方程：x=■，这是一个关于x的一元二次方程，它会出现三种情况：
　　1）如果方程有二个不同的实根x1，x2，则数列{■}是一个等比数列，解之即可;
　　2）如果方程有二个相现的实根x，则数列{■}是一个等差数列，解之即可;
　　3）如果方程没有实根，则要考虑数列是一个周期数列.
　　例4. 已知数列{an}满足a1=3，an+1=■，求an.
　　解析：由an+1=■可得：
　　an+1-1=■-1=■=3・■;
　　an+1-2=■-2=■=2・■，
　　二式相除，得■=■・■， 因此， 数列{■}是以■为公比，首项为2的等比数列，所以有： ■=2・（■）n-1？圯an=■（n∈N？鄢）.
　　注：为什么要对原式进行减1和减2呢？是因为1和2是特征方程x=■的二实根.
　　例5. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=-■，求an.
　　解析：由an+1=-■可得：
　　an+1+1=1-■=■？圯■=1+■.
　　所以，数列{■}是以1为公差，■为首项的等差数列，故有：
　　■=■+（n-1）・1=n-■？圯an=■（n∈N？鄢）. 　　注：特征方程x=-■有两个相同的根-1，所以构造新数列{■}来进行解答.
　　例6. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=■，求an.
　　解析：由a1=2， an+1=-■可得： a2=-1，a3=■， a4=2…
　　从而有：an=2，n=3k-2-1，n=3k-1■.n=3k（k∈N？鄢）
　　注：为什么能想到这是一个周期为3的数列呢？是因为特征方程x=■没有实根.
　　5. 递推关系式形如an+1=■（？茁，？酌为非零常数），它有如下结论：
　　由x=■即x2+？酌x-？茁=0，解得两根x1， x2.
　　①若x1≠x2，看■也有所获：■=■2.
　　∴由迭代法，得■=■■…
　　（或两边取对数得等比数列ln■…）
　　②若x1=x2=x0，可约简递推公式再做，如an+1=■=■（an-1）.
　　例7. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=■（n∈N？鄢），求an .
　　 解析：由an+1=■可得：an+1+1=■+1=■，
　　 二式相除，可得：■=■？圯ln（■）=2ln（■）.
　　设bn=ln（■），有bn+1=2bn？圯bn=ln2・2n-1.
　　故：ln（■）=ln2・2n-1？圯■=2■？圯an=■（n∈N？鄢）.
　　注：这是一道难题，因为同学们不知道为什么要二边同时加上1，其实是因为特征方程有二个根，一个是0，一个是-1，故要二边同时加上1.
　　6. 递推关系式形如an+2=pan+1+qan（p，q为非零的常数），它的特征方程为：x2=px+q，它也会出现三种情况：
　　1）如果方程有二个不同的实根x1，x2，那么有二个结论：{an+1-x1an}是以x2为等比数列;{an+1-x2an}是以x1为等比数列，等到二个等比数列以后，二式相减，消去an+1，即可得到an的通项公式.
　　2）如果方程有二个相同的实根x，那么{an+1-xan}是以x为等比数列，直接转化为第二种类型的递推关系.
　　3）如果方程没有实根，则要考虑数列是一个周期数列.
　　例8. 已知数列{an}满足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an，求an.
　　解析： 由递推关系式可得an+2-an+1=2（an+1-an），所以数列{an+1-an} 是一个等比数列，
　　∴an+1-an=（a2-a1）2n-1=2n-1 ……（1）
　　又an+2-2an+1=an+1-2an，故数列{an+1-2an} 是一个常数列，有：an+1-2an=a2-2a1=-1 ……（2）
　　由（1）（2），可得an=2n-1+1（n∈N？鄢）.
　　注：这里1和2是特征方程x2=3x-2的二个实根.其实单独由（1）式或（2）式也可以得到答案，但是过程比较复杂一点.如果特征方程的实根不是整数，那么计算量会相当大，所以还是采用这种方法是最简便的.
　　例9. 已知数列{an}满足，a1=1，a2=4，an+2=4an+1-4an（n∈N？鄢），求an.
　　解析：由条件可得：an+2-2an+1=2（an+1-2an），
　　故数列{an+1-2an} 是以2为公比，2为首项的等比数列，从而有：an+1-2an=2n？圯■-■=■？圯■=■？圯an=n・2n-1（n∈N？鄢）.
　　注：2是特征方程x2=4x-4的根，出现一个第二种类型的关系式以后，采用二边同时除以2n+1，即可以得到一个等差数列，这样计算会简便一些.
　　例10. 已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2=an+1-an（n∈N？鄢），求a2014的值.
　　解析：由已知可得：an+3=an+2-an+1=-an？圯an+6=-an+3=an.
　　所以数列{an}是以6为周期的数列，从而有：a2014=a6×335+4=a4=-a1=-1.
　　注：因为特征方程x2=x-1没有实根，所以要考虑它是一个周期数列.
　　二、利用整体思想去构造新数列
　　在一些递推关系式中，如果含有an+1，an，n+1，n等之类的整式，那么我们把an+1，n+1放在一起，an，n放在一起，重新构造新数列，就可以看到我们熟悉的类型了.即：an+1所在的式子中的自然数变量要比an的式子中的自然数变量多1个单位.
　　例11. 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，■=an+1-■n2-n-■，n∈N？鄢.
　　（1）求a2的值;
　　（2）求数列{an}的通项公式;
　　解析：（1）∵■=an+1-■n2-n-■，n∈N？鄢.
　　∴当n=1时，2a1=2S1=a2-■-1-■=a2-2.
　　又a1=1，∴a2=4.
　　（2）∵■=an+1-■n2-n-■，n∈N？鄢.
　　∴2Sn=nan+1-■n3-n2-■n=nan+1-■……①
　　∴当n≥2时， 2Sn=（n-1）an- ■……②
　　由①-②，得2Sn-2Sn-1=nan+1-（n-1）an-n（n+1）.
　　∵2an=2Sn-2Sn-1，
　　∴2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1）.
　　∴■-■=1，
　　∴数列{■}是以首项为■=1，公差为1的等差数列.
　　∴■=1+1×（n-1）=n，∴an=n2（n≥2）.
　　当n=1时，上式显然成立. ∴an=n2，n∈N？鄢. 　　注：式子中出现了an+1，an，n+1，n，自然想到把它们各放在一起，就得到一个等差数列了.
　　三、利用放缩法去构造新数列
　　在关于数列的不等式证明中，常常会遇到一个数列的前n项和小于某一个常数，这里，我们采用一种构造一个新的等比数列来起中间桥梁的作用.如：要证明：a1+a2+…+an　　例12. 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1（n∈N？鄢），且a1，a2+5，a3成等差数列.
　　（1）求a1的值;（2）求数列{an}的通项公式.
　　（3）证明：对一切正整数n，有■+■+…+■<■.
　　解析：（1）2Sn=an+1-2n+1+1，2Sn+1=an+2-2n+2+1，相减得：an+2=3an+1+2n+1.
　　2S1=a2-3？圳a2=2a1+3，a3=3a2+4=6a1+13.
　　a1，a2+5，a3成等差数列？圳a1+a3=2（a2+5）？圳a1=1.
　　（2）由a1=1，a2=5，得an+1=3an+2n对？坌n∈N？鄢均成立，an+1=3an+2n？圳an+1+2n+1=3（an+2n）.
　　得an+2n=3（an-1+2n-1）=32（an-2+2n-2）=…=3n-1（a1+2）？圳an=3n-2n.
　　（3）当n=1时，■=1<■，
　　当n≥2时，2・3n-1>2n？圯3n-3n-1>2n？圯3n-2n>3n-1，
　　故有：■<■.
　　从而：■+■+…+■<1+■+…+■=■<■.
　　由上式得：对一切正整n数，有■+■+…+■<■.
　　注：中间数列按上述方法二步可以构造出新数列bn=（■）n-1，因此，第3问的证明同学们就会明白为什么要这样操作了. 这种方法可以适应于很多试题，同学们不妨一试.
　　新数列的构造是一种技巧性比较强的方法，同学们从上述三个方面去思考这类问题，就不会觉得无规律可循.当然，关于数列的解题方法还有一些其它的方法，比如数列归纳法，函数法，同学们也可以试着认真去归纳一下，或许会有一些收获呢.
　　（作者单位：汕尾市华南师大附中汕尾学校）
　　责任编校 徐国坚

数列怎么构造(五)
浅谈数列构造法

　　【摘 要】构造思想，是数学中一种重要的思想方法。构造思想从数学产生那天起，就伴随着数学的发展而发展。构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，它属于非常规思维。在数列中，构造法更是变幻莫测。

　　【关键词】构造法；等差数列；等比数列
　　所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。高中数学主要学习了等差数列和等比数列，但在平时的习题中，往往碰到的不是这两类数列，所以有时需要用构造法将其转化为等差数列或等比数列。
　　当然，以上所提到的一些结论在真正的做题中若能熟记，则能节约不少时间，但事实上对于大部分学生而言能记住这些公式难度还是很大的。笔者建议大家知道推导方法，遇到此类问题时能推导出公式这样比及结论更有实际价值。

本文来源：http://www.zhuodaoren.com/shenghuo360044/

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